7.1.2 课时1 垂线-【勤径学升】2025-2026学年七年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该教案聚焦“垂线”核心知识，涵盖垂直定义、画法及性质，通过时钟问题（如3时整时针分针垂直）等生活实例导入，衔接相交线、对顶角前序内容，搭建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料融合多地期末真题，题型多样，以生活情境题培养数学眼光，规范推理过程（如解题依据标注）发展数学思维与语言表达，助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供丰富教学资源，提高课堂效率。

7. 1. 2　两条直线垂直 课时1　垂线 垂直的定义　　 (广西贺州期末)如图，AB⊥AC，已知∠1＝33°，则∠2的度数是(B) 1题图 A．33° B．57° C．67° D．167° 　　　 下列时刻中，时针与分针互相垂直的是(B) A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 (河北衡水期中)如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①∠AOD＝90°；②∠AOC＝∠BOC；③∠AOC＝∠BOD.其中能说明AB⊥CD的有(A) 3题图 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ (贵州毕节期末)两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角； ②有一对对顶角互补；③有三个角相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有(A) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠EOB＝115°，求∠AOC的度数．请补全下面的解题过程(括号中填写推理的依据). 解：因为OE⊥CD于点O(已知)， 所以∠EOD＝90°(垂直的定义). 因为∠EOB＝115°(已知)， 所以∠DOB＝∠EOB－∠EOD＝115°－90°＝25°. 因为直线AB，CD相交于点O(已知)， 所以∠AOC＝∠DOB＝25°(对顶角相等). 5题图 (江苏盐城期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE＝36°，且OE⊥OF，垂足为O.求∠AOC和∠AOF的度数． 6题图 解：因为OE平分∠BOD，∠DOE＝36°， 所以∠DOE＝∠EOB＝36°. 又因为∠AOC＝∠BOD， 所以∠AOC＝2×36°＝72°. 因为OE⊥OF， 所以∠EOF＝90°， 所以∠BOF＝90°－36°＝54°， 所以∠AOF＝180°－∠BOF＝180°－54°＝126°. 垂线的画法　　 下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角尺操作正确的是(D) A． B． C． D． 垂线的性质　　 下列说法正确的有(A) ①一条直线的垂线有且只有一条；②过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直；④在同一平面内，可以过任意一点画已知直线的垂线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图，直线AB，CD相交于点E，已知射线EF⊥CD，下列说法不一定正确的是(D) 1题图 A．∠DEF＝∠CEF＝90° B．∠AEC＋∠BEF＝90° C．∠AED＝∠CEB D．∠BED＋∠AEF＝180° 　　　 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOE，若∠COF＝23°，则∠AOE的度数为(B) 　 2题图 A．40° B．46° C．49° D．52° 已知OA⊥OC，∠AOB∶∠BOC＝1∶4，则∠BOC的度数为(C) A．54° B．54°或120° C．72°或120° D．54°或72° (河北石家庄期末)如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC∶∠BOC＝1∶4，则∠BOD＝150°． 4题图 (上海浦东新区期中)∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1＝35°，则∠2＝35°或145°． 如图，直线AB与CD交于点O，∠COB＝90°，直线EF经过点O，OM平分∠BOF，∠COF＝34°，求∠DOE，∠FOM，∠EOM的度数． 6题图 解：∠DOE＝∠COF＝34°. 因为OM平分∠BOF， 所以∠FOM＝∠BOF. 又因为∠COB＝90°，∠COF＝34°， 所以∠BOF＝90°－34°＝56°， 所以∠FOM＝∠BOF＝28°. 因为∠BOM＝∠FOM＝28°， 所以∠EOM＝∠DOE＋∠DOB＋∠BOM＝34°＋90°＋28°＝152°. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，OG⊥AB于点O. (1)判断OE和OF的位置关系，并说明理由； (2)若∠EOG＝∠BOF＋62°，求∠DOG的度数． 7题图 解：(1)OE⊥OF，理由如下： 因为OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC， 所以∠COE＝∠AOE＝∠AOC， ∠COF＝∠BOF＝∠BOC， 所以∠EOF＝∠COE＋∠COF＝(∠AOC＋∠BOC). 又因为∠AOC与∠BOC为邻补角， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°， 所以∠EOF＝×180°＝90°，所以OE⊥OF. (2)因为∠AOC＝∠BOD， 所以∠AOE＝∠AOC＝∠BOD. 又因为OG⊥AB于点O， 所以∠AOG＝∠BOG＝90°， 所以∠EOG＝∠AOE＋∠AOG＝∠BOD＋90°. 因为∠BOC＋∠BOD＝180°， 所以∠BOC＝180°－∠BOD. 因为OF平分∠BOC， 所以∠BOF＝∠BOC＝(180°－∠BOD). 因为∠EOG＝∠BOF＋62°， 所以∠BOD＋90°＝(180°－∠BOD)＋62°， 解得∠BOD＝62°， 所以∠DOG＝∠BOG－∠BOD＝90°－62°＝28°. [核心素养]如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1－∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角). (1)如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，∠AOE的垂角是∠AOD，∠BOE的垂角是∠BOD，∠COE； (2)在(1)的条件下，若∠AOE的垂角比∠BOE大40°，求∠AOE的度数． 8题图 解：(2)设∠AOE的度数为x，则∠BOE的度数为(180°－x). 因为∠AOE的垂角比∠BOE大40°， 所以90°＋x－(180°－x)＝40°， 解得x＝65°，则∠AOE的度数是65°. 学科网（北京）股份有限公司 $