17.3 一元二次方程根的判别式-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

17.3一元二次方程根的判别式 8便图梳理 -元二次方程根的判别式：一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)根的情况可由b2一4ac来确定.我们把b -4ac叫作一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“△”来表示，即4=b2一4ac.当△ >0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根， 反之亦成立. 巴课内基础闯关 (4)-3.x2+3x=2. 知识点① 根的判别式 1.一元二次方程x2一5x+2=0的根的判别式 的值是 ( A.17 B.15 C.12 D.9 知识点③ 利用根的判别式求值或取值范围 知识点② 利用根的判别式判断根的情况 4.(教材变式)若关于x的一元二次方程x2 2.(2025安徽)下列方程中，有两个不相等的实 2x十k一1=0有实数根，则k的取值不可以 数根的是 是 A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 A.0 B.1 C.2 D.3 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 5.(2025德阳改编)若关于x的一元二次方程 3.用根的判别式判断下列方程根的情况（不用 一2x2十4x十k=0有两个相等的实数根，则 求方程的根)： k的值是 (1)-x2-3x+1=0. 6.若关于x的一元二次方程x2一4x一a=0有两 个不相等的实数根，则a的取值范围是 7.(教材变式)已知关于x的一元二次方程x 一(2k一1)x=一k2+2k+3,问：k取何值 22x2-2+ 7 三0 4 时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ (3)4x2+5=45x. 24 八年级数学HK版 已课外拓展提高 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另 8.已知abc>0,则关于x的方程a.x2十bx十c 外两边长b,c恰好是这个方程的两个根， =0与a.x2一bx+c=0的根的情况是 求这个等腰三角形的周长， ( A.两个方程可能一个有实数根，另一个没有 实数根 B.若两个方程都有实数根，则必有一根互为 相反数 C.若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D.若两个方程都有实数根，则必有一根互为 倒数 变式题利用一元二次方程的系数直接判 断方程根的情况 已知a<0,b<0,c>0,则关于x的方程 a.x2+bx+c=0的根的情况是 ( 已综合能力提升 A.无实数根 12.运算能力已知a是关于x的一元二次方 B.只有一个实数根 程x2+2x十m一3=0的一个根 C.有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围. D.有无数个实数根 (2)若a十b一2是关于x的一元二次方程 x2一4x十m+n=0的一个根， 9.新定义题（2025芜湖一模)定义：如果一元 ①请用含a,b的式子表示n; 二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)满足a十b ②若n=b一5，且b≠-2a+2,求b的值. 十c=0,那么我们称这个方程为“凤凰方 程”.已知ax2+bx十c=0(a≠0)是“凤凰方 程”，且有两个相等的实数根，则下列结论正 确的是 ( A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c 10.(2025合肥期未)若一元二次方程mx2十 2x十1=0有实数根，则m的取值范围是 11.分类讨论思想已知关于x的方程x2一(2k +1)x+4(k-2)=0. (1)求证：无论k取何值，此方程总有实 数根. 下册第17章 2517.3一元二次方程根的判别式 1.A2.D 3.解：(1)a=-1,b=-3,c=1, .4=(-3)2-4×(-1)×1=13>0, .方程一x2一3x十1=0有两个不相等的实数根. 1 (2).a=2,b= 2c=4, 4=(-4x2x>0 方程22一2x十 7 +1=0有两个不相等的实数根. (3)方程可变形为4x2一4√5x十5=0， ∴.a=4,b=-45,c=5, ∴.△=(-45)2-4×4×5=0 ∴.方程4x2+5=45x有两个相等的实数根. (4)方程可变形为3.x2-√3x十2=0， ∴.a=3,b=-√3，c=2, ∴.△=(-√3)2-4×3X2=-21<0. .方程一3x2十√3x=2没有实数根. 4.D【解析】根据题意，得△=(-2)2一4(k一1)≥0， 解得k≤2，∴.k的取值不可以是3. 5.-2 6.a>一4【解析】根据题意，得△=（一4）2一4×1· (-a)>0,解得a>-4. 7.解：(1)原方程可整理为x2一(2k一1)x十k2-2k一3 =0, ∴.△=[一(2k一1)]2-4(k2-2k-3)=4k+13. 当△>0时，方程有两个不相等的实数根， 即铁十13>0，解得>-号 (2)由(1)知，△=4k十13.当△=0时，方程有两个相等 的实数根，即4钻十13=0，解得k三一13 (3)由(1)知，△=4k十13.当△<0时，方程没有实 数根， 即秋十18<0，解得6<-日 8.B变式题C 9.A【解析】.一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有 两个相等的实数根，∴.△=b2一4ac=0.又a十b十c =0,即b=-a-c,代入b2-4ac=0,得(-a-c)2- 4ac=0,即(a+c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2- 2ac+c2=(a-c)2=0,∴.a=c. 10.m≤1且m≠0【解析】，一元二次方程m.x2+2x十 1=0有实数根，∴.△=b2一4ac=4一4m≥0，且m≠ 0,解得m≤1且m≠0. 11.解：1)证明：4=(2k+1)-4×4(k-号）》 =4k2+4k+1-16k+8 410 八年级数学HK版 =4k2一12k+9 =(2k-3)2. (2k-3)2≥0，即△≥0， .无论取何值，此方程总有实数根. (2)①当b=c时，△=(2k-3)2=0, 3 解得k=2 方程化为x2-4x十4=0，解得x1=x2=2,即b=c =2. 2+2=4, 此种情况不成立； ②当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程，得 16-4(2k+10+4(k-2)）=0, 解得大一是 方程化为x2一6x十8=0，解得x1=4,x2=2, ∴.这个等腰三角形的三边长为4,4,2， ∴.这个等腰三角形的周长是4+4十2=10. 12.解：(1)：该一元二次方程有实数根， .△=22-4(m-3)≥0， 解得m≤4. (2)①a是关于x的一元二次方程x2十2x十m-3 =0的一个根， ∴.a2+2a十m-3=0, 解得m=-a2-2a十3. a十b-2是关于x的一元二次方程x2-4x十m十 n=0的一个根， .∴.(a十b-2)2-4(a+b-2)+m+n=0. 把m=-a2-2a+3代入，得(a十b-2)2-4(a+b 2)-a2-2a+3+n=0, .a2+b2+4+2ab-4a-4b-4a-4b+8-a2-2a +3+n=0, 解得n=-b2-2ab+10a+8b-15. ②n=b-5,n=-b2-2ab+10a+8b-15, .b-5=-b2-2ab+10a+8b-15, 整理，得(b2+2ab一2b)一10a一5b+10=0, (b+2a-2)(b-5)=0. .b≠一2a十2， ∴.b十2a-2≠0， .b-5=0, 解得b=5. 17.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.C3.-3 4.2【解析】限据题意，得1：=分=2。 :x1=1是方程x2十bx十2=0的一个根，x2=2,即 方程的另一个根为2.