寒假作业03（三角函数的概念、三角函数值符号及诱导公式）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 03测试范围：三角函数的概念、三角函数值符号及诱导公式 知识梳理 1、三角函数的概念 （1）单位圆定义： 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的 y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α 的函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作 ，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 （2）三角函数终边定义： 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，且 ；则有 ，，. 2、三角函数在各象限的符号 根据三角函数的定义可知： ①正弦函数值的符号取决于 的符号； ②余弦函数值的符号取决于 的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为 ，异号为 . 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 3、诱导公式一：，， ，。 【答案】 纵坐标 余弦 纵坐标y 横坐标x 正 负 03 三角函数概念、三角函数值符号及诱导公式的寒假作业 一、单选题 1． （  ） A． B． C． D． 【答案】B 解析：。 2、已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：C 3. 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而的终边在x轴上，所以，故A错；因为是第四象限角，所以，故B错；因为，而是第一象限角，所以，故C错；因为是第三象限角，所以，故D对。 4、已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，可得.故选：A 5．已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合点P坐标，然后通过旋转可求出点Q坐标即可. 【详解】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且，则点的纵坐标为，横坐标为.故选：A. 6．角α的终边落在直线上，则的值为（    ） A．－ B． C． D．± 【答案】D 【分析】分角的终边在第一和第三象限讨论，由正弦函数的定义求解． 【详解】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点，由，得当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点，∴， ∴．故选：D 7．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在单位圆上，且终边在第三象限，求出，再求出. 【详解】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，，.故选：C. 8．已知点是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义逐一判断即可. 【详解】.A：，所以本选项不正确； B：，所以本选项不正确；C：，所以本选项正确； D：，所以本选项不正确，故选：C 二、多选题 9．下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】，∴原式为正；∴原式为负； ，∴原式为负；， ∴原式为正，故选BCD. 10．若是第二象限角，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据象限角概念，写出其范围，再根据三角函数值符号逐个计算判定即可. 【详解】是第二象限角，有，由，有， 为偶数时，为第一象限角，，，；为奇数时，为第三象限角，，，，则选项A，B，D不一定成立.故选：ABD. 11．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以， 所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD 三、填空题 12．在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则 【答案】 【分析】根据任意角三角函数的定义可求． 【详解】设的终边上一点，则，因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以是终边上一点，可得． 13．已知为角终边上的一点，，且，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的基本定义进行求解即可，先求出，进而求解 【详解】由题知，，又因为，所以， 因为，所以，所以点坐标为。 14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 【答案】 【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解. 【详解】对空：由点在角的终边上，所以，.对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以. 四、解答题 15、化简：（1）； （2）； （3）. （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）根据三角函数定义可得 （2）根据三角函数定义可得. （3）根据三角函数定义可得 . （4）根据三角函数定义可得 . 16．已知角的终边在直线上，求的值 【答案】或 【分析】由于角的终边在直线上，而直线经过原点，它被原点分成两条射线，一条在第二象限，另一条在第四象限，分类讨论即可求解. 【详解】在直线任取一点，又直线经过原点， 则， 当时，，， 所以. 当时，，， 所以. 综上，的值为或. 17．根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； （2）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； （3）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； 【详解】（1）因为，所以是第三象限角，得到， 又,所以是第一象限角，得到，所以. （2）因为是第二象限角，所以，又是第四象限角，所以， 故. （3）因为是第二象限角，所以，又是第四象角，所以， 又是第二象限角，所以，故. 18．已知角的终边经过点，且满足． (1)若为第二象限角，求值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2)或或. 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，通过解方程即可求出的值，从而可求出值； （2）根据（1）中求出的值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案. 【详解】（1）由三角函数的定义，可知，解得或， ∵α为第二象限角，∴m＞0，所以m＝，∴； （2）由（1）知或， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 综上所述，的取值为或或． 19．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知角的终边经过点，求的值； （3）已知角的终边上一点，且，求． 【答案】（1）；（2）当时，；当时，； （3）当时，；当时，． 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可； （2）利用三角函数的定义，运用分类讨论思想进行求解即可； （3）利用三角函数的定义，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】（1）（O为原点），； （2）（O为原点）， 当时，； 当时，； （3）由题设知，（O为原点），． 所以，即，解得． 当时， 当时，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 03测试范围：三角函数的概念、三角函数值符号及诱导公式 知识梳理 1、三角函数的概念 （1）单位圆定义： 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的 y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α 的函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作 ，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 （2）三角函数终边定义： 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，且 ；则有 ，，. 2、三角函数在各象限的符号 根据三角函数的定义可知： ①正弦函数值的符号取决于 的符号； ②余弦函数值的符号取决于 的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为 ，异号为 . 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 3、诱导公式一：，， ，。 【答案】 纵坐标 余弦 纵坐标y 横坐标x 正 负 03 三角函数概念、三角函数值符号及诱导公式的寒假作业 一、单选题 1． （  ） A． B． C． D． 2、已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3. 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 4、已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．角α的终边落在直线上，则的值为（    ） A．－ B． C． D．± 7．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知点是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10．若是第二象限角，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则 13．已知为角终边上的一点，，且，则点坐标为 ． 14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则 ， ． 四、解答题 15、化简：（1）； （2）； （3）. （4）. 16．已知角的终边在直线上，求的值 17．根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 18．已知角的终边经过点，且满足． (1)若为第二象限角，求值； (2)求的值． 19．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知角的终边经过点，求的值； （3）已知角的终边上一点，且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $