选择性必修第一册综合测试-2025-2026学年高二上学期湘教版数学

湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设直线的倾斜角为，则（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 2．记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 3．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．若直线是圆的一条对称轴，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 5．已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 8．八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与准线相切 C．直线斜率为 D． 11．有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（   ） A．5名同学参加学校内的社团活动，已知有3个社团供学生选择，则不同的选择方法有243种 B．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，常数项为 . 13．若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为 . 14．已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在正项等比数列中，前n项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)令为数列的前n项和，求. 16．（15分）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且. (1)求的值； (2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. 18．（17分）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 19．（17分）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过点且与椭圆交于，两点，D为上顶点，直线，分别与轴交于点，两点. （i）若直线过点，求的面积； （ii）求证：，两点横坐标之和为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $相教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第一册第14章 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的： 1.设直线l3x+y+b=0的倾斜角为，则=( A.150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求。 【详解】直线1W3x+y+b=0的斜率为k=-√3， 由斜率和倾斜角的关系可得tana=-√3，又，0°≤a<180°，.a=120°，故选：B. 2.记Sn是等差数列{a}的前n项和，若S=6,S。=21,则S2=() A.27 B.36 C.45 D.78 【答案】D 【分析】根据等差数列{a}的前n项和Sn的性质：对于m>0,m∈N, Sn,S2m-Sm,Sm-S2m,Sm-Sm,,成等差数列，取m=3,列出方程组求解即得 【详解】因Sn是等差数列{a}的前n项和，则S,S。-S,S,-S,S2-S,成等差数列， 于是2(S。-S)=S,+(S-S6),代入S,=6,S6=21,解得：S,=45, 又2(S,-S6)=(S。-S)+(S2-S,),代入上述值，解得：S2=78故选：D 3.已知等比数列{a}的各项均为正数，公比q=2,且满足4，a。=16,则a,=() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C 【分析】利用等比中项和等比数列的通项公式求解即可， 【详解】因为{a}是各项均为正数的等比数列，所以a4,a,=(a)'=16,解得a,=4, 所以4=a,q=8,故选：C 4.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y-a=1的一条对称轴，则a的值为() A.月 1 B. C.1 D.-1 【答案】C 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果」 【详解】圆x2+(y-ad=1的圆心坐标为(0，a), 因为直线2x+y-1=0是圆x2+(y-a)=1的一条对称轴， 所以直线2x+y-1=0过点(0，a,所以0+a-1=0,解得a=1,故选：C 5.已知抛物线y=2p>0)的焦点r与双曲线兰-二=1的右焦点重合，抛物线的准 79 线与x轴的交点为E,点A在抛物线上，且|AE=√2AF,则△AEF的面积为() A.32 B.16 C.34 D.17 【答案】A 【分析】先根据双曲线的性质求出抛物线的参数P,进而得到抛物线方程，再利用抛物线的 定义和已知条件求出点A的坐标，最后计算△AEF的面积 【详解】双曲线号父-1的右焦点为(4,0，即为抛物线y=2pxp>0)的焦点， 79 所以号=4，解得P-8,抛物线方程为y-16,其准线方程为x=一号-4， 因此准线与x轴的交点E的坐标为(-4，O)；焦点F的坐标为(4,0)， 设点A(xy),因为A在抛物线上，所以y哈=16x。, 则4龙+号=龙+4，又A5=G++龙，且AB=万AP, 代入得：√化，+42+=√2(+4)，化简得=(x+4④)， 结合y=16x。,代入展开并整理：x-8x。+16=0→(x。-4)2=0→x。=4, 将x。=4代入=16x,得%=±8，因此A点坐标为(4,8)或(4，-8)， 则|EF=4-(4)=8,A点到x轴(EF所在直线)的距离为±8=8， 1 则Sr=2×8x8=32故选：A 6.如图所示，点F是椭圆M:米+ a2 =1(a>b>0)的右焦点，A,C是椭圆上关于 6 原点O对称的两点，直线AF与椭圆的另一个交点为B,若AF⊥FC,AF=3BF, 则椭圆M的离心率为() A:方 B. 3 c.3-1 D √2 2 【答案】D 【分析】作F为椭圆M的左焦点，连接A,CI,BF.设|BF=m,则AF=3,再利用 椭圆的定义及对称性建立方程组求出离心率， 【详解】令乃为椭圆M的左焦点，连接A耳，C耳，B耳，由A,C是椭圆上关于原点O对称的 两点， 知四边形AFCF是平行四边形，又AF⊥FC,则口AFCR是矩形， 令|FF=2c,|BF=,则lAF=3,A=2a-3,|B卡2a-m, 于是 [AF+AFP=EF (3m)+(2a-3m)=4c r0fBRP可a-圳4脚：径am解得 c= 么a,所以椭圆M的离心率为放选：D 7.某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名 获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有() A.4320种 B.2640种 C.1560种 D.110种 【答案】C 【分析】各会场的获奖者人数可能是(1,1,1,3)或(1,1,2,2)，先分组，再分配，部分平均分组 需除以组数（平均的组）的全排列 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是(1,1,1,3)或(1,1,2,2)， 若为113)，则有CA-40种不同的派出方法：若为122)，则有CSA-1080种 A 不同的派出方法：综上可得一共有480+1080=1560种不同的派出方法。故选：C 8.八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(pa0)、竹”八类， 每类又包括若干种乐器.现有“土、丝、竹三类乐器，其中土”包括“缶(fou)、埙(xm)”2 种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋3种乐器.现从这 三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有() A.144种 B.72种 C.44种 D.48种 【答案】A 【分析】利用排列数及分步计数原理即可求解 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①“士”包括“缶(fou)、埙(x“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有2×4×3=24种选法： ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有A=6种情况， 则有24×6=144种不同的分配方法：故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得鄗分分，有选错的得0分。 9.己知Sn是数列{a}的前n项和，且a=1,4=2,3a1=a+2a+2(neN),则下列结论正 确的是() A.{a1+a}为等比数列 B.{a1-a}为等比数列 89 C.a=3- D.S= 2 8 【答案】BCD 【分析】对A:根据递推公式，求得马十及以及%+及，结合等比数列的定义，即可判断： a +a 4+42 对B:构造等比数列即可判断；对C:根据B中所得，结合累加法即可求得a;对D:根 据C中所求a,,直接求解S,即可. 3 1 【详解】对A:因为4=1，a=2,a220124., 1 4 2a+%11+521 22 因此4+g=3,4+4= 424 而8+=3,4+8- 马+G2’4+a,6,所以数列a4+a}不是等比数列，故A错误： 对B:因为3a+1=a。+2a+2,所以2(a+2-a1)-(a1-a)=0, 而4=1，a,=2,因此数列{红1-a,}是首项为1，公比为号的等比数列，故B正确： 对C:由选项B知：数列{ah-a}是首项为1，公比为，的等比数列， 1 因此an-a.=2,而a=1,4=2, 所以a=(a-a)+(a1-a-2)+(a2-a-3)++(a-a)+(a-a)+a 3《 故C正确： 对D:由选项C知：a,=3- 因此S,=5×3 9-+8 故D正确 故选：BCD 10.过抛物线y2=2Px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,B在线 段AC上，若BC=2BF,且AF=4,O为原点则下列说法正确的是() A.p=2 B.以AB为直径的圆与准线相切 C.直线l斜率为√ D. S.=1 S.Ao2 【答案】ABD 【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关 系，可得答案 【详解】由题意，不妨设A在第一象限，分别过A,B作AD,BE垂直于准线l,垂足分别为D,E, 作图如下：对于A,由图可知FB=BE,AF=AD, 在RtBEC中，由BE-BC,则∠BC=60, 易知∠CAD=60,在Rt△ADC中，AC=2AD=8, 由AF=4,则F为线段AC的中点，即在Rt△ADC中， FP=A0=2,所以p=2,故A正确： 对于B.由A易知cA-AC-A=4,由2-BC,则B列= 即4国-5所以以迟为直径的画的半径r一手 4 在直角梯形AB5D中，中位线的长度为04D+5E)专 则以AB为直径的圆的圆心到准线的距离d==”,故B正确： 对于C,由A可得∠CAD=60,则直线AB的倾斜角为60，即斜率为tan60°=√5， 当A在第四象限时，同理可得斜率为-√3，故C错误； 对于D, S.8c2 BC1 SAAB2,故D正确：故选：ABD 11.有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是() A.5名同学参加学校内的社团活动，己知有3个社团供学生选择，则不同的选择方法 有243种 B.5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C.5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54 种 D.若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班， 则有150种不同的分配方案 【答案】ABD 【分析】利用分步计数原理判断A;利用相邻问题并结合排除法求解判断B;利用特殊位置 法列式计算判断C:利用分组分配列式求解判断D 【详解】对于A,每名同学有3种选择方式，因此不同的选择方法有3=243种，A正确： 对于B,甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有AA好-AAA=24种，B正确： 对于C,甲排最左端有A4种，乙排最左端有AA种，则不同排法共有A+A,A=42种，C 错误；对于D,按1：1：3分配有CA种，按1：2：2分配有 C.A种，则不同分配方案有 A CA+ C.A=150种故选：ABD A: 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在 2. x+2 的展开式中，常数项为 【答案】20 【分析】由二项式定理通项公式即可求解： 【详解】由通项公式可知常数项为： 2 =20:所以常数项为20：故答案为：20 13.若圆(x-1)+(y-2)=2与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为 【答案】2√ 【分析】利用圆与x轴相切可求出？，再利用圆的弦长公式可得答案 【详解】圆(x-1)2+(y-2)2=r2的圆心为1,2)，半径为r, 与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于半径，即2=r,所以T=2, 圆在y轴上截得的弦长即为圆与直线x=0相交所得弦的长度， 圆心到直线x=0的距离为d=1=1,半径r=2, 弦长为22-dP=2√4-1=2√5，因此，这个圆截y轴所得的弦长为2W3 故答案为：2√3 14.已知点F为双曲线C:号二=1的右焦点，点A,B分别为两条渐近线上的点，且 24 AF=FB(2>0),则OA+O的最小值为 【答案】65 【分析】设OA=m,OB=n,根据双曲线的性质得到m,n的关系，再结合基本（均值） 不等式求+n的最小值 【详解】根据题意作图如下 设∠AOF=∠BOF=6,OA=m,OB=n. 因为双曲线C的方程为号号】 所以tand=V2,Of=V6.易知S.an=S.o4r+Sor 所以5amsm20-3x6sin9+x6sin9→2mxos9=50m+m 而m0=反，则c6=5所以5m-m+n:即+ 3 3 1n3 当且仅当m=m=32时，等号成立。故OA+OB的最小值为62故答案为：65 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在正项等比数列{a}中，前n项和为Sn,已知4=2，S,=14,b.=log2a. (1)证明：数列b}为等差数列： (2)令cn=a。·bn,Tn为数列{cn}的前n项和，求I. 【答案】(1)证明见解析 (2)Tn=(-1)·2+1+2 【分析】(1)由正项等比数列{a}求得公比，结合通项公式，可得a.:再由对数的运算性 质可得b,由等差数列的定义可证得结果： (2)求得cn=4,·b,=2”,运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得数 列{cn}的前n项和. 【详解】(1)证明：，等比数列{a}中，已知a1=2,S,=14, ∴.S=4+49+a9=2+2q+2=l4,解得：q=2或q=-3(舍) .{a}是以2为首项，2为公比的等比数列， .'a =2",b log2 a =n. .b1-b,=(n+1)-n=1,所以数列b}是以1为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)Cn=n:2, .Tn=12+222+3.23+…+n.2", 2T=1.22+2.23+3.24+…+(n-1):2"+n2H, 两式相减得：-？=2+2+2++2-n2y_20-2 -n21,整理得：Tn=(1-1)21+2 1-2 16.(15分)己知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, (1)若直线1过点A(1,1)且与圆C相切，求直线1的方程： (2)若直线1过点B(5,O)与圆C相交于P,Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线 1的方程. 【答案】(1)5x-12y+7=0或x=1. (2)x+y-5=0或7x+y-35=0 【分析】(1)先判断点A(1,1)在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列 式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，x=1与圆相切，即可求解 (2)设直线1的方程为y=k(x-5),求出圆心到直线1的距离d= 2k+4 Vk2+1 结合弦长公式 利用基本不等式求解△CPQ面积的最大值，求出d=√2，列式求解k,即可求出直线方程。 【详解】(1)因为1-3)2+1-4)2=4+9>4，所以点A(1,1)在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：y-1=k(x-1),即x-y-k+1=0 因为直线与圆相切，所以点CB,4)到直线的距离为2，即d-24-到=2，解的k= Vk2+1 12 此时直线方程为5x-12y+7=0,当直线斜率不存在时，即x=1,此时满足直线与圆相切. 综上可知直线1的方程为5x-12y+7=0或x=1. (2)因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且k≠0 设直线1的方程为=k(x-5),即-y-5=0,所以圆心到直线1的距离d-24+4 Vk2+1 故可得s0xdx24d=:4-d) d+(4d)2 2h+4 当且仅当d=√2时等号成立，此时 Vk2+1 =√2，解的k=-1或k=-7. 所以直线的方程为：x+y-5=0或7x+y-35=0. 17.（15分)已知抛物线C,:y2=x(D>0)的焦点为耳，抛物线C2:y2=2px的焦点为F, 网 (1)求P的值： (2)若直线1与C交于M,N两点，与C,交于P,O两点，M,P在第一象限，N,Q在第四象限， MN 且Mm=2g,求Pg 的值 【答案】(1)2 ②0 【分析】(1)根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可： (2)将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线 性质进行求解即可 【详解】(1)由抛物线C:y2=px(D>0)的方程可知焦点的坐标为 由抛物线C2:y2=2px的方程可知焦点耳的坐标为 2.0 因为R=方所以号名 242Pp=2: (2)由(1)可知两个抛物线的方程分别为y2=2x,y2=4x, 设直线1：x=w+t,M(1y),N(化22)bP(化3y32(4y4), 根据题意结合图形可知：≠0，且y3>y1>0>y2>y4, x=nv +t 联立 y2=2x 三y2-2y-2t=0,则y+y2=2m, 同理联立 m+f→y-4w-41=0,则为+y=4, 1y2=4x 由MP=2N0→P=2Ng→，xpy,-y1262-xy2-y4),湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意禀项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.设直线lW3x+y+b=0的倾斜角为a,则a=() A.150° B.1209 C.60° D.30° 2.记Sn是等差数列{a}的前n项和，若S=6,S。=21,则S2=（) A.27 B.36 C.45 D.78 3.已知等比数列{a}的各项均为正数，公比9=2，且满足a2a=16,则a=() A.2 B.4 C.8 D.16 4.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y-d)=1的一条对称轴，则a的值为（) A月 B月 C.1 D.-1 5.已知抛物线严=2x(D>0的焦点P与双曲线父上-1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴 79 的交点为E,点A在抛物线上，且|AE=√2AF到，则△AEF的面积为() A.32 B.16 C.34 D.17 6图所示，点P是稀圆M:言+云=a>b>0的右焦点，4C是桶圆上关于 原点O对称的两点，直线AF与椭圆的另一个交点为B,若AF⊥FC,AF=3BF, 则椭圆M的离心率为() A,月 B.3 C.√3-1 D.② 2 2 7.某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者， 每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有() A.4320种 B.2640种 C.1560种 D.110种 8.八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏(po)、竹”八类，每类又包 括若干种乐器.现有“土、丝、竹三类乐器，其中“土”包括缶(fu)、埙(xn)”2种乐器：“丝”包括 “琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器 分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有() A.144种 B.72种 C.44种 D.48种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知Sn是数列{an}的前n项和，且4=1,4，=2,3a1=a,+2a+2（n∈N),则下列结论正确的是() A.{a1+a}为等比数列 B.{a+1-an}为等比数列 24 c.a.=3 D.&=82 8 10.过抛物线y=2x(p>O)的焦点F的直线1交抛物线于点A,B,交其准线于点C,B在线段AC上， 若BC=2BF,且AF=4,O为原点则下列说法正确的是() A.p=2 B,以AB为直径的圆与准线相切 C.直线l斜率为√ D. 11.有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是() A.5名同学参加学校内的社团活动，已知有3个社团供学生选择，则不同的选择方法有243种 B.5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C.5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 D.若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150 种不同的分配方案 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 的展开式中，常数项为 13.若圆(x-1)2+(y-2)2=2与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为 14.已知点F为双曲线C:X-上=1的右焦点，点A,B分别为两条渐近线上的点，且A丽=B(2>0), 24 则O4+o的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在正项等比数列{a}中，前n项和为Sn,已知4=2，S,=14,b=log,4. (1)证明：数列{b}为等差数列： (2)令Cn=an·bn,Tn为数列{cn}的前n项和，求T. 16.(15分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. (1)若直线1过点A(1,1))且与圆C相切，求直线1的方程： (2)若直线1过点B(5,0)与圆C相交于P,Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线1的方程. 17.15分)已知抛物线G:=x0>0)的焦点为风，抛物线C,)2=2的焦点为g,且=} (1)求P的值： (2)若直线1与C,交于M,N两点，与C,交于P,Q两点，M,P在第一象限，N,Q在第四象限，且 M=2g,求 pol 的值. 18.（17分)某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ D(17分)已如髓圆C:千+1(a>b>0)的离必案为 ,短轴长为2. 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线I过点P(2,1)且与椭圆C交于A,B两点，D为上顶点，直线AD,BD分别与x轴交于点M, N两点 (i)若直线1过点(-1，O),求△DAB的面积： (i)求证：M,N两点横坐标之和为定值. 湘教版高中数学选择性必修第一册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设直线的倾斜角为，则（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求． 【详解】直线的斜率为， 由斜率和倾斜角的关系可得，又∵，∴，故选：B. 2．记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得. 【详解】因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 于是，代入，，解得：， 又,代入上述值，解得：.故选：D. 3．已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用等比中项和等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列，所以，解得， 所以，故选：C 4．若直线是圆的一条对称轴，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得．故选：C 5．已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上，且 则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的性质求出抛物线的参数，进而得到抛物线方程，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后计算的面积. 【详解】双曲线的右焦点为，即为抛物线 的焦点， 所以，解得，抛物线方程为，其准线方程为， 因此准线与轴的交点的坐标为；焦点的坐标为， 设点，因为在抛物线上，所以， 则 ，又，且， 代入得：，化简得， 结合，代入展开并整理：， 将代入，得，因此点坐标为或， 则，点到轴（所在直线）的距离为， 则.故选：A. 6．如图所示，点是椭圆的右焦点，是椭圆上关于原点对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，再利用椭圆的定义及对称性建立方程组求出离心率. 【详解】令为椭圆M的左焦点，连接，由A，C是椭圆上关于原点O对称的两点， 知四边形是平行四边形，又，则是矩形， 令，，则，，， 于是，即，解得，所以椭圆的离心率为.故选：D 7．某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 【答案】C 【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法；若为，则有种不同的派出方法；综上可得一共有种不同的派出方法。故选：C 8．八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 【答案】A 【分析】利用排列数及分步计数原理即可求解.. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法； ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况， 则有种不同的分配方法；故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】对A：根据递推公式，求得以及，结合等比数列的定义，即可判断；对B：构造等比数列即可判断；对C：根据B中所得，结合累加法即可求得；对D：根据C中所求，直接求解即可. 【详解】对A：因为，，， 所以，， 因此，，， 而，，所以数列不是等比数列，故A错误； 对B：因为，所以， 而，，因此数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对C：由选项B知：数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，而，， 所以 ，故C正确； 对D：由选项C知：， 因此，故D正确. 故选：BCD. 10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（    ） A． B．以为直径的圆与准线相切 C．直线斜率为 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案. 【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下：对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，，所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确；故选：ABD. 11．有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（   ） A．5名同学参加学校内的社团活动，已知有3个社团供学生选择，则不同的选择方法有243种 B．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 C．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 【答案】ABD 【分析】利用分步计数原理判断A；利用相邻问题并结合排除法求解判断B；利用特殊位置法列式计算判断C；利用分组分配列式求解判断D. 【详解】对于A，每名同学有3种选择方式，因此不同的选择方法有种，A正确； 对于B，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有种，B正确； 对于C，甲排最左端有种，乙排最左端有种，则不同排法共有种，C错误；对于D，按分配有种，按分配有种，则不同分配方案有种.故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，常数项为 . 【答案】20 【分析】由二项式定理通项公式即可求解； 【详解】由通项公式可知常数项为：;所以常数项为20；故答案为：20 13．若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为 . 【答案】 【分析】利用圆与轴相切可求出，再利用圆的弦长公式可得答案. 【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ， 与 轴相切时，圆心到 轴的距离等于半径，即 ，所以 ， 圆在 轴上截得的弦长即为圆与直线 相交所得弦的长度， 圆心到直线 的距离为 ，半径 ， 弦长为 ，因此，这个圆截 轴所得的弦长为 . 故答案为： 14．已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据双曲线的性质得到，的关系，再结合基本（均值）不等式求的最小值. 【详解】根据题意作图如下 设，，. 因为双曲线的方程为 所以，.易知 所以 而，则.所以，即. 所以 当且仅当时，等号成立。故的最小值为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在正项等比数列中，前n项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)令为数列的前n项和，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正项等比数列求得公比，结合通项公式，可得；再由对数的运算性质可得，由等差数列的定义可证得结果； （2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得数列的前项和． 【详解】（1）证明：∵等比数列中，已知 ∴，解得：或（舍）. ∴是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，. ∴，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）， ∴， ， 两式相减得：，整理得：. 16．（15分）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为，当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即，所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立，此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 17．（15分）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且. (1)求的值； (2)若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解即可. 【详解】（1）由抛物线的方程可知焦点的坐标为， 由抛物线的方程可知焦点的坐标为， 因为，所以； （2）由（1）可知两个抛物线的方程分别为， 设直线，， 根据题意结合图形可知：，且， 联立，则， 同理联立，则， 由， 所以，即， 又因为，所以，由， 联立，所以，故. 18．（17分）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目. (1)若第一个节目是小品节目，有多少种排法？ (2)若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ 【答案】(1)360 (2)144 【分析】（1）运用分步乘法计数原理，先排第一个节目，然后全排即得； （2）运用相邻问题“捆绑法”，将需要在一起的节目看成一个元素，与其他元素全排，再解绑，考虑内部元素的全排即得. 【详解】（1）依题意，分两步完成，① 在3个小品节目中任选一个，有种方法； ②将剩下的5个节目在第一个节目之后的五个位置上全排，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，第一个节目是小品节目的排法共有（种）； （2）先将将3个唱歌节目进行“捆绑”看成一个元素，与其他3个节目形成4个元素进行全排有种方法， 再考虑对3个唱歌节目“松绑”，有种方法， 由分步乘法计数原理可得，排法共有（种）. 19．（17分）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过点且与椭圆交于，两点，D为上顶点，直线，分别与轴交于点，两点. （i）若直线过点，求的面积； （ii）求证：，两点横坐标之和为定值. 【答案】(1); (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆的基本性质（短轴长、离心率、的关系），通过已知条件建立方程求解即可求出标准方程； （2）（i）通过“弦长公式与点到直线距离公式”计算三角形面积（以为底，到直线的距离为高）； （ii）通过“设直线方程，韦达定理和直线方程求交点”，将的横坐标用交点坐标表示，再化简为定值. 【详解】（1）因为短轴长为，即， 椭圆离心率，所以，因为， 代入得：，则， 故椭圆的方程为：. （2）（i）直线过点和，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即，即， 设，，由得， 由韦达定理可知，，， 则. 点到直线的距离为， 所以的面积为. 故的面积为. （ii）证明：已知，，， ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意； ②当直线的斜率为零时，，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意； ③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即， 由，得. 由韦达定理可知，， 直线的方程为，直线的方程为， 分别令，解得，， 则，其中，， 所以， 其中， 所以， 故，两点的横坐标之和为定值，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $