河南省南阳市唐河县第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学周测试题（12.27）

周测试题（12-27） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．方程=kx﹣2k+3＝0有两个相异实根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数的最大值为，则（   ） A． B． C．3 D． 6．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 7．已知，则（　　） A． B． C． D． 8．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）,则不同的分配方法有（    ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 二、多选题（每题6分，共18分） 9．（多选）在一次考试后的数学成绩分析中，分别采用简单随机抽样的方式抽取A班的一组数据：a1＝2，a2，a3，a4，a5，a6和B班的一组数据：b1，b2，b3，b4进行分析．经计算，两组数据的平均数分别为，，方差分别为，．将两组数据合并为一组数据c1，c2，c3，⋯，c9，c10，则这组新数据的平均数和方差分别为（　　） A．平均数为85 B．平均数为86 C．方差为28 D．方差为52 10．抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切 D． 11．（多选）（变式）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点F满足＝λ，λ∈[0，1]，则（　　） A．当λ＝0时，AC1⊥平面BDF B．对于任意λ∈[0，1]，三棱锥F﹣BDE的体积是定值 C．存在λ∈[0，1]，使得AC与平面BDF所成的角为 D．•的取值范围为[3，4] 三、填空题（每题5分，共15分） 12．某同学记录了自己高三8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为　 ． 13．已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D（1，3），则p= ． 14．双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2，则C的离心率为_______ _____ ___ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．已知直线l与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0交于A，B两点，是否存在斜率为1的直线l使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac． （Ⅰ）求证：B＝2A； （Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 17．设为数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)已知指数函数的图象经过点，记数列的前项和为，证明：． 18．已知抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为Ω上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与直线相切． （1）求p的值； （2）若点A（2p，0），过点A的直线l与Ω交于G，H两点，在x轴上是否存在定点B， 使∠ABG＝∠ABH恒成立，若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由． 19．如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，，． (1)证明：平面； (2)点为线段上一点（与不重合）． （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点都在球的球面上，求球表面积的最小值． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测答案（12-27） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D C A D D B BD BC ACD 难度 A A A B B B C C B C C 5.. 当时，取最大值为5. 此时，所以. 化简得. 由于，化简得，解得， 所以或.因为，所以在第四象限， 所以在第二或第四象限，所以，所以.故选：A. 11.【详解】【解答】解：对A选项，当λ＝0时，F与A1重合， 根据三垂线定理易得AC1⊥BD，AC1⊥A1D，从而可得AC1⊥平面BDF，所以A选项正确； 对B选项，因为D到平面EFB的距离为定值，但三角形EFB是变化的， 所以对于任意λ∈[0，1]，三棱锥F﹣BDE的体积不是定值，所以B选项错误； 对C选项，根据运动变化思想可知：当λ＝1时，即F与B1重合时，易知AC与平面BDF所成的角最大，且为，当λ＝0时，即F与A1重合时，AC与平面BDF所成的角最小，设最小角为θ， 由A选项分析可知AC1⊥平面BDF，所以sinθ＝cos∠CAC1＝＝＜＝sin， 所以θ＜，所以存在λ∈[0，1]，使得AC与平面BDF所成的角为，所以C选项正确； 对D选项，建系如图： 则D（0，0，0），B（2，2，0），设F（2，t，2），t∈[0，2]， 所以，， 所以＝t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3，t∈[0，2]， 所以∈[3，4]，所以D选项正确． 故选：ACD． 2、 填空题：12. 125 13. 14.或 14、当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为1（a＞0，b＞0）， 设过F1的切线与圆D：x2+y2＝a2相切于点P，则|OP|＝a，OP⊥PF1，又|OF1|＝c， 所以PF1b，过点F2作F2Q⊥MN于点Q， 所以OP∥F2Q，又O为F1F2的中点，所以|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a， 因为cos∠F1NF2，∠F1NF2，所以sin∠F1NF2，所以|NF2|，则|NQ|＝|NF2|•cos∠F1NF2，所以|NF1|＝|NQ|+|F1Q|2b，由双曲线的定义可知|NF1|﹣|NF2|＝2a， 所以2b2a，可得2b＝3a，即，所以C的离心率e． 情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为A，连接OA，则|OA|＝a，|F1A|＝b， 过F2作F2B⊥MN于B，则|F2B|＝2a，因为cos∠F1NF2，所以|NF2|，|NB|，|NF2|﹣|NF1|（2b）＝a+2b＝2a，即a＝2b， 所以e， 四．解答题 15．【难度】B 【详解】解：假设存在，令直线为y＝x+m． 由，消去y得2x2+（2m+2）x+m2+4m﹣4＝0①． ∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB， 设A（x1，y1），B（x2，y2），kOA•kOB＝﹣1，即x1x2+y1y2＝0， 由方程①得x1+x2＝﹣m﹣1，x1x2＝②， y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2， ∴x1x2+y1y2＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝0③， 把②代入③，得m2+3m﹣4＝0，解得m＝﹣4或m＝1， 将m＝﹣4或m＝1代入方程①检验，得Δ＞0． 所以存在直线l的方程为x﹣y+1＝0或x﹣y﹣4＝0满足题意． 16、【难度】A 【详解】（1）证明：由条件，根据正弦定理可得， ，即， ， 又中， 进行化简得， 所以，即或，即（舍去）， 所以. （2）若为锐角三角形，根据（1）， 则，得， 式子，， 由得，又易知函数在内单调递减， 所以， 因此. 17、【难度】B 【详解】（1）当时，，即，解得或（舍）． 由，得， 两式相减，得， 即，又，所以，即． 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列． （2）方法一：由（1）知． 设（，且）， 又的图象经过点，则，解得，所以． 所以． ， ， 两式相减，得 所以． 对，所以． 因为，所以， 综上所述，． 方法二：因为． 所以，即单调递增，所以． 由方法一知：． 对．所以． 综上所述，． 18、【难度】C 【详解】（1）根据抛物线的定义，显然是抛物线Ω的准线，则，解得. （2）根据（1）中所求，点的坐标为，假设存在符合题意，则， 设直线l方程为：，由可得， 设，则， 故，即，又， 故，故，所以， 综上所述：在x轴上存在定点，使恒成立. 19、【难度】C 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以． 在平面中，，所以，又，所以四边形为梯形． 取的中点，连接，易知为矩形， ，所以，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （2）解：（i）由（1）可知平面平面，所以，又， 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则， 由（1）得平面，所以为平面的一个法向量，记， 由题意得， 整理得，解得或（舍），故． （ii）由（i）知，即． 设球的球心坐标为，半径为，则， 即， ， 所以． 因为， 所以当时，取得最小值，所以球表面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $