7.1.2 两条直线垂直-【勤径学升】2025-2026学年七年级下册数学同步练测（人教版·新教材）

第七章相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 课时1垂线 [答案P1] 《基础巩固练， 知识点①垂直的定义 6(江苏盐城期末)如图，直线AB,CD相交于点O, ①（广西贺州期末）如图，AB⊥AC,已知∠1=33°， OE平分∠B0D,∠D0E=36°，且OE⊥OF,垂足 则∠2的度数是 ( 为O.求∠AOC和∠AOF的度数， A.33 B.57o C.67° D.167o C C A 0 -B 6题图 D 1题图 3题图 2下列时刻中，时针与分针互相垂直的是() A.2时20分 B.3时整 C.12时10分 D.5时40分 3(河北衡水期中)如图，直线AB,CD相交于点O, 给出下列条件：①∠AOD=90°；②∠A0C= ∠BOC;③∠AOC=∠BOD.其中能说明AB⊥CD 的有 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4(责州华节期末)两条直线相交构成四个角，给 出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶 知跟点②垂线的画法 角互补；③有三个角相等；④有一组邻补角相 ⑦下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD, 等.其中能判定这两条直线互相垂直的有 三角尺操作正确的是 () ( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点0， ∠E0B=115°，求∠A0C的度数.请补全下面的 解题过程（括号中填写推理的依据）： 解：因为OE1CD于点O(已知)， 所以∠EOD= 知跟点③垂线的性质 因为∠E0B=115(已知)， 8下列说法正确的有 ( 所以∠DOB=」 =115°-90°=25. ①一条直线的垂线有且只有一条；②过直线上 因为直线AB,CD相交于点O(已知)， 一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在 所以∠AOC= =25( 同一平面内，过直线外一点有无数条直线与已 C 。8 知直线垂直；④在同一平面内，可以过任意一点 A 画已知直线的垂线。 5题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 o3。 同步练测·七年级数学·下册 《能力提升练 [答案2] 1①如图，直线AB,CD相交于点E,已知射线EF⊥7如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC, CD,下列说法不一定正确的是 OF平分∠B0C,OG⊥AB于点O. A.∠DEF=∠CEF=90° (1)判断OE和OF的位置关系，并说明理由； B.∠AEC+∠BEF=90° (2)若∠E0G=∠B0F+62°，求∠D0G的度数. C.∠AED=∠CEB EN D.∠BED+∠AEF=180° 7题图 1题图 2题图 4题图 2如图，直线AB,CD相交于点0，OE⊥CD,OF平 分∠B0E,若∠C0F=23°，则∠AOE的度数为 () A.40° B.46° C.49° D.52° 3已知OA⊥OC,∠AOB:∠B0C=1:4,则∠B0C 的度数为 ( 8[核心素养]如果两个角的差的绝对值等于90°， A.54° B.54°或120° 就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°，∠2= C.72或120° D.54或72 30°，|∠1-∠21=90°，则∠1和∠2互为垂角 4(河北石家庄期末)如图，A01B0,C01D0, (本题中所有角都是指大于0°且小于180° 的角) ∠AOC:∠B0C=1:4,则∠BOD= 5(上海浦东新区期中)∠1和∠2有公共顶点，且 (1)如图，0为直线AB上一点，OC⊥AB于点0， OE⊥OD于点O,∠AOE的垂角是 ∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°， ,∠BOE的垂角是 ； 则∠2= (2)在(1)的条件下，若∠AOE的垂角比∠BOE 6如图，直线AB与CD交于点0，∠COB=90°，直 大40°，求∠A0E的度数. 线EF经过点O,OM平分∠B0F,∠C0F=34°， 求∠DOE,∠FOM,∠EOM的度数. 8题图 D 6题图 4 第七章相交线与平行线 课时2垂线段 《基础巩固练 [答案2] 知跟点（①垂线段的定义 知银点③点到直线的距离 1如图，下列说法不正确的是 ⑤（上海浦东新区期末）下列图形中，线段PQ的长 表示点P到直线MW的距离是 () M、O A.M B 1题图 A.点B到AC的垂线段是线段AB P B.点C到AB的垂线段是线段AC C.M C.点D到AB的垂线段是线段AD D.点B到AD的垂线段是线段BD 6(湖北武汉期中)如图，AB⊥AC,AD⊥BC,能够 如跟点②垂线段的性质 表示点C到直线AD的距离的是 2(山西吕梁期中)如图，为了解决村民饮水困难 A.线段AC的长 的问题，需要在河边建立取水点，下面四个点中 B.线段CD的长 哪个最适合作为取水点？ () C.线段AB的长 D A.点A B.点B C.点C D.点D D.线段AD的长 6题图 B 村庄 ⑦新情境以下奥运会比赛项目中，按点到直线的 距离来评定成绩的是 () BCD河岸 A.跳远 B.链球 C.铅球 D.铁饼 D 2题图 3题图 8如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM, 3如图，AC1BC于点C,AD⊥CD于点D,AB=5, CN,若AB=3m,AC=5m,则点A到DE的距离 AD=3,则AC的取值范围是 可能为 ( 4如图，平原上有A,B,C,D四个村庄，为解决当地 A.5m 缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池： B.4m (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位 C.3m 置，使它到四个村庄的距离之和最小； D.2m 8题图 (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？ 9如图，已知AC⊥BC,CD⊥AB,AC=3,BC=4,AB 并说明依据. =5,则点C到直线AB的距离等于 A .C D 识 调 4题图 9题图 10题图 10如图，在三角形ABC中，AC=5,BC=6,BC边上 高AD=4,若点P在边AC上（不含端点）移动， 则BP最短时的值为 5。学升·同步练测· 参芳答 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 【基础巩固练】 1.D 2.∠2和L445° [解析]由题图可知，∠1的邻补角为∠2和∠4.因为∠1和 ∠2互为邻补角，所以∠1+∠2=180°.又因为∠1：∠2=1： 3,所以∠1=180°× 4=45 3.(1)80°(2)2a [解析](1)因为∠C0E=90°，∠COF=40°，所以∠E0F= 90°-40°=50°.因为0F平分∠A0E,所以LA0E=2∠E0F= 100°，所以∠B0E=180°-100°=80°.故答案为80 (2)因为∠C0E=90°，∠C0F=,所以∠E0F=90°-a.因为 0F平分∠A0E,所以∠A0E=2∠E0F=180°-2a,所以 ∠B0E=180°-(180°-2a)=2a.故答案为2a. 4.A5.C6.A 7.C[解析]每两条直线相交有2对对顶角，三条直线两两相 交，共有3组相交线，故对顶角共有6对 8.38° 9.解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠AOE的对顶角是∠BOF, ∠EOC的对顶角是∠DOF (2)因为∠AOC的对顶角是∠BOD,∠AOC=50°， 所以∠BOD=50°. 因为∠BOC是∠BOD的邻补角， 所以∠B0C=180°-50°=130°. 【能力提升练】 1.C[解析]因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1=∠3，所以当 ∠1增大2°时，∠3增大2°.因为∠1与∠2是邻补角，∠1与 ∠4是邻补角，所以∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，所以当 ∠1增大2°时，∠2减小2°，∠4减小2°.故A,B,D错误， C正确. 2.C[解析]因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC= ∠B0D=60°.因为∠AOC-2∠A0E=20°，所以∠A0E=20°. 由题意可知，∠AOD=180°-∠B0D=120°，所以∠D0E= ∠AOD-∠AOE=100°.因为射线OF平分∠DOE,所以 ∠D0F=号∠D0E=50,所以∠A0P=∠A0D-∠D0P= 120°-50°=70° 3.78° 4.60[解析]因为OE平分∠AOC,OC平分∠E0B, 所以∠AOE=∠COE,∠COE=∠BOC, 所以∠AOE=∠COE=∠BOC. 因为∠A0E+∠C0E+LB0C=180°， 所以∠B0C=60°， 参考答案及解析 七年级数学·下册 案及解析 所以∠AOD=∠BOC=60°. 故答案为60. 5.36[解析]根据题意，设∠E0C为2x°，则∠E0D为3x°，则 2x+3x=180,解得x=36, 所以∠E0C=2x°=72° 因为OA平分∠E0C, 所以LA0c=子∠B0C=子×720=36，所以∠B0D= ∠A0C=36°. 6.110°[解析]设∠2=x,则∠1=2x-30. 因为∠1+∠2=180°， 所以2x-30°+x=180°，解得x=70°， 所以∠2=70°，∠1=110°. 7.2n(n-1) 8.解：(1)因为OE平分∠C0B, 所以Lc0E=?Lc0B 因为∠A0D=∠COB, 所以∠A0D=2∠C0E. (2)因为∠A0C=50°， 所以∠B0C=180°-50°=130°， 所以LB0C=之LB0C=65, 所以∠D0E=180°-∠E0C=180°-65°=115°. 因为OF平分∠D0E, 所以LB0P=7LD0E=57.50 (3)设∠AOC=∠BOD=a, 则∠D0F=a+15°， 所以LE0F=∠D0F=a+15°， 所以∠EOB=∠EOF+∠BOF=+30°， 所以∠C0B=2∠E0B=2a+60. 而∠C0B+∠BOD=180°， 即2a+60°+a=180°， 解得a=40°， 即∠A0C=40. 7.1.2两条直线垂直 课时1垂线 【基础巩固练】 1.B2.B 3.A[解析]①LAOD=90°，可以得出AB⊥CD;②因为∠AOC+ ∠B0C=180°，∠A0C=∠B0C,所以∠A0C=∠B0C=90°， 可以得出AB⊥CD:③∠AOC=∠BOD,不能得到AB⊥CD.故 能说明AB⊥CD的有①②. 4.A[解析]两条直线相交构成四个角，①有一个角是直角，能 判定这两条直线互相垂直；②有一对对顶角互补，根据对顶角 相等，可得这一对对顶角都是90°，能判定这两条直线互相垂 ·1. 同步练测·七年级数学·下册 直；③有三个角相等，则每个角都等于90°，能判定这两条直 线互相垂直；④有一组邻补角相等，则这两个角都为90°，能 判定这两条直线互相垂直.所以能判定这两条直线互相垂直 的有①②③④，共有4个.故选A 5.90°垂直的定义∠E0B-∠EOD∠DOB 对顶角相等 6.解：因为OE平分∠B0D,∠D0E=36°， 所以∠D0E=∠E0B=36 又因为∠AOC=∠BOD, 所以∠A0C=2×36°=72° 因为OE1OF, 所以∠E0F=90°， 所以∠B0F=90°-36°=54°， 所以∠A0F=180°-∠B0F=180°-54°=126° 7.D8.A 【能力提升练】 1.D[解析]因为DE⊥EF,所以∠DEF=∠CEF=90°，所以 ∠DEB+∠BEF=90°.因为∠AEC=∠DEB,所以∠AEC+ ∠BEF=90°，故A选项、B选项正确；由题图可得LAED和 ∠CEB互为对顶角，所以∠AED=∠CEB,故C选项正确； ∠BED+∠AEF无法确定，故D选项不一定正确， 2.B 3.C[解析]因为OA⊥0C,所以∠A0C=90°.如答图①.因为 LA0BLB0C=1:4,所以LB0C=号LA0C=7;知答图② 因为∠AOB:∠BOC=1:4,所以∠BOC:∠AOC=4:3,所以 ∠B0C=4 ∠A0C=120°.综上所述，∠B0C的度数为720 或120°， A B 0 3题答图① 3题答图② 4.150°[解析]设∠A0C=x°，则∠B0C=4x°，所以∠A0B= 3x°.因为A01B0,所以3x=90,所以x=30,所以∠B0D= 360°-90°-90°-30°=150°. 5.35°或145°[解析]第一种情况，如答图①.因为0A⊥0C, OB⊥0D,所以∠1+∠B0C=90°，∠2+∠B0C=90°，所以 ∠1=∠2=35°； 第二种情况，如答图②，∠C0D=∠2.因为OA⊥0C,0B⊥ 0D,所以∠1+∠B0C=90°，∠1+∠A0D=90°，所以∠B0C =∠A0D=90°-∠1=55°，所以∠2=∠C0D=∠1+∠B0C+ ∠A0D=35°+55°+55°=145°.综上所述，∠2的度数为359 或145°. 5题答图① 5题答图② ·2 6.解：∠D0E=∠C0F=34° 因为OM平分∠B0F, 所以LFOM=号∠BOF 又因为∠C0B=90°，∠C0F=34°， 所以∠B0F=90°-34°=56°， 所以∠F0M=号∠B0F=28 因为∠B0M=∠F0M=28°， 所以∠E0M=∠D0E+∠D0B+∠B0M=34°+90°+28° =152°. 7.解：(1)OE⊥0F,理由如下： 因为OE,OF分别平分∠AOC,∠B0C, 所以LC0E=∠A0E=7∠A0C, LCOF=LBOF=LBOC, 所以LB0F=∠C0E+LC0F=之(LA0C+∠B0G). 又因为∠A0C与∠B0C为邻补角， 所以LA0C+∠B0C=180°， 所以LB0P=7×180°=90，所以0B10R (2)因为∠AOC=∠BOD, 所以LA0E=子∠A0C=分∠B0D 又因为OG⊥AB于点O, 所以∠A0G=∠B0G=90° 所以∠EOG=∠AOE+∠AOG= 号∠B0D+90 因为∠B0C+∠B0D=180°， 所以∠BOC=180°-∠B0D. 因为OF平分∠BOC, 所以LB0F=7∠B0C=宁(180-∠B0D), 因为∠E0G=∠B0F+62°， 所以分∠B0D+90°=号(180°-∠B0D)+620, 解得∠BOD=62°， 所以∠D0G=∠B0G-∠B0D=90°-62°=28°. 8.解：(1)∠AOD∠BOD,∠COE (2)设∠A0E的度数为x,则∠B0E的度数为(180°-x). 因为∠A0E的垂角比LB0E大40°， 所以90°+x-(180°-x)=40°， 解得x=65°，则LA0E的度数是65°. 课时2垂线段 【基础巩固练】 1.C[解析]因为AB⊥AC,且垂足为A,所以点B到AC的垂线 段是线段AB,所以A正确；因为AC⊥AB,且垂足为A,所以，点 C到AB的垂线段是线段AC,所以B正确；因为AD与AB不垂 直，所以，点D到AB的垂线段不是线段AD,所以C错误；因为 BD⊥AD,且垂足为D,所以点B到AD的垂线段是线段BD,所 以D正确. 2.B 3.3<AC<5[解析]因为AC⊥BC于点C,AB=5,所以AC< AB=5.又因为AD⊥CD于点D,AD=3,所以AC>AD=3,所 以3<AC<5.故答案为3<AC<5. 4.解：(1)因为两点之间，线段最短，所以连接AD,BC交于点H, 则，点H为蓄水池的位置，如答图，它到四个村庄的距离之和 最小. (2)过点H作HG⊥EF,垂足为G,如答图，沿HG开渠最短.依 据是“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短”. B D E Gh F 888迪 4题答图 5A6.B7.A8.D9号1029 5 7.1.3两条直线被第三条直线所截 【基础巩固练】 1.D2.∠ACD,∠CDB3.B 4.∠DEF或∠DEC[解析]∠1与∠DEF可以看成直线AB与 直线EF被直线DE所截形成的内错角；∠1与∠DEC可以看 成直线AB与直线AC被直线DE所截形成的内错角.故答案 为∠DEF或∠DEC. 5.C6.A7.C 8.AB AC DE内错3 9.解：∠1与∠D是直线BA和直线CD被直线AD所截得到的内 错角；∠1与∠B是直线AD和直线BC被直线AB所截得到的 同位角；∠3与∠4是直线AB和直线CD被直线AC所截得到 的内错角；∠B与∠BCD是直线AB和直线CD被直线BC所 截得到的同旁内角；∠2与∠4是直线AD和直线CD被直线 AC所截得到的同旁内角， 【能力提升练】 1.A2.C3.B 4.B[解析]由题图可知∠2和∠1是邻补角，∠3和∠2是邻 补角，故选项A,C不符合题意；∠2与∠10和∠7都是同位 角，选项D不符合题意；∠2与∠8和∠9都是同旁内角，选项 B符合题意.故选B. 5.3[解析]∠1的同旁内角有∠EFD,∠ECD和∠ECB,共3个 6.(1)∠2(2)∠4(3)ED(4)AF同位 7.解：(1)因为∠C0M=120°，所以∠D0F=120° 因为OG平分∠D0F,所以∠FOG=60°， (2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF. (3)因为∠C0M=120°，所以∠C0F=60°. 因为LBB=∠C0F,所以∠BWB=30, 所以∠AM0=30°. 8.解：(1)∠1同务内角∠13同位角∠3.（答案不唯-） (2)能，路径如下： ∠1内错角∠4同位角∠7同旁内角∠2.（答案不唯一） 参考答案及解析 易错疑难集训一 1.B ,以易错分析… 对顶角相等，反之相等的两个角不一定是对顶角： 邻补角互补，反之互补的两个角不一定是邻补角 2.B ,以易错分析 对垂线的性质中“在同一平面内”理解错误 因为如果过直线上一点，作已知直线的垂线时，在 不同平面内可以作出无数条该直线的垂线，所以垂线的 性质中“在同一平面内”是一个前提，在实践中体会性质 :表述的严谨性. 3.D ,易错分析… 过直线外一点向该直线作垂线段时出错 过直线外一点向该直线作垂线段时，有时给出的图 形上的“直线”是一条线段或一条射线，可能需要向线段 {的延长线或射线的反向延长线上作垂线段： 4.B ,易错分析 在本题中常见的错误有两个：一是漏掉一个同位角 ∠DME,误认为∠1的同位角只有∠2；二是把∠3当作 ∠1的同位角.通过分离出“三线”可以知道∠1和∠2是 直线MW和AB被直线EF所截形成的同位角；∠1和 ∠DME是直线CD和AB被真线EF所截形成的同位角.. 5.∠1和∠3∠2和∠4∠2和∠BED ,易错分析 在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时， 一般从截线入手，找到“三线八角”的基本图形，进而确 :定两个角的位置关系： 6.解：同位角：∠1与L2,∠4与∠6： 内错角：∠1与∠3，∠4与∠5； 同旁内角：∠3与∠4，∠1与∠5. 7.解：不正确，第二步出错 同旁内角是∠B与∠C,∠B与∠BAC,∠B与∠BAE,∠C与 ∠BAC,∠C与∠CAD. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 【基础巩图练】 1.B2.C 3.三[解析]若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线 中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线 中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或 五个交，点：若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平 行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线 中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个.综上可 知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三 条平行线.故答案是三 ·3·