专项巩固训练卷(6)正方形中常见的几何模型-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

专项巩固训练卷（六） 学封 正方形中常见的几何模型 类型一“十字架”模型 1.(1)如图①，正方形ABCD中，AE⊥FG,求证：AE=FG; (2)如图②，将边长为12的正方形ABCD折叠，使点A落在CD上 的点E,然后压平折痕FG,若FG的长为13，求CE的长 B G 1题图① 1题图② 2.已知正方形ABCD中，点E,M分别在边AB,AD上， (1)如图①，CM⊥DE,垂足为G,求证：DE=CM; (2)如图②，点F,N分别在边CD,BC上，若EF⊥MN,请判断EF 和MN的大小关系，并说明理由. M M 0 2题图① 2题图② ·类型二对角互补模型 3.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是AB边上的一 点，连接OE,过点O作OF⊥OE交BC于点F,若AD=2,求四边形 BFOE的面积. D 0 B 3题图 八年级数学下册第19页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 4.如图，在正方形ABCD中，AB=6,P为对角线BD上任意一点，连接 AP,过点P作PQ⊥AP交BC于点Q. (1)求证：AP=PQ; (2)若DP=√2，求四边形ABQP的面积. B Q 4题图 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ◆类型三一线三垂直模型 5.如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点 D,AM⊥MN于点M,CN⊥MN于点N,BR⊥MN于点R. (1)求证：△ADM≌△DCN; (2)求证：MW=AM+CN; (3)试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想. M D B C 5题图 。类型四手拉手模型 6.如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点 M,点M在△ABC的外部. (1)求证：BG=CE; (2)求证：CE⊥BG; (3)求∠AME的度数. G D M B 6题图 八年级数学下册 第20页 类型五半角模型(90°含45) 7.如图，正方形ABCD中，LEAF的两边分别与边BC,CD交于点E, F,AE,AF分别交BD于点G,H,且∠EAF=45° (1)当∠AEB=55时，求∠DAH的度数； (2)设∠AEB=,则∠AFD= (用含的代数式表示)； (3)求证：∠AEB=∠AEF. DF 7题图全程时习测试卷·八年级数学·下册 又：∠ECF=90°，G是EF的中点， ∴GC=2EF=GF, ∴.∠GCF=∠GFC 又.·AB∥DF, ∴.∠BAM=∠GFC ∴.∠BCM=∠GCF, .∴.∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°， .GC⊥CM. (2)解：成立.理由如下： ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABM=∠CBM 在△ABM和△CBM中， rAB=CB, ∠ABM=∠CBM, BM=BM, ∴.△ABM≌△CBM(SAS), .∠BAM=∠BCM 又.·∠ECF=90°，G是EF的中点， ∴.GC=GF ∴.∠GCF=∠GFC. 又.AB∥DC, .∴∠BAM=∠GFC, .∴.∠BCM=∠GCF, ∴.∠GCF+∠MCF=∠BCM+∠MCF=90°， ∴.GC⊥CM. 专项巩固训练卷（六） 正方形中常见的几何模型 1.（1)证明：如答图①所示，过点G作GH⊥AD,垂足为H. :四边形ABCD为正方形， .∠HAB=∠B=90°，AB=AD. .GH⊥AD, ∴.∠AHG=90°， ∴.∠HAB=∠B=∠AHG=90°， ∴.四边形ABGH为矩形， .GH=AB,..GH=AD. 在△AFM和△ADE中， ∠FAM=∠DAE,∠AMF=∠D=90° ∴.∠HFG=∠AED.在△GHF和△ADE中， r∠HFG=∠DEA, ∠GHF=∠ADE, GH=AD ∴.△GHF≌△ADE(AAS), .AE FG. H B G 1题答图① 1题答图② (2)解：如答图②所示，作GH⊥AD,垂足为H. 由(1)知HG=AB=12, .在△GHF中，由勾股定理，得 FH=√GF-HG=√132-122=5. ·12· :将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E, 折痕为FG, ∴.AE⊥GF 由(1)可知△GHF≌△ADE, ..DE=FH=5, .∴.CE=DC-DE=12-5=7. 2.(1)证明：四边形ABCD为正方形， ∴.AD=DC,∠DAE=∠CDM=90°，∴.∠ADE+∠EDC=90° .CM⊥DE,.∠CGD=90°，.∠EDC+∠DCM=90°， ∴.∠ADE=∠DCM 在△ADE和△DCM中， r∠ADE=∠DCM, AD=DC. ∴.△ADE≌△DCM(ASA),∴.DE=CM. L∠DAE=∠CDM, (2)解：EF=MN.理由如下：如答图，过点C作CR∥MN交AD 于点R,过点D作DQ∥EF交AB于点Q. :四边形ABCD为正方形， M ∴.AD∥BC,即MR∥CN. 又.：CR∥MN, ∴.四边形MWCR为平行四边形， .∴.NM=CR,同理可得EF=DQ. 又由(1)可知CR=DQ, .∴.EF=MN 2题答图 3.解：.四边形ABCD是正方形， ∴.B0=C0,∠ABC=90°，∠AB0=∠BC0=45° .OF⊥0OE,∴.∠E0F=90°，∴.∠BE0+∠BF0=180° .·∠BF0+∠OFC=180°，∴.∠OFC=∠BE0. 在△BOE和△COF中， r∠BEO=∠CFO, ∠OBE=∠OCF,∴.△BOE≌△COF(AAS), OB=OC, 'SABOE =SACOF. AD=2, 1 .S△B0c=4S正方形ABCD=4 A0=4×2=1, .Sm边形BF0E=S△B0P+S△BOE=S△B0F+S△cOF=S△B0c=1. 4.（1)证明：如答图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于 点N. 四边形ABCD是正方形， A .∠ABC=90°，BD平分LABC, .PM=PN. M .AP⊥PQ, .∠APQ=90° ∴.∠BAP+∠BQP=180 ∠BQP+∠PQN=180°， 4题答图 ∴.∠PQN=∠BAP. 在△AMP和△QNP中， r∠MAP=∠NQP, ∠AMP=∠QNP=90°， PM=PN, .△AMP≌△QNP(AAS),AP=PQ. (2)解：由(1)知PM=PN, 又，'∠MBN=∠PMB=∠PNB=90°， .四边形MBNP是正方形. AB=6,四边形ABCD是正方形， ∴.BD=62. DP=2,.BP=5V2, 则Sae=SE方5ap=之BP2-25. 5.(1)证明：AM⊥MW于点M,CW⊥MW于点N, ∴.∠AMD=∠DNC=90°， .∠MAD+∠MDA=180°-90°=90°. .四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=90°，AD=DC, ∴.∠MDA+∠NDC=180°-90°=90°， .∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠MDA, ∴.∠MAD=∠NDC.在△AMD和△DNC中， ,∠AMD=∠DNC, ∠MAD=∠NDC,∴.△AMD≌△DNC(AAS). AD DC. (2)证明：由(1)得△AMD≌△DNC, .AM=DN.DM=CN. ∴.DN+DM=AM+CN,即MN=AM+CN. (3)解：猜想BR=MN.证明如下：过点A作AE⊥BR于点E,如 答图所示. .BR⊥MW,CN⊥MN, .BR∥CN,.∠1=∠2. M 又四边形ABCD是正方形， ∴.AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠ABE=∠DCN=90°-∠1. 在△ABE和△DCN中， r∠ABE=∠DCN, ∠AEB=∠DNC=90° AB=DC. 5题答图 ∴.△ABE≌△DCN(AAS),.BE=CN 由(1)得△ADM≌△DCN, ∴.△ABE≌△ADM,∴.AE=AM 又.'AE∥MR,AM∥ER, ∴.四边形AERM是正方形，∴.ER=AM, .BR BE ER CN +AM DM DN MN. 6.（1)证明：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE,AG= AC,∠BAE=∠CAG=90°， .∠BAE+∠EAG=∠CAG+∠EAG, 即∠BAG=∠CAE.在△ABG和△AEC中， rAB=AE, ∠BAG=∠EAC, AG=AC, ∴.△ABG≌△AEC(SAS),∴.BG=CE. (2)证明：△ABG≌△AEC,.∠ACE=∠AGB, .∠MCF+∠MGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°， .∴.∠CMG=360°-（∠MCF+∠MGF+∠F)=360°-(180°+ 90°）=90°， ∴.BG⊥CE. (3)解：如答图，过点A作AP⊥BG,AQ⊥CE,垂足分别为P,Q E 6题答图 参考答案及解析 ,△ABG≌△AEC, .LPBA=∠QEA,AB=AE. 又.·∠BPA=∠EQA=90°， ∴.△PBA≌△QEA,∴.AP=AQ, ∴.MA平分∠BMC,由(2)可知∠BMC=90°， LAMC=7∠BMC=450, .∠AME=135°. 7.(1)解：四边形ABCD为正方形， ∴.∠DAB=∠ABC=∠C=∠ADC=90°. 当∠AEB=55°时， ∠EAB=90°-∠AEB=90°-55°=35°， .∠DAH=90°-∠EAF-∠EAB=90°-45°-35°=10. (2)解：135°-a[解析]由四边形ABCD为正方形可知 ∠ABE=∠ADF=∠BAD=90°.：∠AEB=a,∴.∠EAB= 90°-a,.∠DAF=LBAD-∠EAB-LEAF=90°-(90°- )-45°=a-45°，.∠AFD=90°-∠DAF=90°-(a-45) =135°-a. (3)证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI,如答图 所示，可得E,B,I三点共线，由旋转可知LDAF=∠BAI,AF =AI. :∠DAF+∠EAB=90°-∠EAF=45°，DF C .∴.∠BAI+∠EAB=45°=∠IAE. 在△EAF和△EAI中， AF=AI, ∠EAF=∠EAI, LAE=AE, .∴.△EAF≌△EAI(SAS), .∴.∠AEF=∠AEB. 7题答图 期中综合测试卷 1.D2.C3.B4.D5.C6.C7.D8.D9.D 10.D[解析]四边形ABCD是正方形，AB=AD,LABE= ∠ADF=90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中， rAB=AD. ∠ABE=∠ADF,∴.Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS),∴.AE=AF. BE =DF, .·AM平分∠EAF,∴.∠EAM=∠FAM.在△AEM和△AFM AE=AF, 中，{∠EAM=∠FAM,.△AEM≌△AFM(SAS),EM= LAM=AM, FM.:四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD=4,∠BCD=90°. 设DM=x,则MC=CD-DM=4-x,CE=BC-BE=4-1= 3,EM=FM=FD+DM=1+x.在Rt△MCE中，根据勾股定 理，得EM=MC2+CE,即(1+x)2=(4-x)2+32,解得x= 号故选D 11.32 12.AB=AD(答案不唯一) 13.-1314.4515.7.516.4m17.8√3+8 182别〔解标]因为第一个矩形的两条你边长分别为6和8， 所以对角线的长为10.根据中位线定理可知，第一个菱形的 边长是第一个矩形对应的对角线的2，所以第一个菱形的边 长是5，周长是5×4=20.因为第二个矩形的边长是第一个 短形对应的边长的】，根据中位线定理可知，第二个菱形的 ·13.