第20章 勾股定理能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

第二十章 勾股定理 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 ·满分：120分 选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各组数中，勾股数是 ( 装 A.1,2,w5 B.5,W4,5 答题卡 C.√5,7,12 D.9,12,15 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,BC2+AC2= A.18 B.12 C.9 D.6 订3.如图，在△ABC中，CD1AB于点D.已知AB=5,AD=4,CD=2,则 △ABC的形状是 ( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 线 B I 0 3题图 4题图 的 4.如图，在Rt△0BC中，0C=1,0B=2,以点B为圆心，BC为半径画 --------------- 弧，交数轴于点A,则点A所表示的数是 A.-√5-2 B.-√5 C.5-2 D.-5+2 5.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为 不 1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高，则 BD的长为 5题图 要 C./10 D.号而 6.老师布置如下任务：在没有直角尺的情况下，利用周围的工具作一 个直角三角形.嘉嘉和淇淇给出了如下表的两种方案，下列判断正 : 确的是 答 ①如图①，利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD= E 3 cm; 方案I ②分别以点D,C为圆心，以5cm和4cm为半径画圆 弧，两弧相交于点E; AD C B 题 ③连接DE,CE.则△CDE即为所求 6题图① ①取三根长度相同的铅笔，并在端点标注A,B, C,D,E,F; 方案Ⅱ ②按如图②位置摆放，其中B,C,E三点重合，且 AB,CD在同一条直线上； B(C,E) ③连接AF,DF.则△ADF即为所求 6题图② A.I、Ⅱ都可行 B.I、Ⅱ都不可行 C.I可行、Ⅱ不可行 D.不可行、Ⅱ可行 7.如图是一个圆柱形饮料罐，它的底面半径是5，高是12，上底面中 心有一个小圆孔.已知一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度 为α，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b(罐壁的厚 度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是 A.12≤b≤13B.12≤b≤15 C.13≤b≤16 D.15≤b≤16 7题图 8题图 9题图 10题图 8.新素材在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，其译文为：有一架秋 千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋 千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺如果秋千的绳索始终拉 得很直，试问绳索有多长？如图，绳索的长为 ) A.12.5尺 B.13.5尺 C.14.5尺 D.15.5尺 9.勾股定理在我国古算术《周髀算经》中早有记载.以直角三角形纸 片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按 如图的方式放置在最大正方形纸片内.若已知图中阴影部分的面 积，则可知 () A.直角三角形纸片的面积 B.最大正方形纸片的面积 C.最大正方形与直角三角形的纸片面积和 D.两张较小正方形纸片重叠部分的面积 10.如图，在长方形ABCD中，AD=10cm,CD=6cm,E是AD上的一 点，且AE:DE=4:1,F是BC上一动点，连接AF,EF,则AF+EF 的最小值为 A.8 cm B.10 cm C.3√13cmD.4√/13cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若三角形的三边长a,b,c满足a:b:c=1:1:V2,则该三角形的最 大内角的度数为 12.若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,则称a,n,n+1这样的三个 整数为一组“完美勾股数”.请你写出一组“完美勾股 数”： 13.如图，是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架AC=24cm, CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm,则点C到AB的距离 为 cm. -B 13题图 14题图 14.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼 八年级数学 下册第9页 见此图标目民即刻扫码分层训练助力学习进阶 成的大正方形，如图，直角三角形的两条直角边的长分别是1和 2,则小正方形与大正方形的面积之比为 15.如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从顶点A出发，经过 3个面爬到顶点B,此时最短路径的长为 B-3,3) A(0,1) L--- 15题图 16题图 17题图 18题图 16.跨学科一束光线从y轴上一点A(0,1)出发，经过x轴上点C,然 后反射经过点B(-3,3),则光线从点A到点B经过的路线长 是 17.(陕西中考)如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接 CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13, BC=10,则四边形EBFC的面积为 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,D为边AC上一动 点，将△BCD沿直线BD对折，点C的对应点为E,连接AE.当 △ADE为直角三角形时，线段CD的长为 三、解答题（共66分） 19.(6分)（湖南永州期末）如图，在四边形ABCD中，AB=25,BC =2,CD=1,AD=5,且∠C=90°. (1)求证：△ABD是直角三角形； (2)求四边形ABCD的面积. R 19题图 20.(6分)（山东济南期末）一艘轮船从A港沿南偏西48°方向航行 100 n mile到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 n mile到达C 岛，A港到航线BC的距离是60 n mile. (1)若轮船速度为25 n mile/h,求轮船从C岛沿CA返回A港所 需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 它 北 D 4,东 20题图 见此图标园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 21.(6分)新考法勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之 请你从以下方法中，任选一个验证： 方法一 方法二 如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°) 将边长分别为c,a,b的正方形ABCD, 过点B作BD⊥AC于点D,延长BD至 正方形GNMC,正方形AENF拼成如 点E,使得BE=AC,EF⊥BC于点F, 图②所示的图形，点E,D,V,M共线， 连接AE,EC.已知AB=a,BC=b,AC 点N,G,F共线，连接BF.请你通过计 =BE=c,请你通过计算四边形ABCE 算五边形ADCGF的面积验证勾股 的面积验证：a2+b2=c2 定理 5 DN a 21题图① 21题图② 22.(8分)新情境傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，自己站 直身体时，牵绳的手离地面高度AB=1.3m,小狗的高度CD= 0.3m,小狗与子涵的距离AC=2.4m.（绳子一直是直的) C而 22题图 (1)此时，牵狗绳BD的长为 m; (2)子涵将手上的小球扔至距自己3.2m远的M处，若她站着不 动，将牵狗绳放长至3.5m,则小狗能否将小球捡回来？请说 明理由（假设小狗碰到小球就能将球捡回来）. 23.(8分)（安徽宣城期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的 边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点， (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别 为3,10,5； (3)如图③，A,B,C是边长为1的小正方形的顶点，求∠ABC的 度数. 23题图① 23题图② 23题图③ 24.(10分)（山东枣庄期末）如图，地面上放着一个小凳子(AB与地 面平行)，点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm.在图① 中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA= 50cm. (1)求小凳子的高度； (2)在图②中，另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的 点C处.若OC=90cm,木杆BC比凳宽AB长60cm,求小凳 子的宽AB和木杆BC的长度. 24题图① 24题图② 八年级数学 下册 第10页 25.(10分)新情境（北京朝阳区期末）《九章算术》中记载：今有池 方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭 长各几何？大意如下：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生 长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸 牵引，尖端到达岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE,求水池的深 度和芦苇的长度.(1丈等于10尺) (1)求水池的深度OD; (2)我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给 出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表 示为：若已知水池宽AB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n(n <a),则水池的深度0D(0D=b)可以通过公式b=,m计 2n 算得到.请证明刘徽解法的正确性， 25题图 26.(12分)[核心素养]如图，在矩形ABCD中，AD=16,AB=6,E为 AD边上一点，DE=8.点F从点B出发，以每秒1个单位长度的 速度沿着边BC向终点C运动，连接AF,FE,EC.设点F运动的 时间为t秒. (1)当t为何值时，AF=CE; (2)当∠CEF=90时，求△FEC的面积； (3)是否存在某一时刻，使得∠FEC=∠DEC?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由. 26题图全程时习测试卷·八年级数学·下册 设从点N开始人行小路被喷到水，点M之后不会被喷到水， 连接EN,EM,则EN=EM=3m. .EF⊥MN,.FN=FM. 由勾股定理，得FN=√32-2.4=1.8(m), ∴.MW=2FN=3.6m, ∴.当喷灌装置进行工作时，人行小路AD会被浇湿，被浇湿的 路面长度为3.6m. 22.解：(1)在Rt△ACD中， .∠ADC=90°，CD=12,AD=16, .由勾股定理，得AC=√CD2+AD2=20 在Rt△BCD中， .∠BDC=90°，CD=12,BC=15, 由勾股定理，得BD=√BC2-CD=9. （2)△ABC是直角三角形.理由： .AD=16,BD=9, ∴.AB=AD+BD=25 .AC=20,BC=15, .AC2+BC2=625=AB2. .△ABC是直角三角形 23.(1)证明：.·D是斜边BC的中点，DE⊥BC, 直线DE是线段BC的垂直平分线，.BE=CE 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2=AC2+AE, ∴.BE2=AC2+AE2,即BE2-AE2=AC2 (2)解：D是斜边BC的中点，BD=5, ∴.BC=2BD=10 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√BC-AC= √102-6=8， ∴.AB=BE+AE=8. 又BE=CE,CE+AE=8, ∴.△ACE的周长为CE+AE+AC=8+6=14. 24.解：(1)如答图①所示，线段AB即为所求.（画法不唯一) (2)如答图②所示，△DEF即为所求.（画法不唯一） E L--E 24题答图① 24题答图② (3)∠BCD是直角.理由如下：连接BD. BC2=22+42=20,CD2=12+22=5,BD2=32+42=25, ∴.BC2+CD2=BD, ∴.∠BCD=90°，即∠BCD是直角， 25.解：(1).·∠CED=45°，∴.∠AEB=∠CED=45 ∠BAC=90°，∴.△ABE是等腰直角三角形， ∴.AB=AE,∴BE2=AB2+AE2=2AB .BE=2V3,.AB=√6. (2)如答图，过点D作DH⊥AC于点H,则∠DHE=90° A D 25题答图 .·∠CED=45°， ∴.△DEH是等腰直角三角形， 4. .EH DH. DE=√3，DE2=EH+DH=2EH, 六=m:9 CD=6, CH=/CD-DIF3 2 .AE =AB=6, AC-CH+E+AE3336 22 2 26.解：(1)正确 (2)2或√13[解析]设第三条边长为m, ①12+(7)2-2m2, 解得m=2(负值舍去)，此时三条边长分别为1，√7,2，可构 成三角形，符合题意； ②12+m2=2×(7)2, 解得m=√13（负值舍去），此时三条边长分别为1，√7， √13，可构成三角形，特合题意； ③m2+(万)2=2×12，方程无解 故答案为2或√3. (3)Rt△ABC是“类勾股三角形”，x,y为直角边长且x<y, z为斜边长， .x2+2=2y2 ,x2+y2=z2, x2+x2+y=2y2,即2x2=y, y=2x,2=3x2,z=5x, ∴.R△ABC的周长为x+y+z=(1+2+5)x, R△MC的面积为宁=宁·a:=号 第二十章勾股定理 能力提优测试卷 1.D2.C3.B4.D5.D6.A7.D8.C9.D 10.D[解析]如答图，作点A关于BC的对称点A',连接A'E, 交BC于点F',连接BA',AF',由对称的性质可得AF'=A'F', AB=A'B=6.AD的长为10，AE:DE=4:1,.AE=8, ∴.AF'+EF'=F'A'+EF'=A'E.在Rt△EAA'中，A'E= √EA+A4=√82+(6+6)=4√13(cm),.AF+EF的 最小值为4√13cm. 10题答图 11.90°12.5,12,13（答案不唯一） 03.7214.1515.21016.517.60 18.1.5或3[解析]据题意，分两种情况： ①当∠AED=90时，如答图①. B B C 18题答图① 18题答图② 由折叠知BE=BC=3,DE=CD,∠BED=∠C=90°， ∴.∠AED+∠BED=90°+90°=180°， AB=V√BC+AC=√32+4=5， 点E落在AB上，.AE=AB-BE=2 设CD=x,DE=CD=x,则AD=4-x 在Rt△AED中，由勾股定理，得(4-x)2=x2+22, 解得x=1.5,∴.CD=1.5; ②当∠ADE=90°时，如答图②， 则∠CDE=90°. 由折叠知∠BDC=∠BDE, .∠BDC=45°. :LC=90°，.△BCD是等腰直角三角形， .CD=BC=3. 综上所述，CD的长为1.5或3. 19.(1)证明：在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=2,CD=1, ∴由勾股定理，得BD=√BC2+CD=√4+1=√5. 在△ABD中，AB=2√5，BD=√5，AD=5, .AB2+BD2=(2√5)2+(5)2=25=52=AD2 由勾股定理的逆定理，得△ABD是直角三角形，且∠ABD =90° (2)解：Sam=Sam+San-25X5+21=6 2 20.解：(1)由题意，得AD=60 n mile,AB=100 n mile,BC= 125 n mile. 在Rt△ABD中，BD=√AB2-AD=√1002-602= 80(n mile), .CD=BC-BD =125-80=45(n mile), .AC=√CD2+AD=√452+602=75(n mile), 75÷25=3(h) 答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h. (2)AB2+AC2=1002+752=15625=1252=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴.∠NAC=180°-90°-48°=42°， .∴.C岛在A港的北偏西42°方向上. 21.解：选择方法一： 证明：由题意，得∠ABC=∠BDC=90°， ∴.∠DBC+∠BCD=∠BAC+∠BCD=90°， .∠DBC=∠BAC,即∠FBE=∠BAC .BE=AC=c,∠ABC=∠BFE=90°， ∴.△ABC≌△BFE, .∴.AB=BF=a,BC=EF=b. ySae=Sac+Saa=2AC:BD+2AC,DE =74C.(BD+DE)=24c:BE=22, SBFEF BG 1 …=7+8, .a2+b2=c2. 选择方法二： 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADC=90°，.∠ADE+∠MDC=90°. 参考答案及解析 .∠E=90°，∠ADE+∠EAD=90°， .∠EAD=∠MDC. '∠E=∠M=90°，∴.△AED≌△DMC ∴.ED=CM=a.同理可得，BF=CG=a. -2 b-2xab .a2+b2=c2.(任选其一即可) 22.解：(1)2.6 (2)小狗能将小球捡回来.理由如下： 当小狗跑至点M时，MN=CD=O.3m,过点N作NF⊥AB于 点F,如答图 B D::N A C M 22题答图 根据题意，得NF=AM=3.2m,MN=AF=0.3m, .BF =AB-AF =1 m, ∴.BW2=NF2+BF2=11.24. .3.52=12.25>11.24,.BN<3.5m, ,小狗能将小球检回来 23.解：(1)答案不唯一，所画正方形如答图①所示. (2)答案不唯一，所画三角形如答图②所示。 23题答图① 23题答图② 23题答图③ (3)连接AC,如答图③所示. 由勾股定理，得AC=BC=√2+2=√5，AB=√2+3 =√/10， .AC2+BC2=5+5=10=AB2, .△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°， .∠ABC=45°. 24.解：(1)如答图①，过点A作AM垂直于墙面，垂足为M. 根据题意可得AM=40cm,0A=50cm. 在Rt△A0M中，0M=√A02-AM=√502-402=30(cm), 即小凳子的高度为30cm. 02 24题答图① 24题答图② (2)如答图②，延长BA交墙面于点N, 易知∠BNC=90°，AN=40cm. 设AB=xcm,则BC=(x+60)cm, BN=(x+40)cm,CW=90-30=60(cm). 在Rt△BCWN中，BN+CN=BC, 即(x+40)2+602=(x+60)2, 解得x=40,则BC=60+40=100(cm). 故小凳子的宽AB为40cm,木杆BC的长度为100cm. 25.(1)解：设芦苇的长度为x尺， 则0C=0E=x尺，.0D=(x-1)尺 在Rt△ODE中，DE=5尺，∠ODE=90° 由勾股定理，得DE+0D2=0E, ·5 全程时习测试卷·八年级数学·下册 .52+(x-1)2=x2,解得x=13, .0D=13-1=12(尺). 答：水池的深度0D为12尺 (2)证明：，'OD=b,CD=n,AB=2a, ∴.OC=OE=b+n,DE=a. 在Rt△ODE中，∠ODE=90° 由勾股定理，得DE2+0D2=0E2 六a+6=(6+m）)2,6=02-m 2n 26.解：(1)：在长方形ABCD中，AD=16,AB=6, ∴.CD=AB=6,∠B=∠D=90° 在Rt△CDE中，由勾股定理，得 CE=√/DE+CD2=√82+62=10. 在Rt△ABF中，BF=t,AB=6, 由勾股定理，得AF=√36+2 AF=CE,.√36+F=10, 解得t=8或t=-8(舍)， 即当t=8时，AF=CE. G 26题答图 (2)如答图，过点F作FG⊥AD于点G ·四边形ABCD是长方形， ∴.∠B=∠BAG=∠AGF=90°， .四边形ABFG是长方形， ..AG=BF=t,FG=AB=6,CF=16-t, ∴.GE=AE-AG=8-t. 在Rt△FGE中，由勾股定理，得 FE2=GE2+FG=(8-t)2+62. 在Rt△FEC中， 由勾股定理，得FE2=CF2-CE2=(16-t)2-102, ∴.(8-t)2+62=(16-t)2-102,解得t=3.5, ∴.CF=16-t=12.5, Sm=7x12.5x6=37.5 (3)存在.，AD∥BC,∴.∠DEC=∠ECF .'∠FEC=∠DEC,∴.∠FEC=∠ECF, ∴.FE=FC, .(8-t)2+62=(16-t)2,解得t=9.75, ∴.存在t使得∠FEC=∠DEC,此时t=9.75s 专项巩固训练卷（三） 勾股定理综合应用的常见类型 1.解：依题意，得FE=CE=3cm,DC=DF, ∠DEC=∠DEF,∠DFE=∠C=∠DFA=90°. .AF=2EF. .AF=6cm」 .∴.AE=AF+EF=9cm AD∥BC, ,∴.∠ADE=∠DEC=∠DEF, .AD=AE=9 cm. 在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2 .62+DF2=92,.DF=3V5cm, .AB=DC=DF=3√5cm ·6. 2.（1)证明：.四边形ABCD是长方形， .∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD=AB=8. 由翻折的性质可知EP=AP,∠E=∠A=90°，BE=AB=8 在△ODP和△OEF中， r∠D=∠E=90°. OD=OE. ∴.△ODP≌△OEF(ASA),∴.OP=OF. L∠DOP=∠EOF, (2)解：.△ODP≌△OEF, ∴.OP=OF,PD=EF. .O =OD,..DF EP. 设AP=EP=DF=x, 则PD=EF=6-x,CF=8-x, .∴.BF=8-(6-x)=2+x. 在Rt△FCB中，根据勾股定理，得BC2+CF2=BF2, ∴.62+(8-x)2=（x+2)2,解得x=4.8, .AP=4.8 3.（1)证明：由题意，知AF=CF, AE=CE,∠AFE=∠CFE. ,·四边形ABCD是长方形， ∴.AD∥BC,∴.∠AEF=∠CFE, ∴.∠AFE=∠AEF, .AE=AF. .∴.AE=AF=CE=CF (2)解：由题意，知AE=CE=a. 由∠D=90知ED2+DC2=CE2, 即b2+c2=a2」 4.解：计划修筑的这条公路不会穿过公园.理由如下： 如答图，过点C作CD⊥AB,垂足为D. E 北 45 60° A 4题答图 由∠CBE=45°，易得∠BCD=∠DBC=45°， .CD=BD. 设CD=BD=xkm, .∠CAF=60°， .∠CAD=30°， .'AC =2x km. 由勾股定理，得 AD=√AC-CD=√(2x)2-x=3x(km). 由AD+DB=2km,得3x+x=2, .x=3-1, .CD=(3-1)km≈0.732km>0.7km, ∴.计划修筑的这条公路不会穿过公园. 5.解：如答图，作出点A关于河岸MW的对称点A',连接A'B交 MW于点P,连接AP,则AP+PB=A'P+PB=A'B就是最短 路程 A' M密N 北 4牧童 D. 小屋B 5题答图