精品解析：黑龙江省安达市三校联考2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

黑龙江省安达市三校联考2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知直线经过点，，且与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 3. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 5. 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ） A. B. C. D. 6. 如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（ ） A. 1350米 B. 758米 C. 725米 D. 558米 7. 已知函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右两个焦点分别为，过右焦点作直线，交右支于A、B两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最大值是 D. 若点是圆上一点，则的最小值是 10. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 13. 设等比数列的前项和为，若公比，则___________. 14. 定义：对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 17. 已知数列的前项和为，且.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和； 18. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 19. 已知函数，其中. （1）若，求函数的图像在处的切线方程; （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省安达市三校联考2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得椭圆的焦点在轴上，且，即可求得焦点坐标. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且，， 则，故椭圆焦点的坐标为，． 故选：D 2. 已知直线经过点，，且与直线垂直，则（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到其斜率，根据可得直线的斜率，由斜率公式解方程即可. 【详解】直线的斜率，由于，则直线的斜率，得. 故选：C. 3. 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再与的方程联立求出圆心即可. 【详解】圆经过原点和点，线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此， 故选：D 5. 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 6. 如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（ ） A. 1350米 B. 758米 C. 725米 D. 558米 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为， 利用抛物线的定义得：. 故选：C 7. 已知函数有极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 8. 已知双曲线的左右两个焦点分别为，过右焦点作直线，交右支于A、B两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求得，，利用二倍角的余弦公式结合求出的值，然后利用余弦定理求出、的关系. 【详解】由，得， 则，且， 由，解得， 在△中，由余弦定理得， 因此，即，解得. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最大值是 D. 若点是圆上一点，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对称后圆的方程得到圆心，即可求得圆的方程.由两圆圆心距与半径作比较，判断A；判断圆心是否在直线上，判断B；表示圆上点与原点连线的斜率，设为，将点代入圆的方程，结合根与系数的关系，判断C；表示圆上点到直线距离的倍，由圆与直线的距离关系，判断D. 【详解】因为圆关于直线对称的圆方程为， 故圆的圆心为，半径为2，即圆的方程为 对于A，圆化为标准形式为， 圆心为，半径两圆圆心距为，故两圆相离，A错误； 对于B，将圆心代入直线，得，直线过圆心， 故圆关于直线对称，B正确； 对于C，表示圆上点与原点连线的斜率，设为，即， 代入圆方程得：，整理得， 所以，解得， 故的最大值为，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离， 圆上点到直线的最小距离为， 故的最小值为，D正确． 故选：BCD. 10. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据题意求离心率即可；对于B，由题意知反射光所在直线为直线，斜率介于两条渐近线斜率之间；对于C，可得，，直线的斜率不存在，进而得到，然后可得；对于D，可设切线方程，联立得到点坐标即可求解． 【详解】对于A，双曲线，焦点在轴， 则， 所以双曲线的离心率，故A错误； 对于B，如图：反射光所在直线为直线， 根据双曲线的性质可知斜率介于两条渐近线斜率之间， 又渐近线斜率， 所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意得，又，， 则，，直线的斜率不存在， 所以， ，又, 所以，故C正确； 对于D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为， 联立得：， ，解得， 即切点的纵坐标， ，解得， 又点在左支上，所以， ，故D错误； 故选：BC． 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 可得在区间上单调递减，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是． 故答案为：. 13. 设等比数列的前项和为，若公比，则___________. 【答案】64 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 14. 定义：对于数列，若存在常数，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，满足，若为有界数列，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】对数列的通项公式进行裂项，然后求和得到最终的结果. 【详解】因为， 则，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） 直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点， 因为，所以点在内部； （2）. 【解析】 【分析】（1）令求得直线过定点，代入圆的方程判断点与圆位置关系； （2）利用和圆的半径，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出，即可得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的方程可化为，所以的圆心为，半径. 因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以直线的方程为. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 17. 已知数列的前项和为，且.数列是公比为2的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式及等比数列的通项公式即可求解； （2）由（1）求出，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得，由数列是公比为2的等比数列，得，， 则，， 两式相减得， 所以. 18. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当直线或其中一条斜率不存在时，. 当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，， 由得， 所以. 同理可得，所以. 综上，. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：直线或其中一条斜率不存在时及直线，斜率存在且均不为0时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理计算，即可证明； （3）解法一：设点及直线代入计算得出轨迹方程，即可得出弦长最值；解法二：设点代入得出，再应用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以. 解法二： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设原点到直线，的距离分别为，，则. . 所以，当且仅当时取得等号. 即的最大值为. 19. 已知函数，其中. （1）若，求函数的图像在处的切线方程; （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）设函数（为自然常数）.若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出时的函数解析式，然后求导，求出处的函数值和导数值，即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据极值点求出，然后进行验证确定的值，结合函数的单调性和图像，可求得符合题意的的范围. （3）可将原问题等价于函数在上单调递减，函数在上单调递增，然后分别讨论、求导求出最值即可得出结果. 【小问1详解】 时，，求导得. 所以，而， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 根据题意知，求导得. 因为在处有极值，所以，解得. 所以. 当时，；当或时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极值点，故符合要求. 因为有3个不同的实根，， 根据函数的单调性和极值画出图像为： 所以当时，满足题意，解得. 【小问3详解】 单调递减，对任意且时， . 则对任意且时，均有成立， 转化为，对任意且时，均有成立， 即， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，令，令，得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，故. ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，故， 得在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数， 故，此时. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $