专项巩固训练卷(3)勾股定理综合应用的常见类型-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

学新 专项巩固训练卷（三） 勾股定理综合应用的常见类型 类型一勾股定理在折叠中的应用 1.如图，在长方形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻 折得到△FDE,点F落在AE上.若CE=3cm,AF=2EF,求AB 的长 1题图 2.如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=6,P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与CD 相交于点F (1)求证：OP=0F; (2)求AP的长 D 0 A---------- B 2题图 3.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交 AD于点E,交BC于点F,连接CE. (1)求证：AE=AF=CE=CF; (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出a,b,c三者之间的数量关 系式 D 3题图 ●类型二勾股定理在求最短路径中的应用 4.某省将位于A,B两地(A地在B地的正西方向)的两所大学合并 成一所综合大学，为了方便A,B两地师生的交往，学校准备在相距 2km的A,B两地之间修筑一条笔直的公路（如图中线段AB),经 测量，在A地北偏东60°方向，B地北偏西45方向的C处有一个半 径为0.7km的公园，问：计划修筑的这条公路会不会穿过公园？ 为什么？ 北 0. 45g 4题图 八年级数学下册第11页 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 5.如图，一个牧童正在小河南4km的A处牧马，此时正位于他的小 屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后 回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 期 蹈 北 A牧童 千东 b. 小屋B 5题图 6.如图，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米.将一条彩带从底面 点A开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，求最少需要彩 带多少米. BE---、 A 6题图 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 7.如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm,高为10cm,若一只 蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,若蚂蚁的爬行 速度为1.5cm/s,20s内蚂蚁能否爬到点Q? 10cm P 8 cm 4 cm 7题图 ·类型三勾股定理的逆定理在判断三角形形状中的应用 8.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零 件符合要求吗？请说明理由. D 17 12 15 A 9 B 8题图 ●类型四勾股定理及其逆定理在求图形面积中的综合应用 9.如图，∠ADC=90°，AD=16cm,CD=12cm,AB=29cm,BC= 21cm, (1)求AC的长度； (2)求阴影部分的面积. 9题图 ·类型五勾股定理及其逆定理在网格中的应用 10.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶 点叫作格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形 (1)在图①中画出三边长分别为√5,2√5，√13的三角形； (2)在图②中画出一个面积为4的钝角三角形，并标出各边 的长 ......}▣▣w▣n ………月 ……… … 10题图① 10题图② 11.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接小正 方形的三个顶点得到△ABC,小正方形的顶点D在△ABC的边 AB上，解答下列问题： (1)判断△ABC的形状并求出其周长； (2)求△ACD和△BCD的周长之差. 11题图 八年级 数学下册第12页 ●类型六勾股定理在实际问题中的应用 12.新考向某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高 度，通过测量，得到如下记录表： A 测量 08 C 示意图 D 12题图 ①测得水平距离BC为15米 测量 ②根据手中剩余线的长度计算出风筝拉线AB的长为17米 数据 ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据表 中数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD.请完成以下 任务： (1)根据上述信息，求风筝离地面的垂直高度AD; (2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，那 么他应该再放出多少米的风筝拉线？全程时习测试卷·八年级数学·下册 .52+(x-1)2=x2,解得x=13, ·.0D=13-1=12(尺). 答：水池的深度OD为12尺 (2)证明：∵OD=b,CD=n,AB=2a, ∴.OC=0E=b+n,DE=a. 在Rt△ODE中，∠ODE=90° 由勾股定理，得DE+OD=OE2」 六a+6=(6+m)2b=0-n 2n 26.解：(1)在长方形ABCD中，AD=16,AB=6, ∴.CD=AB=6,∠B=∠D=90° 在Rt△CDE中，由勾股定理，得 CE=/DE2+CD2=√82+62=10. 在Rt△ABF中，BF=t,AB=6, 由勾股定理，得AF=、36+t2 AF=CE,./36+2=10, 解得1=8或t=-8(舍)， 即当t=8时，AF=CE. G 26题答图 (2)如答图，过点F作FG⊥AD于点G ·四边形ABCD是长方形， ∴.∠B=∠BAG=∠AGF=90° .四边形ABFG是长方形， ..AG=BF=t,FG=AB=6,CF=16-t, .GE=AE-AG=8-t. 在Rt△FGE中，由勾股定理，得 FE=GE2+FG2=(8-t)2+62. 在Rt△FEC中， 由勾股定理，得FE2=CF2-CE2=(16-t)2-102 .(8-t)2+62=(16-t)2-102,解得t=3.5, ∴.CF=16-t=12.5 1 Sac=2×12.5×6=37.5 (3)存在..·AD∥BC,∴.∠DEC=∠ECF .∠FEC=∠DEC,.∠FEC=∠ECF, .FE FC. .(8-t)2+62=(16-)2,解得1=9.75， ∴.存在t使得∠FEC=∠DEC,此时t=9.75s 专项巩固训练卷（三） 勾股定理综合应用的常见类型 1.解：依题意，得FE=CE=3cm,DC=DF, ∠DEC=∠DEF,∠DFE=∠C=∠DFA=90° .AF=2EF. .'AF=6 cm .∴.AE=AF+EF=9cm .AD∥BC, ,.∠ADE=∠DEC=∠DEF ∴.AD=AE=9cm. 在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD .62+DF2=92.DF=35cm, .AB DC DF=35 cm. …6. 2.(1)证明：.：四边形ABCD是长方形， .∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD=AB=8. 由翻折的性质可知EP=AP,∠E=∠A=90°，BE=AB=8. 在△ODP和△OEF中， r∠D=∠E=90°， OD=OE. ∴.△ODP≌△OEF(ASA),∴.OP=OF. L∠DOP=∠EOF, (2)解：.△ODP≌△OEF ∴.OP=OF,PD=EE. .OE =OD,..DF EP 设AP=EP=DF=x, 则PD=EF=6-x,CF=8-x, .∴.BF=8-(6-x)=2+x. 在Rt△FCB中，根据勾股定理，得BC+CF2=BFP, ∴.62+(8-x)2=(x+2)2,解得x=4.8, AP=4.8 3.(1)证明：由题意，知AF=CF, AE=CE,∠AFE=∠CFE. .:四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE ∴.∠AFE=∠AEF, ∴.AE=AF, ∴.AE=AF=CE=CF (2)解：由题意，知AE=CE=a. 由∠D=90°知ED2+DC2=CE2, 即b2+c2=a2 4.解：计划修筑的这条公路不会穿过公园.理由如下： 如答图，过点C作CD LAB,垂足为D. 北 459 60 A 0 4题答图 由∠CBE=45°，易得∠BCD=∠DBC=45° .CD=BD. 设CD=BD=xkm, .·∠CAF=60°， .∠CAD=30° .'AC =2x km. 由勾股定理，得 AD=√AC2-CD2=√(2x)2-x2=3x(km). 由AD+DB=2km,得3x+x=2. .x=3-1, .CD=(3-1)km≈0.732km>0.7km, .计划修筑的这条公路不会穿过公园. 5.解：如答图，作出点A关于河岸MN的对称点A',连接A'B交 MW于点P,连接AP,则AP+PB=A'P+PB=A'B就是最短 路程. A硼 MN 北 A牧帝 D2、 小屋B 5题答图 在Rt△A'DB中，A'D=4+4+7=15(km),BD=8km.由勾股 定理求得A'B=√152+82=17(km).即他要完成这件事情所 走的最短路程是17km 6.解：如答图，长方形A4'BB是圆柱的侧面展开图，连接AB, 此时所需彩带最短，最短长度为AB. .·∠AA'B=90°， B B 由题意可知AA'=4米，A'B=5米， 由勾股定理，得AA2+A'B=AB2, 即AB2=42+52=41, .AB=√41米（负值已舍）. A 答：最少需要彩带√41米 6题答图 7.解：如答图，将长方体的侧面展开在同一平面内， :PA=2×(8+4)=24(cm),QA=10cm,∠A=90°， .PQ=242+102=26(cm). .26÷1.5≈17.3(s), 17.3<20, ∴.20s内蚂蚁能爬到点Q. 4 cm P 8cm 8 cm 7题答图 8.解：这个零件符合要求. 理由：AD=12,AB=9,DC=17,BC=8,BD=15, .AB2 +AD BD2 BD2+BC2 DC2 .△ABD,△BDC均是直角三角形，且LA=90°，∠DBC=90, 故这个零件符合要求. 9.解：(1).·∠ADC=90°，AD=16cm,CD=12cm .AC=√/AD+CD=√162+122=20(cm), ∴.AC的长度为20cm. (2).AB =29 cm,BC =21 cm,AC =20 cm, ∴.AC2+BC2=202+212=841=292=AB2 ∴.△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴.阴影部分的面积=△ABC的面积-△ACD的面积 =74C.BC-2400D=7×20x21-7×16x12 =210-96=114(cm2), .阴影部分的面积为114cm2. 10.解：(1)如答图①所示. (2)如答图②所示.（答案不唯一） 10题答图① 10题答图② 11.解：(1)AB=√32+32=32，BC=√2+4=√7， AC=+4=√17， ∴.BC=AC, .△ABC是等腰三角形， ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=3√2+17+√I7=3√2+ 2/17. (2).·△ACD的周长=AC+CD+AD,△BCD的周长=BC+ CD+BD.BC=AC. .△ACD的周长-△BCD的周长=AD-BD. 参考答案及解析 AD=√22+2=22，BD=P+1下=2， .AD-BD=22-2=2, 即△ACD与△BCD的周长之差为V2. 12.解：(1).在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米， .AC=√AB-BC=√17-152=8（米） 又.AD=AC+CD,CD=1.7米， .AD=8+1.7=9.7(米). 答：风筝离地面的垂直高度AD为9.7米. (2)风筝沿DA方向再上升12米后， 放出风筝拉线的总长为、(8+12)2+152=25（米）， ∴.小明应该再放出25-17=8米的风筝拉线 答：他应该再放出8米的风筝拉线 第二十一章四边形 基础过关检测卷 1.B2.D3.B4.A5.D6.A7.A8.C9.D 10.B[解析]连接DE,DF,如答图.四 D 边形ABCD是菱形，，DE=BE, .EB+EF=ED+EF.当D,E,F三，点 在同一直线上且DF⊥AB时，EB+EFAE 最短.：AB=4,∠DAB=60°，.AF= 10题答图 号0=2，DF=25,即B+EF的 最小值为2√3.故选B. 11.3cm12.(4,4)13.180°或360°或540° 14.415.2/1316.18°17.1：10 18.25[解析]四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∠A=90°， ∴.∠AEB=∠FBC..CF⊥BE,∴.∠CFB=90°，∴.∠CFB= 「∠A=∠CFB, ∠A.在△ABE和△FCB中， ∠AEB=∠FBC,∴.△ABE≌ BE=CB, △FCB(AAS),.FC=AB=4.,四边形ABCD是矩形，∴.BC =AD=6.在Rt△FCB中，由勾股定理，得BF=√BC-FC =√6-4平=25. 19.证明：.四边形ABCD是平行四边形 ∴.∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,AB=CD. .∠DAF=∠BCE,.∠BAF=∠DCE, .△ABF≌△CDE,∴，BF=DE. 20.解：E,F分别是AB,AD的中点， ,EF是△ABD的中位线. EF=2,BD=-2EF=4. BD2+CD2=42+32=25,BC2=52=25 .BD2 +CD2 BC2, ∴.∠BDC=90°， 5Aw=号BD.CD=3x4x3=6 21.解：在正五边形中，AB=BC,∠ABC=108°， ∠BMC=3(180°-108)=36， ∴.∠BCD=∠ABC+∠BAC=108°+36°=144°， ∠CBE=∠ABE-∠ABC=120°-108°=12°. ·在四边形BCDE中， ∠ADE+∠BCD+∠CBE+∠E=360°， .∠ADE+144°+12°+120°=360°， .∴.∠ADE=360°-276°=84°. 7