第八章 整式乘法（章节复习课件）--2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

第八章 整式乘法 苏科版（新教材）数学七年级下册章节复习培优精讲练 目 录 Contents 01 02 03 04 05 导图指引 知识点梳理 重点难点考点讲练 难度分层训练 真题实战演练 导图指引 PART 01 导图指引 法则内容单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).单项式乘以多项式 知识点梳理 PART 02 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即 ( 都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 . 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式： . 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式： ； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 重点难度考点讲练 PART 03 题型1：利用单项式乘法求字母或代数式的值 （24-25七年级下·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 解：， ， ，， ． 故答案为：1． 典例精讲 题型1：利用单项式乘法求字母或代数式的值 （24-25七年级下·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 解， ， ，， ， 故选: C． 变式训练 题型2：计算单项式乘多项式及求值 （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； （1）解：原式； 典例精讲 (2)． （2）原式 ． 题型2：计算单项式乘多项式及求值 （24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时，原式． 变式训练 题型3：单项式乘多项式的应用 （25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 解：圆柱的体积为 ． 圆柱的表面积为 ． 典例精讲 长方体的体积为 ． 长方体的表面积为 ． 题型3：单项式乘多项式的应用 （24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 变式训练 题型4：利用单项式乘多项式求字母的值 （24-25七年级下·江苏无锡·开学考试）要使的展开式中不含项，则的值为 ． 解：， 要使的展开式中不含项， ． 故答案为：0． 典例精讲 题型4：利用单项式乘多项式求字母的值 （24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 变式训练 题型5：(x+p)(x+q)型多项式乘法 （24-25七年级下·湖南郴州·期末）若化简后得，则n的值为(    ) A．4 B．-4 C．6 D．4或6 解：∵， ∴，且， 解得：， 故选：C． 典例精讲 题型5：(x+p)(x+q)型多项式乘法 （24-25七年级下·山东济南·月考）如果 ，那么 ． 解：， ∴， 故答案为： 变式训练 题型6：已知多项式乘积不含某项求字母的值 （25-26七年级下·全国·单元测试）若的结果中不含项，则的值为 ． 解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 故答案为：． 典例精讲 题型6：已知多项式乘积不含某项求字母的值 （24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 变式训练 题型7：多项式乘多项式与图形面积 （24-25七年级下·福建宁德·月考）小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 典例精讲 解：根据题意得：， 则需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故答案为：5． 题型7：多项式乘多项式与图形面积 （24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 变式训练 题型7：多项式乘多项式与图形面积 （1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 变式训练 题型8：整式乘法混合运算 （24-25七年级下·江苏苏州·期末） 先化简，再求值：，其中，． 解： ， 把，代入得： 原式． 典例精讲 题型8：整式乘法混合运算 （24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． （1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为： 变式训练 题型9：运用平方差公式进行运算 （25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 解： ， 故选：B． 典例精讲 题型9：运用平方差公式进行运算 （24-25七年级下·上海嘉定·期中）利用乘法公式计算：． 解： ． 变式训练 题型10：平方差公式与几何图形 （24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 典例精讲 题型10：平方差公式与几何图形 （1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 典例精讲 题型10：平方差公式与几何图形 （24-25七年级下·甘肃兰州·期末）在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 变式训练 题型10：平方差公式与几何图形 解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 变式训练 题型11：完全平方公式在几何图形中的应用 （24-25七年级下·贵州铜仁·月考）（1）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1_____图2_____；（用字母表示） （2）数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 已知，求的值； （3）拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用，表示）． 典例精讲 题型11：完全平方公式在几何图形中的应用 （1）解：由图可得， 即， 由图可得，， 即， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：的值为． 典例精讲 （3）解：设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 答：的面积为． 题型11：完全平方公式在几何图形中的应用 （25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（，） (1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积． (2)若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比． 变式训练 题型11：完全平方公式在几何图形中的应用 （1）解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米． （2）， ， 即， 因为，， 所以， 变式训练 ， 答：绿化部分与原长方形地块的面积之比是． 题型12：求完全平方式中的字母系数 （24-25七年级下·全国·单元测试）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“ ”中被墨水遮住的部分可能是 ． 典例精讲 解：由 ∴被墨水遮住的部分为 故答案为： 题型12：求完全平方式中的字母系数 （24-25七年级下·福建厦门·月考）如果是一个完全平方式，那么的值为 ． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 变式训练 题型13：完全平方式在几何图形中的应用 （23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像． (1)计算绿化地块的面积； (2)当，时，绿化地块的面积是多少平方米？ 典例精讲 题型13：完全平方式在几何图形中的应用 （1）解：绿化面积 ． ∴绿化的面积为； （2）当，时， 绿化的面积． ∴当，时，绿化的面积是． 典例精讲 题型13：完全平方式在几何图形中的应用 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． 解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 变式训练 题型14：整式的混合运算 （25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； （1）解：原式 ． 典例精讲 (2)． （2）解：原式 ． 题型14：整式的混合运算 （24-25七年级下·安徽滁州·月考）先化简，再求值：，其中． 解： ， 当时， 原式． 变式训练 真题实战演练 PART 04 1．（2024·江苏常州·中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 解： ， ， 则， ，， 的最小值为，最小值为， 当，时，满足， 中考真题 解得：，， ， 故选：B． 2．（2024·全国·中考真题）若，，，，则 ． ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 中考真题 3．（2024·四川成都·中考真题）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． （1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ 中考真题 （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 难度分层训练 PART 05 基础夯实 1．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 解：图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 基础夯实 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 解：由于二次三项式 是完全平方式，且二次项系数为4，常数项为9，则根据完全平方公式可知：； 当时，解得；当时，解得； 故答案为：15或． 基础夯实 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 解：由题意得： ． 答：扩建后，草坪的面积将增加平方米． 培优拔高 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若a，b的值使得成立，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 培优拔高 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知：，，，，，，…，设，则的个位数字是 ． 解： ． 观察已知等式，个位数字以循环，且，能整除， 所以的个位数字是．故答案为：． 培优拔高 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 培优拔高 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 谢谢大家 $