17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

17.3一元二次方程根的判别式 1.A2.D 3.解：(1)a=-1,b=-3,c=1, .4=(-3)2-4×(-1)×1=13>0, .方程一x2一3x十1=0有两个不相等的实数根. 1 (2).a=2,b= 2c=4, 4=(-4x2x>0 方程22一2x十 7 +1=0有两个不相等的实数根. (3)方程可变形为4x2一4√5x十5=0， ∴.a=4,b=-45,c=5, ∴.△=(-45)2-4×4×5=0 ∴.方程4x2+5=45x有两个相等的实数根. (4)方程可变形为3.x2-√3x十2=0， ∴.a=3,b=-√3，c=2, ∴.△=(-√3)2-4×3X2=-21<0. .方程一3x2十√3x=2没有实数根. 4.D【解析】根据题意，得△=(-2)2一4(k一1)≥0， 解得k≤2，∴.k的取值不可以是3. 5.-2 6.a>一4【解析】根据题意，得△=（一4）2一4×1· (-a)>0,解得a>-4. 7.解：(1)原方程可整理为x2一(2k一1)x十k2-2k一3 =0, ∴.△=[一(2k一1)]2-4(k2-2k-3)=4k+13. 当△>0时，方程有两个不相等的实数根， 即铁十13>0，解得>-号 (2)由(1)知，△=4k十13.当△=0时，方程有两个相等 的实数根，即4钻十13=0，解得k三一13 (3)由(1)知，△=4k十13.当△<0时，方程没有实 数根， 即秋十18<0，解得6<-日 8.B变式题C 9.A【解析】.一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有 两个相等的实数根，∴.△=b2一4ac=0.又a十b十c =0,即b=-a-c,代入b2-4ac=0,得(-a-c)2- 4ac=0,即(a+c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2- 2ac+c2=(a-c)2=0,∴.a=c. 10.m≤1且m≠0【解析】，一元二次方程m.x2+2x十 1=0有实数根，∴.△=b2一4ac=4一4m≥0，且m≠ 0,解得m≤1且m≠0. 11.解：1)证明：4=(2k+1)-4×4(k-号）》 =4k2+4k+1-16k+8 410 八年级数学HK版 =4k2一12k+9 =(2k-3)2. (2k-3)2≥0，即△≥0， .无论取何值，此方程总有实数根. (2)①当b=c时，△=(2k-3)2=0, 3 解得k=2 方程化为x2-4x十4=0，解得x1=x2=2,即b=c =2. 2+2=4, 此种情况不成立； ②当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程，得 16-4(2k+10+4(k-2)）=0, 解得大一是 方程化为x2一6x十8=0，解得x1=4,x2=2, ∴.这个等腰三角形的三边长为4,4,2， ∴.这个等腰三角形的周长是4+4十2=10. 12.解：(1)：该一元二次方程有实数根， .△=22-4(m-3)≥0， 解得m≤4. (2)①a是关于x的一元二次方程x2十2x十m-3 =0的一个根， ∴.a2+2a十m-3=0, 解得m=-a2-2a十3. a十b-2是关于x的一元二次方程x2-4x十m十 n=0的一个根， .∴.(a十b-2)2-4(a+b-2)+m+n=0. 把m=-a2-2a+3代入，得(a十b-2)2-4(a+b 2)-a2-2a+3+n=0, .a2+b2+4+2ab-4a-4b-4a-4b+8-a2-2a +3+n=0, 解得n=-b2-2ab+10a+8b-15. ②n=b-5,n=-b2-2ab+10a+8b-15, .b-5=-b2-2ab+10a+8b-15, 整理，得(b2+2ab一2b)一10a一5b+10=0, (b+2a-2)(b-5)=0. .b≠一2a十2， ∴.b十2a-2≠0， .b-5=0, 解得b=5. 17.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.C3.-3 4.2【解析】限据题意，得1：=分=2。 :x1=1是方程x2十bx十2=0的一个根，x2=2,即 方程的另一个根为2. 一题多解法 ,x1=1是方程x2十bx十2=0的一个根，∴.1十b 十2=0，解得b=-3,∴.原方程为x2-3x+2= 0,因式分解得(x一1)(x-2)=0,解得x1=1,x =2,.方程的另一个根是2. 5.B 6.-9【解析】，x1x2是方程x2-3.x-3=0的两个实 数根，x1十x2=3,x1x2=-3,则原式=x1x2(x1十 x2)=(-3)X3=-9. 3 1 7.解：由题意得x1十x,=2x1=2 (1)原式=(x1十x2)2-2x1x2= 31 -2×2=4 19 2 5 (2)原式=x-2x1x2十x=(x1十x2)2-4x1x2= (》-4x--2- 8.解：(1)证明：根据题意，得△=(m十4)一4(m十3) =m2+8m+16-4m-12=m2+4m+4=(m+2) ≥0， .无论取何值，方程总有实数根 (2)根据题意，得x1十x2=-(m十4)=一m-4,x1x2 =m+3. 2x1十2x2=3x1x2十3，.2(x1十x2)=3x1x2十3， .2(一m一4)=3(m+3)十3，解得m=-4. 9.C【解析】设原方程的两根为x1,x2,则x1十x2=4 一k2. x1,x2互为相反数，∴x1十x2=0, .4一k2=0,解得k1=2,k2=一2. ,△=(k2一4)2一4(k-1),.当k=2时，△=一4<0， 原方程无实数根；当k=一2时，△=12>0，原方程有 两个不相等的实数根，.k=一2. 10.C【解析】根据题意，得a十b=2,ab=一5，∴.一次函 数y=(ab一1)x十a十b化为y=一6x十2，∴.一次函 数y=(ab一l)x十a十b的图象经过第一、第二、第四 象限，即一次函数y=(ab一1)x十a十b的图象一定 不经过第三象限. 11.A【解析】.实数a,b(a≠b)满足a2一5a一1=0，b 一5b一1=0，∴.实数a,b(a≠b)可以看作是关于x的 方程x2一5x一1=0的两个不同的实数根，.a十b= 5,故选项C,D都不符合题意；.a=5一b,,∴.a2+6b =(5-b)2+6b=b2-10b+25+6b=b2-4b+25= (b一2)2+21>0，故选项A符合题意，选项B不符合 题意. 12.一1【解析】，m,n是方程x+x-1=0的两个不 相等的根，∴.m+n=一1，m2十m=1,∴.m3十m2= m,∴.m3十m2+n=m十n=-1. 13.解：(1)根据题意，得-1十m=4,-m=c十3，∴.m= 5,c=-8. (2):方程的两个不相等的实数根为α和B, …a十B=4,a8=c+3, :1+1=。+4 …aB9=十3=(，解得c1=-4,c=1.经 检验，c1=一4，c:=1都为原分式方程的根. 当c=-4时，△=(-4)2-4(c+3)=20>0: 当c=1时，△=0（不符合题意，舍去）. 综上，c的值为一4. 14.解：(1)，关于x的一元二次方程x2一2k.x十k2十k十 1=0有两个实数根， ∴.△=b2-4ac=(-2k)2-4×1·(k2+k+1)≥0， 解得k≤一1. (2):方程x2一2kx+k2+k十1=0的两个实数根为 x1x2, .x1十x2=2k,x1x2=k2十k十1. +k+1=(k+）'+>0>0 3 |x1|+|x2|=2,.(x1|+|x21)2=4, .x+2|x1x2|十x=4. x1x2>0, x+2x1x2十x=4,.(x1十x2)2=4, .(2k)2=4,解得k,=1,k2=一1. 由(1)可知，k≤-1，∴k=-1. 15.解：(1)设方程x2一6x十a=0的两个根分别为m,n. ,该方程是“倍根方程”，.可设n=2m. .'m+n=6,mn=a, ∴.3m=6,2m2=a, ∴.m=2,.a=8. (2)设方程x2十bx十c=0的两个根为x1,x2, 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，∴分以 下两种情况讨论： ①当x1=2x2,x1=x时，得2x2=x, 解得x2=2或x2=0(不合题意，舍去)，.x1=4. x1十x2=-b,x1x2=c,.b=-6,c=8: ②当x2=2x1,x1=x时，得x1=4x1, 1 1 解得x,=4或x,=0(不合题意，舍去)：=2： 31 x1十x2=-b,x1x2=c,b= Γ4c=8 综上，b=-6,c=8或6=- 1 4=8 17.5一元二次方程的应用 第1课时面积问题与数字问题 1.A 2.解：设剪去的正方形的边长为xcm 由题意，得做成无盖的长方体盒子的底面是长为(10一 2x)cm、宽为(8-2x)cm的长方形， .(10-2x)(8-2x)=24, 解得x1=2,x=7(不合题意，舍去)，∴x=2,即剪去 的正方形的边长为2cm. 下册参考答案 1117.4一元二次方程的根与系数的关系 要闾梳理 -元二次方程的根与系数的关系：如果a.x2+bx十c=0(a≠0，且b2一4ac≥0)的两个根为x1,x2,那么x b 十x2=一 a x1x2= ,这个关系通常称为韦达定理， 已课内基础闯关 (2)(x1-x2)2. 知识点①一元二次方程的根与系数的关系 1.(2025湖北)一元二次方程x2一4x+3=0 的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的是 A.x1十x2=-4 B.x1十x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 2.(2025安庆期中)已知一元二次方程的两根 分别是3和一2，则这个一元二次方程是 ) A.x2-x+6=0 B.x2+5.x-6=0 知识点③ 利用根与系数的关系求字母系 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 数的值或取值范围 3.若关于x的一元二次方程x2一x一c=0的 8.（2025准北期中)已知关于x的一元二次方 一个根为4，则另一个根是 程x2+(m十4)x十m+3=0. 4.一题多解法关于x的一元二次方程x2十bx (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根. 十2=0有一根x1=1,则另一根x2 (2)若x1,x2是方程的两根，且2x1十2x2= 3x1x2十3，求m的值. 知识点② 利用根与系数的关系求含根代数 式的值 5.(2025六安裕安区月考)若方程x2一4x一2= 0的两根为x12,则上+1的值为 1 A.2 B.-2 C.2 D.- 2 6.设x1,x2是方程x2-3x一3=0的两个实数 根，则xx2十x1x号的值为 7.(教材变式)设x1,x2是一元二次方程2x2 3x十1=0的两个根，利用根与系数的关系， 求下列各式的值： (1)x+x. 426 八年级数学HK版 已课外拓展提高 14.已知关于x的一元二次方程x2一2kx十k2 十k+1=0有两个实数根， 易错点 忽略考虑△而致错 (1)试求k的取值范围. 9.关于x的方程x2十(k2一4)x十k一1=0 (2)若此方程的两个实数根为x1,x2,且满 的两个根互为相反数，则k的值为( 足|x1|+x2=2,试求k的值. A.士2 B.2 C.-2 D.不能确定 10.一元二次方程x2一2x一5=0有两个实数 根a,b,那么一次函数y=(ab-1)x+a+ b的图象一定不经过的象限是 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.实数a,b(a≠b)满足a2一5a一1=0，b2 5b一1=0，则 巴综合能力提升 A.a+b=5,a2+6b>0 15.新定义题新定义：若关于x的一元二次方程 B.a+b=5,a2+6b<0 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于 C.a+b=-5,a2+6b>0 另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根 D.a+b=-5,a2+6b<0 方程”；若关于x的一元二次方程有两个实数 12.若m,n是方程x2十x一1=0的两个不相 根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外 等的根，则m3十m2+n的值为 一个根，则称这样的方程为“方根方程”. (1)若一元二次方程x2一6x十a=0是“倍 13.已知关于x的一元二次方程x2一4x+c十 根方程”，求a的值， 3=0有两个不相等的实数根. (2)若一元二次方程x2十bx十c=0既是 (1)若该方程的一个实数根为一1，求另一 “倍根方程”又是“方根方程”，求b,c的值. 个实数根m及c的值， (2)若该方程的两个不相等的实数根为α 和B,且上+】=c,求c的值。 αB 下册第17章 27△