四川省绵阳市2026届高三上学期第二次诊断性考试数学试题（B）

秘密★启用前【考试时间：2026年1月21日15：00一17：00】 2023级高三第二次诊断考试 数学 注意事项： 1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、考号和班级。 2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答 案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。考生回答非选择题时； 须用0.Smm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷 或草稿纸上无效。 3.考生不得将答题卡带离考场，考试结束后由监考员收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1、已知复数1-i,则川z= A,1 B.√2 C.2 D.4 2.已知集合A={x-1<<1},B=(xlogzx<1),则AnB= A.(0,1) B.(-1,4) C.(0,2) D.(0,4) 3.若直线：2x中y-1=0与直线2：ay=0(k∈R)平行，=， A月 B. C.-2 D.2 4.在△ABC中，BD=DC,若B=a,C=b,则D= A.atb B.0 C.-a-0 5.已知am受-克，则m A.-1 B.1 c D. 6.已知直线m,平面a,B,若ma,则“m⊥B”是“a⊥B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题第1页（共4.页） 7.已知表面积为6元的圆柱的底面直径和高都等于球0的直径，则球.0的.体积为 A.23n B.3π D.4元 8.已知抛物线E:y2=4x的准线为1，P为E上的一点，PA⊥1于点A,直线PB与圆 C:(x-4)2+y2=1相切于点B,若|PA=|PB,则点P的横坐标为 C.3 D. 1或3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若将函数/)=si如(2x-)(0<p<)的图象向左平移石后关于原点对称，则 A.(x)的最小正周期为2元 B.f(x)的最小值为-1 c.9号 D.f=ξ-) 10.已知函数f(x)nx+ax,则 A,(x)为偶函数 B.若a=0,∫()=(x2)(x≠x),则2=1 C.存在实数a,使得(x)为减函数 D.当a=-上时，了因)有两个零点 e L设双曲线C:-片=Ka>0,b>0的左，右焦点分别为F-e,0,Pc,0 圆F:(x+c)子+y2=4a2与C的左支在第二象限的公共点为A,线段A的垂直平 分线I与C的右支在第一象限的公共点为B,△ABF的面积为S,则 A.AF2|=4a B、A,B,F可三点共线 C.F,F2到1的距离之积为2b2 D.若S=4√5a2,则V6x+y=0是C的浙近线 数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a=(-2,1),b=,2),若a⊥b,则x= 13.已知数列{an)是等差数列，且a,=2,4o=8,则(a,)的前13项和等于 14.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形 通信屏蔽罩，其高为V5,底面圆直径AB=2, 且点C满足B=2BC.现在A点处固定一枚 无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为 无人机 一点)·点Q在母线PB上，队机先在空中 以直线航迹从点C飞行到Q处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点，设飞行路径总 长度为S.则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2a,且sinC=cosA. (1)求smC: (2)若b=√5，求a. 16.(15分) 已知等比数列和，)的首项为1，前n项和为S,且=引 S,32 (1)求(a}的通项公式： (2)求使Sn>2an成立的n的取值范围. 17.(15分) 已知函数f(x)=e*(2x-)-a(x-)· (1)当=1时，求曲线y=f(x)在点Q,f)处的切线方程： (2)若f()≥e,求实数a的值. 数学说两第3页（共4页） 18.(17分) 已知然圆c:苦+茶=ob>0的%心率为 ,短轴长为2√2. 2 (I)求C的标准方程： (2)P为C上一点且在第一象限，点M(-2,O),N(2,O),延长PM,PN分别交 椭圆C于A,B两点. (i)若PM=SM,求直线AB的斜率： (i)连接N,BM,记△PMB的面积为S1,△PAN的面积为S2,求S,-S2的最大 值。 19. (17分) 如图1，直三棱柱ABC-DEF的底面是边长为2的等边三角形，且AD-4.图2所示 的多面体T,可视作将图1中的△DEF在其平面内绕其中心逆时针旋转60°后，记为么 A1B1C,并重新连接AB,B1B,AIA,B1C,CA,CC得到. (1)如图2，证明：A1,B,C,C四点共面： (2)求多面体Γ的体积： (3)若点P在多面体T的棱BB1上，求AP与平面A1BC所成角的正弦值的最大值， 并求出此时点P在BB1上的位置， 】 图1 图2 拨学武题第4贺共小罗)高中2023级第二次诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.B2.A3.C4.D5.D6.A7.C 8.B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不 全的得部分分，有选错的得0分 9.BC 10.BCD 11.ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.1: 13.65; 14.11+23 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17 分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1).c=2a,由正弦定理：sinC=2sinA,… …1分 又sinC=cosA, 2sinA=C0sA,…2分 “tmA=上，又A是三角形的内角， …3分 2 ∴.cosA=sinC= 25 …6分 5 .sin c=2v5 …7分 (2)由余弦定理：a2=b2+c2-2bCC0SA,…8分 :a2-5+4m-2W52a 2 9分 .3a2-8a+5=0, 11分 ，.☑=1或0=万w …13分 16.(1)设等比数列{a}的公比为q, 第1页共6页 9=31 则40-g9)_31 …3分 S,32 a(1-q)32 化简得1+g= 31 解得9=2 5分 32 a.=ag=(: ……7分 2a-(,则820-( …9分 .S >2a, -(1>23。 …11分 …12分 ∴n可以为全体正的偶数及大于等于3的奇数， n的取值范围为{nn≥2，n∈N}.…15分 17.解：(1)f'(x)=(2x+1)e-1,…2分 f')=3e-1,且f0)=e,…3分 .所求切线方程为：y-e=(3e-1)(x-1),即：y=(3e-1)x-2e+1;…5分 (2):fI)=e,所以f(x)≥f), 则f)为f()的最小值，也是f()的极小值，… …7分 f'(x)=e*(2x+1)-a,… …8分 f"I)=3e-a=0,即：a=3e,…9分 下面验证：a=3e时，f(x)的最小值为e. 令g(x)=f'(x)=e(2x+1)-3e, .令g'(x)=e*(2x+3)=0,则x=- 3 …9分 e(,-3,g<0,f)为减函数.且f6)<0: 第2页共6页 E(+0）,g'国)>0，f)为增函数，10分 f(-习)=-2e-3e<0,f'(2)=5e2-3e>0,…11分 .f(x)必有唯一零点且等于1，…12分 ·x∈(-n,1),f'(x)<0,f(x)为减函数： x∈(1，+w),∫'()>0，f(x)为增函数，…14分 a=3e时，f(x)≥e.…15分 18.解：(1)，2b=22,则b2=2, 又离心率e=5,则9=-63 2 a2 a2 4 解得：a2=8, ∴.椭圆的标准方程为： +=1 …4分 82 (2)设P(xo:yo),A(xy1),M(-2,0) 则由PM=5M☑，且PM=(-2-x。-yo),M☑=（化，+2y),…5分 -2-x=5(x1+2) 5 ,则 …6分 -y=5y1 y。 5 代入椭圆方程，可得： (%+12):) 5 5 一十 =1①…7分 F 2 又+a=1.@ 82 联立①和②可解得：=2%1，故P0,1),4(-14,-{ ，…8分 又2,0)，则B(2,-1),故直线AB的斜率k= ;…9分 6 (3)设P。),A),B),则4= x。+2 第3页共6页 故直线PA:y=,K+2) x。+2 +=1 8 联立方程： 2 10分 y=,K+2) x。+2 可得：(x6+4y6+4x。+4)x2+16y6x+16y-8x-32x。-32=0,…11分 又x后+4y=8,代入上式化简整理可得：(3+x)x2+4x-3x6-8x,=0 由韦达定理：5=-8，解得：5= 3x。+8 3+x0 。+3, 代入直线A:y=,+2),解得：1=- x。+2 x。+3 故A( 3x。+8.-y0) …12分 x0+3x。+3 同理：直线PB斜率0=)，故直线PB:y=k-2. x。-2 x-2 x2,y2 =1 82 联立方程： 022) 可得：(x6+4y-4x。+4)x2-16yx+16y-8x+32x0-32=0, 又x+4=8,代入上式化简整理可得：(3-x。)x2-4yx-3x+8x。=0,…13分 8-3x0 达定理：o2=。。,解得：x,3 3-x0 代入直线H:y=,-2》,解得：=么，故3，)，14分 x。-2 3-x0 3-x。3-x。 S=8e-y.+=20,-c,>0.%<0), 8,=S=hWl+D=20,-片X,>0.片<0)， 所以9-S,=20-y2)=2(4+、。)4%. x0+33-x,9-x6 15分 第4页共6页 Xoyo 4 4 8 =4 二 +98+9% 2 x。9y。3,…16分 82 8.2x。V8y2x = 9yo 当且仅当 8y。2。,即x。= 6v5 远+-1 5·。=时，等号成立 82 8 故S-S,的最大值为 3· …17分 19.解：(1)证明：旋转后A1C/BC,所以A1,B,C,C1四点共面； …3分 (2)一种思路是发现多面体下实际由两个完全相同的四 棱锥拼接而成， 即B1-A1BCC1与A-A1BCC1,求其中任意一个四棱锥的体积 即可. 另一种思路是将该多面体补成一个上下底面均为正六棱 柱，再减去6个全等的小三棱锥的体积，这个上下底面均 为正六边形的棱柱的体积为85，每一个小三棱锥的体积为4 9 这个多面体体积为85-6x4W5_16V5 …9分 93 (3)如图所示，以底面中心O作为坐标原点，建立空间直角坐标系，将平面ABC 投影到底面xOy中，如下图所示.延长AO交BC于G, 则4G1BC.易知O4=2 ,o-g ,BE=1 3 则423 3。B1,0”3”)、 且∠A0A=行，AGL4C, 04=A0=2 3 …12分 第5页共6页 故0H5AH=GH=1,0®2 3 由平面AB,C到底面的距离为4， (50，c 2W3 3,-14), B 由P在多面体T的棱BB,可设BP=tBB, 其中1e0小，从而P(-55, ,1-t,4f),…13分 33 故D=（5-5.1-,40, 3 平面4BCC一个法向量n=(8,0,二433 AP与平面ABCC,所成角的正弦值满足sinB= 8√3t+1) 52+43 208 3 即sin26= 27t+1)2 14分 1313t2+3) 令f0-1503+) 27t+1)2 则f0-54-13-10t+3)--54+113r-3D …15分 1313t2+3)2 1303t2+3)2 故f0在(0， 单调选帽，在（合 )单调递减， 因此/0sf启-18 144 …16分 所以AP与平面ABCC,所成角的正弦值为 12 ,此时 BP 3 …17分 13 BB,13 第6页共6页