精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

萍乡市2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回. 第I卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在直线上运动，点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 7. 在平面直角坐标系中，已知圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，点，若圆上存在点满足，则圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 3名女生和5名男生排成一排，女生不相邻的排法有种 B. 若随机变量，则 C. 6名学生平均分成3组，不同的分法有种 D. 展开式中的各项系数之和为32 10. 过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为1，点分别为棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 平面截该正方体所得的截面面积为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 线段上的动点到平面的距离为定值 第II卷 注意事项： 第II卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则实数__________. 13. 投掷一个硬币，每次正面朝上和反面朝上的概率都为，正面朝上记1分，反面朝上记分，连续投掷该硬币6次，所得分数之和不小于2的概率为__________. 14. 函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作倾斜角为的直线，求被截得的弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 16. 某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. （1）记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； （2）求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 17. 已知动圆与圆外切，且恒过点，圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过作直线与交于两点，若的面积为，求直线的斜率. 18. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，点为线段上一个动点，为的中点. （1）若为线段的中点，证明：平面； （2）若平面平面，问线段上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，点，若以轴为折痕将直角坐标平面的上半部分折起，形成互相垂直的两个半平面（如图），则称此时点在三维空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）在平面直角坐标系中，，试求的值； （2）在平面直角坐标系中，，试求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹长度； （3）在平面直角坐标系中，是椭圆上的点，若过点的两条直线分别交椭圆于两点（异于点），且其斜率满足，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回. 第I卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，， 所以直线的倾斜角. 故选：D. 2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程列式，即可得解. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或. 故选：B. 3. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 4. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 5. 已知点在直线上运动，点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D. 6. 《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理证明除17余数为即可得. 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，点，若圆上存在点满足，则圆半径的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求得点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，进而问题转化为圆与圆有公共点，列式计算即可得解. 【详解】设，由，得， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆. 设圆的半径为，因为圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，所以圆心， 若圆上存在点满足，则圆与圆有公共点， 所以，即， 解得. 故选：C. 8. 已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，确定，再结合列出等式即可求解. 【详解】如图： 设为的中点，两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则， 即可得：， 解得： 所以，则， 平方后得， 即， 解得：或. 由条件， 因为，所以不合题意. 所以. 故选：D 二､多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 3名女生和5名男生排成一排，女生不相邻的排法有种 B. 若随机变量，则 C. 6名学生平均分成3组，不同的分法有种 D. 展开式中的各项系数之和为32 【答案】AB 【解析】 【分析】利用插空法和乘法计数原理即可判断A；先根据得到，进而结合正态密度曲线的对称性即可判断B；结合均匀分组问题的处理方法即可判断C；利用赋值法求展开式中的各项系数之和，判断D. 【详解】对于A，利用插空法，将名男生排成一列，其排列方式有种， 将名女生插入男生排列的两端或男生与男生之间的位置，则有种排列方式， 则由乘法计数原理可知一共有种排法，故A正确； 对于B，由得， 则，又， 所以，故B正确； 对于C，6名学生平均分成3组，不同的分法有，故C错误； 对于D，将中的取，取可得其展开式中的各项系数之和， 所以展开式中的各项系数之和，故D错误. 故选：AB. 10. 过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设在准线上的射影分别为，连接，设，直线的倾斜角为，则，，由求得及；将直线方程与抛物线方程联立求得，由过焦点的弦长公式求得. 【详解】    如图，设在准线上的射影分别为，连接， 设，直线的倾斜角为，则， 所以， ，解得， 所以，故， 所以，故A正确， 由得，不妨设直线方程为 . 将直线方程与抛物线方程联立得， 设，进而可解得， 于是，故C正确， 故选：AC 11. 已知正方体的棱长为1，点分别为棱的中点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 平面截该正方体所得的截面面积为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 线段上的动点到平面的距离为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A，利用向量的数量积为0即可判断， 对于B，分别作的中点，连接，可得平面截该正方体所得的截面为正六边形，利用正六边形的面积公式求解即可； 对于C，求出两个平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式求解即可； 对于D，可证平面，则线段上的动点到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， 所以， 所以，故A正确； 对于B，分别作的中点，连接， 根据正方体的性质可得：，且 所以平面截该正方体所得的截面为正六边形，则其面积为：，故B正确， 对于C，平面的一个法向量， 由于，，，则 设平面的一个法向量为， 所以，取，解得， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由于，平面，平面， 所以平面， 则线段上的动点到平面的距离等于点到平面的距离， 由于， 所以点到平面的距离， 则线段上的动点到平面的距离为定值，故D正确， 故选：ABD 第II卷 注意事项： 第II卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标计算即可. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为： 13. 投掷一个硬币，每次正面朝上和反面朝上的概率都为，正面朝上记1分，反面朝上记分，连续投掷该硬币6次，所得分数之和不小于2的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】正面朝上的次数为，根据所得分数之和不小于2求出，再利用组合数求出所有情况的数量，最后利用古典概型求出概率. 【详解】每次投掷一个硬币都有正面朝上、反面朝上两种可能结果， 故连续投掷该硬币6次，共有种可能结果； 设正面朝上的次数为，则反面朝上的次数为，其中， 则总得分为， 若所得分数之和不小于2，则，得，故可取， 若，则所有可能结果有种， 若，则所有可能结果有种， 若，则所有可能结果有种， 则连续投掷该硬币6次，所得分数之和不小于2的概率为. 故答案为： 14. 函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线方程分别为，，根据双曲线的对称性可得渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得. 【详解】由对勾函数的性质可在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，当时，且函数为奇函数，函数图象关于原点对称， 双曲线的方程为， 双曲线的两条渐近线方程分别为，， 渐近线与实轴的夹角为，， ，解得或（舍去）， ， ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到双曲线的两条渐近线方程，从而得到渐近线与实轴的夹角. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作倾斜角为的直线，求被截得的弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）利用点斜式可得直线的方程为，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式可求弦长； （2）分过点的直线斜率存在与不存在两种情况讨论可求切线方程. 【小问1详解】 由已知得，圆心，半径为5，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线存在斜率时，设直线方程为， 圆心到直线的距离，解得，则切线方程为， 综上，满足条件的切线方程为和. 16. 某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. （1）记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； （2）求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，的可能取值为，根据超几何分布的知识求得的分布列和数学期望； （2）利用全概率公式来求得答案. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值为， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【小问2详解】 记“第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为”为事件，则两两互斥，， 记“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”为事件， 由（1）知，， 由全概率公式，， 故“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率为. 17. 已知动圆与圆外切，且恒过点，圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过作直线与交于两点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，则，可得，由双曲线定义判断求解； （2）当直线的斜率不存在时，易知不合题意；直线的斜率存在时，设，与双曲线方程联立方程组，可得，结合求得的范围，再根据代入运算得解. 【小问1详解】 设动圆圆心为，半径为，则， 故，而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支， 设点的轨迹方程为，焦距为，则， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则，可求得的面积为，不合题意； 由题知直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程，化简得， 则，即， 所以， 则，解得或（舍去）， 故，即直线斜率为. 18. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，点为线段上一个动点，为的中点. （1）若为线段的中点，证明：平面； （2）若平面平面，问线段上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：如图①，取中点，连接分别为的中点， 则，， 因为四边形为菱形，为中点，所以，， 故，， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （2）存在，点为的中点 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，要证明线面平行，则需要证明线线平行，即证明. （2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出的坐标和平面的法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式确定的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当点为的中点时满足题意，理由如下， 如图②，取的中点，连接，因为平面平面， 且相交于，且平面， 所以平面平面， ， 由题知为等边三角形，则， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设，即， 又，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，即， 因为直线与平面所成角的余弦值为，所以其正弦值为. 而正弦值为， 解得或（舍去）， 故当点为的中点时，直线与平面所成角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，点，若以轴为折痕将直角坐标平面的上半部分折起，形成互相垂直的两个半平面（如图），则称此时点在三维空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为. （1）在平面直角坐标系中，，试求的值； （2）在平面直角坐标系中，，试求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹长度； （3）在平面直角坐标系中，是椭圆上的点，若过点的两条直线分别交椭圆于两点（异于点），且其斜率满足，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过将平面折叠后的问题转化为三维空间问题，直接利用空间中两点间的距离公式计算折叠空间距离，建立坐标系后代入坐标即可求解； （2）依据点相对于轴的位置（上半平面或下半平面）分类讨论折叠后的空间坐标，代入折叠空间距离的方程化简得到轨迹方程，并计算其长度； （3）利用直线与椭圆相交的方程联立以及韦达定理，结合斜率之积的条件建立关于参数的表达式，再根据椭圆上点的坐标范围及函数性质求最值. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则， ； 【小问2详解】 点在空间中的坐标为，下面讨论点的位置： 当点在轴的上半部分（含轴）时，点在空间中的坐标为 ，即， 当点在轴的下半部分时，点在空间中的坐标为， 则，化简得， 故点的轨迹长度为； 【小问3详解】 易知直线与轴不垂直，设直线的方程为， 则，则，① 联立方程，化简得， ， 代入①式并化简得，即， 即或， 当时，直线过点，舍去，故， 则当点在轴同侧时，即，则， ， 当点在轴异侧时，即，则， ， 综上可知，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $