江西省抚州市金溪县第一中学2026届高三上学期期末数学阶段性作业

数学试题参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】A 【详解】由，得，所以， 因为，所以， 所以.故选：A. 2. 【答案】D 【详解】因为，所以，故选：D 3. 【答案】C 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得.故选：C 4. 【答案】A 【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故.故选：A. 5. 【答案】B 【详解】由，且为偶函数，求导，所以在R上单调递增，又由，所以当时，当时，，所以在时，取到最小值2，即函数值域为, 故选：B 6. 【答案】D 【详解】 如图，因为椭圆E与圆C相切于A，所以他们在点A处有相同的切线l，l与圆C相切可求得l的方程为，由椭圆的光学性质知，所以关于直线l对称点在直线上，所以 即， 所以，所以①， 而椭圆过点A，所以②，联立①②得，故选D 7. 【答案】B 【详解】 圆C的标准方程为，所以． 由得，所以． ，故选B 8. 【答案】D 【详解】如图，过点P作EF∥AQ分别交于EF，则． 再过点F作平面FGHI∥平面ABCD分别与棱交于G,H,I，则， 所以，故选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 【答案】BC 【详解】 将6个分数按从小到大的顺序排列得：86、90、92、94、95、98.所以中位数为，所以A错误；计算，所以第75百分位数为第5个数95，所以B正确；6个分数的平均分为，方差， 若去掉一个最高分和一个最低分后，，，所以，所以C正确，D错误． 10. 【答案】ACD 【详解】 在上单调递增，又由， 根据题意即 对于A，，当且仅当， 即取等号，故A正确； 对于B， ，故当，时， 取到最小值，不满足题意，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时等号成立， 故C正确； 对于D, ， 当且仅当，即时取等号，由，得， 所以当时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD 11. 【答案】ABD 【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得， 解得，所以当时，曲线与轴有4个交点，A对； 对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为，因为，即点也在曲线上， 所以曲线的图象关于直线对称，B对； 对于CD选项，当时，在曲线上的一点，则， 则，其中， 令，其中，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，C错； ， 因为，所以，则， 所以， 所以，，故，D对.故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】1 【详解】令得，令得，所以，所以 13．【答案】 【详解】由函数， 因为方程在区间上有且仅有2个不相等的实数根，且， 可得在区间上有且仅有2个不相等的实数根， 令， 即等价于方程在上有且仅有2个不相等的实数根， 结合正弦函数图像可知，解得，故答案为：. 14．【答案】 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动3次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论.记向左，向右，向上，向下， （1）若1步到位为事件，则满足要求的是或或或或， 或或或或，所以； （2）若3步到位为事件，则满足要求的是 所以；所以， 满足的情况有：，，.所以， 所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．【答案】（1）选条件①：由，及正弦定理， .------------------2分 又为内角，所以，从而， 即，------------------4分 则，或（舍去），从而. ------------------6分 选条件②，由及正弦定理， 得，------------------2分， 整理得，------------4分 由余弦定理得，而， 所以. ------------------6分 （2）由为的中点，从而.------------------8分 平方，得， 即，------------------10分 当且仅当时等号成立，此时有最大值，----------------11分 则. 从而面积的最大值为. ------------------13分 16．【答案】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为的可能取值有， 则 -----------------4分 所以的分布列为 0 1 2 3 4 -----------------5分 故；-----------------7分 （2）由于两组题至少答对3道题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为 ，-----------------8分 所以甲同学进行了10轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，，-----------------10分 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,-----------------12分 化简得： ，解得，-----------------14分 又因为，所以，即同学获得3张奖券的概率最大.-----------------15分 17．【答案】（1）如图，取中点为，连接. 因为，，, 所以，. 又因为为等边三角形，中点为，所以，且. 在中，有，所以，. -----------------3分 因为平面，平面，，所以，平面.----------5分 因为平面，所以，平面平面. -----------------6分 （2） 由（1）知，平面， 所以直线与平面所成的角的平面角为，---------7分 即,因为，所以, 即为的中点. 因为，平面,分别以所在的直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，-----------------9分 则，， 设是平面的一个法向量， 则有，即， 取，则，，则. -----------------12分 易知平面的法向量为-----------------13分 则，由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为. -----------------15分 18.【答案】（1）由题意知，解，---------------2分 所以，椭圆的方程为.-----------------4分 （2）（ⅰ）由两点式知的方程为， 所以的方程为，-----------------6分 联立得， 因为，所以直线与椭圆相切.----------------9分 （ⅱ）当的斜率存在时，设的方程为， 设 其中,----------------11分 联立 得， 由，得 ，， 同理可得，，-----------------13分 所以， 因为，所以即， 所以直线的方程为，所以直线过定点.-----------------15分 当的斜率不存在时，设的方程为，， 同理， 因为，所以即， 所以直线的方程为也过点. 综上，直线是过定点.-----------------17分 注：其他解法可酌情给分。 19.【答案】（1）当时，. , -----------------2分 ,又， 切线方程为.-----------------4分 （2）设函数， ，故与符号相同， ----------------6分 恒成立，在上单调递增. ，故当时，，即， 当时，，即.----------------9分 （3）， ,-----------------10分 由，得.-----------------13分 当时， ， 当时，，当时，， 在时单调递减，在时单调递增， -----------------13分 当时，， 可知在0附近存在区间，使，在上单调递减， 又，，，， 在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上，在区间上单调递减 在处无极值，不符合要求.-----------------15分 当时，，可知在0附近存在区间，使， 在上单调递增， 又，，，， 在上单调递减，在上单调递增， 故在区间上，在区间上单调递增, 在处无极值，不符合要求. 综上所述，当时，在处有极小值.-----------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期高三数学阶段性作业 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 3.已知平面向量，，且，则（ ） A． B． C．D． 4.已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A．B．C．D． 5.若函数，则的值域为（ ） A． B． C．D． 6.如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（ ） 图1 图2 A． B．C． D． 7.已知直线与直线交于点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A．B．C． D． 8.在正方体中，为正方形的中心， 为的中点，过点、、的平面将正方体分成上、 下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（ ） A．B．C．D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.某校元旦晚会节目预选赛上， 名评委老师给张三的节目打的分数分别为：、、、、、，则下列说法正确的是（ ） A．得分的中位数为 B．得分的第百分位数为 C．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的平均值会变大 D．若去掉一个最高分和一个最低分，则得分的方差会变大 10.已知，设若则下列正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为D．的最大值为 11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A．当时，曲线与轴有个交点 B．曲线的图象关于对称 C．当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则． 13.已知函数，其中，若关于的方程在区间上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是． 14.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动3次的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.(13分)在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答. 你选择的条件是__________. （1）求角； （2）若为的中点，且，求的面积的最大值. 注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分. 16.(15分)某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. （1）设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； （2）若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 17.(15分)如图，在三棱锥中，为等边三角形，. （1）求证：平面平面； （2）若为线段上一点，当直线与平面所成的角的正切值为时， 求二面角的余弦值. 18.(17分)已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点，点为椭圆上的不同两点且，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）求直线的方程，并判断直线与椭圆的位置关系； （ⅱ）试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点,请说明理由. 19.(17分)已知函数. （1）若,求函数在点处的切线方程; （2）若,证明：当时，，当时，; （3）若是的极小值点，求的值. 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