重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高三上学期一模考试数学试题

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 B C A A D C C D 【解析】 1.4+a,=2a。=6,故选B. 2.圆心为(-2，-1)，故抛物线准线为x=-2,故焦点为(2,0)，故选C. 3.PB4①=3-1 ,故选A 62 4.易知，<aAB、亚，故a4B= -×2× 6 3 -2,故选A. 5.建系，利用公式可得cos<AB,BC>- 故选D 6.(3+i)2026= =2cos 2026+isin 2026m 22251-√5i),故选C. 06 6 6 6 7.由0=2QR和角平线定理知：P-2 IPEEO =2,由双曲线定义知：1PR引-PE=2a=4, 故1PR=8,|PE,4,又由Pi=√30，可得y,=(3+1)r(r为内切圆半径)，又由 s-位+12r号2xW5+1r,得c=23,故e=合5，故选C 8方程整理为e+a-1+m们=ey xx )e+母令)=。+，显然为单调递缩函数，故 方程简化为=n上有两个解，即-a=xnx,令g)=xnx,对g(w)求导可知，g)在 0月上单减，+上单增且g0-=0,g-日，故日a<0,则0<a e 故选D, 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 数学参考答案·第1页（共8页） ■■■口口■口■ 【解析】 9.对于A,令a=-1,b=1可知，A错误；对于B:由糖水不等式知，B正确（或者进行作差 比较)；对于C:由均值不等式知：4+2≥2√4×2=222a+=4,C错误：对于D: 由指对数函数易知log,2<0<0.32<1<23,D正确，故选BD. 10.令x=1,可得a=1,故A正确：令x=0,可得1=a。-4+4,-…+4,令x=2,可得 38=a4,+4+42+…+a，两式相减得4+4+4+4= 2,故C正确：由于 38- (2x-1)8=[1+2x-1)],故T1=C8·2·(x-1),令r=3,可得4，=C823=448,故B 错误；由 C2≥C2解得5≤1≤6，故D正确，放选ACD. C82≥Cg21 1.由aa1-(2a-aa4可知，2=上1，救数列 1 为等差数列，且d=1-1 C+C:Cn+2 424 =2,故2-2n+1,则a=1 1 ,故a2026=4053 故A正确；由等差数列前n项和公 a 2n+1 11111 式得： 22=r+2m,放C错误：由aa2'2+32立+12i+3 一 那么 确；对于D选项：由nx≤x-1可得n上≤1-1，化简为nx≥1- 二，令x 2n+1,得 2n-1 n2+1≥1-2-1,2， 2n-1 2t于2mt'即1≤血2n+)-ln(2n-小则∑g<m3-ln1+ 2n+12 = h5-h3++h+)-l(21--h2n+)-血V2m1,故D正确，故选ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 P 【解析】 12集合A1引集合B=小，4nB= 数学参考答案·第2页（共8页） ■■■▣▣■▣■ 13.由正态分布X~N(2000,σ2)得，P(X≥1500)=0.3+0.5=0.8，那么随机抽取10位同学 中，满足条件的同学人数为Y,那么Y~B10,0.8),故E(=10×0.8=8. 14.自题知：历-a+C,两边平方得：1.址+2血，又由余装定理知： 9 (a+a+ b=ad2+c2+ac,两式相除得： b2 a'+c2+ac 94a2+c2-2ac ，令t=>1,上式化简 4@-2+1 C c 为 b2t+t+11, 3(2t+) 940-21+14+4-2+i，令m=21+1>3，上武化为： b21 9-4 -n 1 3 1 1,31 4m-1 4 2-3m+3 +1 +333 44m+ 由>3，可得+ 、2 -2m-1 2 3-3>1,那么是女<1，即3b<3. 49 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由余弦定理知：d2-(b-c)2=d-b2-c2+2bc=2bc-2 bc cosA, …（2分) 又由于s=2 bcsin4, …(3分) 那么2 bcsin A=√3(2bc-2 bc cos A), 化简为sinA=√31-cosA),即simA+√3cosA=√3， …(5分) 则A+骨交.即4 …(6分) 3 (2)由SA4BD+SA4CD=SA4Bc可知： 1 号4B·AD·sin∠BAD+·AC·AD,sin∠CAD=·AB·AC·sim∠BAC 2 …(8分) 即：b+c=bc, …(10分) 数学参考答案·第3页（共8页） ■■■口▣■▣■ 又由余弦定理得：2=b2+c2-2 bc cos A,即4=b2+c2-bc, 联立方程可得：b=c=2, ……（12分) 所以Se-)sinA=V5. …(13分) 2 16.(本小题满分15分) (1)证明：因为BC∥AD,ADC平面PAD, 所以BC∥平面PAD, ……（3分) 又由于平面PAD∩平面BCE=l,所以BC∥I. (6分) (2)解：由(1)问可知：BC∥1∥AD,过点E作EF∥AD, 交PD于点F, 以A为原点，AB,AD,亚分别为x轴，y轴，z轴， 如图建系： …(8分) 那么可得P(0,0,3),C(2,4,0),D(0,3,0), C B(2,0,0),F(0,1,2),BF=(-2,1,2), …(10分) ⊥PD 设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),则 可得 [3y-3z=0 mLCD 2x+y=0 令x=1,可得m=1,-2,-2), …（13分) 记直线BF与平面PCD所成角为O,sinO= BF.m8 …（15分) BF‖m9 17.(本小题满分15分) 解：(Dr)=sinx+cosx-a=V2snm+ -a, …（2分) …(4分) 因为受引所以+子 由函数y=smx+可得： 4 由图可知：- 2或4=1 2√万2万 …(6分) 即-1≤a<1或a=√2， …(7分） (2)由g(x)=(x+1)f(x)-x=(x+1)sinx-x, ()-sim.s+cosx+xcos-1-xc- …(9分) 数学参考答案·第4页（共8页） ■■■口口■口■ 当x∈ ≤1，xCosx≤0， 所以g(x)<0,故函数g(x)在 上单调递减； …（11分) 当x∈0， 时，x+二∈ 3π √2sinx+ ≥1，xc0sx≥0， 2 4 44 4 所以g'(x)>0,故函数g(x)在0， 上单调递增. ……(13分) 又由于8 =1, 2 =-1，g0)=0,82 故g(x)的值域为[0，π-1]. …(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)直线AB,的方程为： y1,直线4B,的方程为：+1， 元-12 121-2) 两式相乘得： y2-1x2 化简得椭圆B的方程：号+=1. 2-140-2) 4 …(4分) (2)(i)设直线1的方程为：x=y-4,记A(,y),B(2,y2) 「x=y-4 由{x2 4+y2=1 消元可得：t2+4)y2-8y+12=0, 即△=64t2-48t2+4)>0,解得t>12, 8t 12 又%+4+4'中4 …(5分) AP=+BP=+.y …（7分) 由|API+|BP=u|AP|BPI可得： 2t」 2 1 3VP+13 1 1+ 由于1>12，故4 2 39<<3 …(9分) (ii)由于A,B,P三点共线，所以kAp=kP, 即少=，整理有yx,-,=4,-) ……………（10分) x1+4x2+4 数学参考答案·第5页（共8页） ■■■口口■口■ [x=y+1 设1w:x=心四+1，由x2 *21 消元可得：(m2+4)y2+8y-3=0, 所以yye=r+4 -3 又由m=-1 y 可得yo= (3) -3 -3y y 1)月 +4 +4-2+15-24 y 所以x=0.+1=$.32+1=-3D+1 ……(12分） y5-2x 5-2x 同理可得：xp= 33,-D+1,e=5-2x -3y2 …(13分) 5-2x2 -3y+ 3y2 那么6=”-业=5-255-2 6(x2y-xy2)+150y2-y) x。-x23-0+3,-0 9(x2-x) 5-2x15-2x2 (15分) 将2-y2=4y2-y)代入上式： 飞=240，)+15-2-13-2-13k,故=3 9(x2-x) 3(x2-x)3 k13 …（17分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题可知：X的取值可能为2,3,4， Px=2)=1x1-1 339 mx司G号号 0x=0=17立7 3420 故X的分布列为 X 2 3 4 4 20 ò 9 27 所以E(X)=二×2+ 4 ×3 20×4= 27 (4分) 9 27 2 数学参考答案·第6页（共8页） ■■■口■口■ (2)记事件A:甲同学获奖， 显然，k≥2，设Y表示甲抛掷的次数，若甲投掷i(2≤i≤)次并获奖， 则w=)-c)--) …(6分) 骑文rn-图-+得 令8（图+） 所以8-得+-。 两式相减： -)+)++图--)” 2 1- ---- 3 即S=44k+23/ …(8分） 3 …(9分) (3)记Z表示乙同学的得分，Z=-3,-2,-1,0,1,2,3,记事件B:乙同学获奖， P(Z=)表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率，显然P(B)=P(Z=O), 又P(Z=3)=1,P(Z=-3)=0, ……(10分) 由全概率公式知：P(Z=)=p·P(Z=k+1)+1-p)·P(Z=k-1),k=-2,-1,0,1,2, 所以P(Z=k+1)-P(Z=)= …(12分) 那么 P2=》-r2-2-合1jPz=2-P2=I=[r2--Pz-1 合j[z=-a=训-}z=a 数学参考答案·第7页（共8页） ■■■口口■口■ 即=》m=--- 同理：P(Z=2)-P(Z=)= 1-1.Pz=-2) P(Z=1)-PZ=0)= z P(2=--PZ=-2)= 0小z= 累加有P(Z=3)-P(Z=-2) gjz.必 所以rz--合g可j+j小2》 2、1 即P(Z=3)= ·P(Z=-2)=1,即P(Z=-2) 10 即P(B)= …(15分) (1-1 1+ 由甲同学发奖时，投掷欢数不起过4次的概率为，得：，1行兰（们）号 (16分) 由P(B)≥P, 1 即 27解得p≥ 1 故p的最小值为 …（17分) 23 数学参考答案·第8页（共8页） 2026届重庆巴蜀中学高三一模 数 学 试 卷 注意事项: 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 等差数列 中, ,则 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 已知抛物线 的准线刚好平分圆 的周长，则抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 3. 从1,2,3,4,5,6,7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字,记事件 : “第一次抽到的数字是奇数”,事件 : “第二次抽到的数字是偶数”,则 A. B. C. D. 4. 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ,则 A. -2 B. 2 C. D. 5. 正三棱柱 中, ,则异面直线 与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 任何一个复数 都可以表示成 的形式,通常称为复数的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: ,我们称这个结论为棣莫弗定理. 则 的值为 A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ,连接 并延长交 轴于点 ,若 ,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 4 8. 关于 的方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 下列命题中, 正确的有 A. “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件 B. 若 ，则 C. 若实数 满足 ，则 的最小值为 D. 10. 已知 ,则下列结论正确的有 A. B. C. D. 中, 与 最大 11. 已知正项数列 满足 ,则下列说法正确的是 A. B. 存在 ,使得 C. D. 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知集合 ，集合 ，则 _____. 13. 据调查,某高校大学生每个月的生活费 (单位: 元) 服从正态分布 ,又 ,已知该校大学生人数较多,现从该校所有学生中,随机抽取 10 位同学, 则这 10 位同学中，每月生活费不低于 1500 的人数大约有_____人. 14. 若 中, ,点 满足 且 ,则 的取值范围为_____. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 已知 中,角 的对边分别为 的面积为 且满足 (1)求角 的大小； (2)若 的平分线交 于点 ，且 ，求 的面积. 16. (本小题满分 15 分) 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 为线段 上一点，且满足 ，记平面 平面 . (1)求证: ； (2)若直线 与 交于点 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (本小题满分 15 分) 函数 . (1) 令 ,若函数 存在唯一零点,求实数 的取值范围; (2)若 ，求函数 的值域. 18. (本小题满分 17 分) 平面直角坐标系 中, ,其中 ,直线 与直线 交于点 的轨迹为椭圆 的一部分. (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点， (i) 若 ,求实数 的取值范围; (ii) 已知点 ,直线 与 分别交于另一点为 ,令直线 的斜率为 ,求 的值. 19. (本小题满分 17 分) 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包人框, 并制定了两个小游戏, 且每位参与者只能参加其中一项游戏, 规则如下: 游戏一:参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次 后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二:参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 1 分，未命中记得-1 分，当累计得分达到 3 分, 则游戏立即结束并获奖, 当累计得分达到 -3 分, 游戏立即结束, 无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏,且每位同学每次投掷是否命中相互独立. 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为 . (1)当 时，记甲同学投掷次数为 ，求 的分布列及期望； (2)当 时，求甲同学获奖的概率(用含 的表达式表示)； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为 ；若乙同学获奖概率不小于 ，求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $