专题11 二次函数中的相似三角形存在性问题 讲义2025-2026学年苏科版 数学九年级下册

专题11 二次函数中的相似三角形存在性问题 一、例题精讲 例1.如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在 轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点． （1）求经过、、三点的抛物线的解析式； （2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标； （3）已知点是轴上的动点，过点作的垂线交抛物线于点，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积． （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由． 例4．如图，抛物线与轴交于， 两点，与轴交点 （1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想； （3）在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，，三点． （1）求证：； （2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 例6.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，设的中点为点，过点作于点，连接、，使得以C、D、F三点为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标． 例7.如图1，已知二次函数的图象经过点点和点，连接，线段上有一动点，过点作的平行线交直线于点，交抛物线于点． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点，求线段的最大值； （3）如图2，过点作轴的平行线交于点，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点坐标． 例8.如图，已知抛物线经过点、点，与轴交于点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）点在抛物线上，过点且与轴平行的直线与直线交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）当时，作的角平分线，交抛物线于点． ①求点和点的坐标； ②在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例9．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例10.在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点A、C．抛物线经过点A与点，且与轴的另一个交点为点，点在该抛物线上，且位于直线的上方． （1）求抛物线的表达式； （2）连结BC、BD，且BD交AC于点，如果△ABE的面积与的面积之比为，求的正切值； （3）过点D作，垂足为点F，连结．若与相似，求点D的坐标． 例11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，点是第一象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接与，交于点，当的值最大时，求点的坐标； （3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点．使，且与相似，若存在，请求出点、点的坐标． 例12.在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴的两个交点分别为A、B，与轴相交于点C，点A（，0），，连接BC，tan∠OCB=2． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D． ①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数中的相似三角形存在性问题 一、例题精讲 例1.如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在 轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点． （1）求经过、、三点的抛物线的解析式； （2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），，， ，，，， 设函数解析式为， ，解得， 经过、、三点的抛物线的解析式为： （2），； 所以直线； 联立， 解得，，，； 设点坐标为，，则； ； 由条件容易求得，， 若以、、为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形； ①以为直角顶点，为斜边；， 即：， 解得，（不合题意舍去） ，； ②以为直角顶点，为斜边；， 即：， 解得，（不合题意舍去） ， 故存在符合条件的点，且点坐标为，或，． 例2.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标； （3）已知点是轴上的动点，过点作的垂线交抛物线于点，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）点、的坐标分别为、或、（3）或，或或，． 【详解】：（1）将点，分别代入中，得：，解得， 抛物线的函数关系为； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 设点， 当以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形时， 点向右平移3个单位向上平移3个单位得到点，同样向右平移3个单位向上平移3个单位得到点， 则且， 解得或， 故点、的坐标分别为、或、； （3）当时，，解得：，， ， 又， 抛物线的顶点得坐标为， 、、， ，，， ， 是直角三角形，且， 设点得坐标，则点得坐标为， 根据题意知：， 要使以、、为顶点得三角形与相似，需要满足条件：， ①当时，此时有：， 解得：，或，，都不符合，所以时无解； ②当时，此时有：， 解得：，（不符合要求，舍去）或，（不符合要求，舍去）， 或， ③当时，此时有：或， 解得：（不符合要求，舍去）或，（不符要求，舍去）， 点或，， 答：存在点，使得、、为顶点得三角形与相似，点的坐标为：或，或或，． 例3．如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积． （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线过和 ， 解得 （2）令，， 解得， ， ， ， ， 过点作轴于，则为等腰直角三角形 令，则， 点在抛物线上， 解得，（不符合题意） 四边形的面积 ； （3）假设存在 ， ． 轴于点， ． 在中，． 在中， 设点的横坐标为，则 ①点在轴左侧时，则 （ⅰ）当时，有 ， 即 解得（舍去）（舍去） （ⅱ）当时有 即 解得：（舍去）， ②点在轴右侧时，则 （ⅰ）当时有 ， 解得（舍去） ， （ⅱ）当时有 即 解得：（舍去），， ， 存在点，使以、、三点为顶点的三角形与相似 点的坐标为，，，． 例4．如图，抛物线与轴交于， 两点，与轴交点 （1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想； （3）在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式是：， 把代入得：， 解得：， ， ， 答：抛物线的解析式是，顶点的坐标是． （2）线段与线段之间的数量关系是． 证明：过作轴于，过作轴于， ，，为的中点， ，， ， ， 由勾股定理得：， 过作轴于， 则，， 由勾股定理得：， ，（已求出）， ． （3）坐标轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标是，，． 例5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，，三点． （1）求证：； （2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1）见解析（2）①9；②或 【详解】：（1）中，令得，令得，， ，，， ，，，， ，， ， 而， ， ； （2）①设直线解析式为，将，代入可得：， 解得， 直线解析式为， 设第一象限，则， ，， ， 当时，的最大值是9； ②由（1）知， ， 轴于， ， ， （一当与对应时， 以点，，为顶点的三角形与相似，只需或， 而为中点，，， ，，， 由①知：，， ， 当时，，解得或（此时与重合，舍去） ， 当时，，解得或（舍去）， ， 在中，是中点， ， ，即， ， （二当与对应时， 以点，，为顶点的三角形与相似，只需或， ， 与答案相同，同理与或答案相同， 综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或． 例6.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，设的中点为点，过点作于点，连接、，使得以C、D、F三点为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2）（3），或， 【详解】：（1）抛物线与轴交于点，， ． 解得：． 抛物线解析式为． （2）当时，， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． 设，则． 轴于点， ，． ． ， ， ． 解得，（此时，重合，不合题意舍去）． ． ． （3），或，． 连接，，过点作轴于点，如图， ，，， ，，． ． 的中点为点， ， ． ． ． 设，则，， ， ． ， ． ． ①当时， 则， ． 解得：，（舍去）． ． ，． ②当时， 则． ． 解得：，（舍去）． ． ，． 综上，点的坐标为，或，． 例7.如图1，已知二次函数的图象经过点点和点，连接，线段上有一动点，过点作的平行线交直线于点，交抛物线于点． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点，求线段的最大值； （3）如图2，过点作轴的平行线交于点，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点坐标． 【答案】（1）（2）（3）或， 【详解】：（1）把点点和点代入二次函数， 得，， 解得，， 二次函数的解析式为：； （2）设的函数解析式为：， 把点和代入， 得，， 解得，， 的函数解析式为：， 过点作轴交于点，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 要线段的最大，只要求的最大值． 设点坐标为，则点坐标为， ， 当时，， ； （3）与中，已有，分两种情况讨论： ①， 点与点对应，， ，即与重合， 点坐标为； ②， 点与点重合， ， ， ， ， 过点作交于点，过点作于点， 在中．， ，， ， ， ， ， ，， 点坐标为， 设的关系为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点坐标为，， 综上，点坐标为或，， 例8.如图，已知抛物线经过点、点，与轴交于点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）点在抛物线上，过点且与轴平行的直线与直线交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）当时，作的角平分线，交抛物线于点． ①求点和点的坐标； ②在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线经过点、点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为； （2）由抛物线可得，，， 直线为：， 设点的坐标为，则， ， 四边形的面积面积面积 ， ， 当时，， 点坐标为； （3）①过点作轴于， ，， ， ， ，平分， ， ，即轴， 当时，， 解得，， ， ，， 直线为：， 当时，解得，， 当时，， ； ②直线，直线， ， ， 在直线上存在满足条件的点， 设， 由题可得，，， （ⅰ）如图所示，当时， ，即， 解得， ； （ⅱ）如图所示，当时， ，即， 解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 例9．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）、是方程的两根， 解得原方程的两根分别是：，， ，， 设抛物线的解析式为，，则， 解得：， 抛物线的解析式是． （2）， 对称轴为：， ①当为边时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，， 在对称轴上， 的横坐标是1或， 的坐标是或，此时的坐标是； ②当是对角线时，则和互相平分，有在对称轴上，且线段的中点横坐标是， 由对称性知，符号条件的点只有一个，即是顶点，此时， 综合上述，符合条件的点共由两个，分别是或． （3）假设存在，设， ，， ，，， ， 是直角三角形，，， 以、、为顶点的三角形和相似， 又， ，或， ， 解得：或或或， 存在点，的坐标是，，，，，． 例10.在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点A、C．抛物线经过点A与点，且与轴的另一个交点为点，点在该抛物线上，且位于直线的上方． （1）求抛物线的表达式； （2）连结BC、BD，且BD交AC于点，如果△ABE的面积与的面积之比为，求的正切值； （3）过点D作，垂足为点F，连结．若与相似，求点D的坐标． 【答案】（1）（2）（3），或 【详解】：（1）令中，得；令，得， 故，． 把、两点坐标代入抛物线中，则得： ，解得：． 所以抛物线的表达式为． （2）如图1，过点作于， 当时，，解得：，， 故点坐标为，， ， 的面积与的面积之比为， ． 设点坐标为， ，解得：． 故点坐标为，． ． 在中，． 即的正切值为． （3）， 分两种情况讨论： ①若，则，如图2， 过点作轴于点，过点作交轴于点． ， ， 又， ． ． 设点坐标为，则，解得：． 点坐标为，． ，， ． 又， ． ，即． 设，，则点的坐标为， 将点坐标代入，得： ，解得：（舍去），． 故点坐标为，． ②若，则，如图3， 则， 点的纵坐标为2，把代入，得： ，解得：，（舍去）． 点的坐标为． 综上所述，点坐标为，或． 例11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，点是第一象限内抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接与，交于点，当的值最大时，求点的坐标； （3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点．使，且与相似，若存在，请求出点、点的坐标． 【答案】（1）（2），（3）、或，、或、或，、 【详解】：（1）， 故点、、的坐标分别为、、， 则，解得， 故抛物线的表达式为； （2）当的值最大时， 上述两个三角形同高，故当的值最大时， 即为存在最大值． 由抛物线的表达式知，点， 由、的表达式得，直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 则， 则， 设点的坐标为，则点， 则，， ， ，故存在最大值，此时， 故点的坐标为，； （3）存在，理由： 过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点， 在中，，， 则当与相似时，两个三角形的相似比为2或， 即或， 设点的坐标为，设点的坐标为， ，， ， ， ， 或， 或 解得：（舍去）或3或或1或， 即或或1或， 则与对应的或或或， 故点、的坐标分别为、或，、或、或，、． 例12.在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴的两个交点分别为A、B，与轴相交于点C，点A（，0），，连接BC，tan∠OCB=2． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C、B重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D． ①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）存在，点D的坐标为；（3）或． 【分析】 （1）由待定系数法求出a，b，c即可； （2）由待定系数法求出直线BC的关系式，①过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点E，在Rt△PDE中可得PD与PE的关系，当线段PE最长时，PD的长度最大，设出P点坐标，从而得出线段的长，由PE=PG-EG得二次函数，由二次函数的性质得最值及此时自变量的值，从而得P点坐标，由PD⊥BC，可得直线BC的系数k为2，利用待定系数法求出直线PD的关系式，根据一次函数与二元一次方程的关系即可求出交点坐标D； ②首先推出∠ACB=90°，从而Rt△COA∽Rt△BOC，再结合条件得出∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，然后以这两种情况分别根据相似性质列方程求出P点坐标． 【详解】 解：（1）∵点A（，0）， ∴OA＝2． ∵， ∴BO＝8， 即点B（8，0）． ∵tan∠OCB=2， ∴CO＝4，即点C（0，4）． 将A（，0），B（8，0）,C（0，4）代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为：． (2)设直线BC的关系式为， B（8，0），C（0，4）， ∴， 解得． ∴直线BC的方程为． 如图a，过点P作PG⊥x轴于点G，PG交CB于点E，可得∠PED=∠OCB． 在Rt△PDE中，PD=PE·sin∠PED=PE·sin∠OCB， ∴当线段PE最长时，PD的长度最大． 设， 则． 即，． ∴（0<t<8）． 当t=4时，PE有最大值是4，此时P点坐标为(4，6)． ∵PD⊥BC， ∴设直线PD为，P(4，6)， 则b＝－2， ∴线PD的关系式为 ∵D为直线PD与直线BC的交点，则， 解得 即点D的坐标为． ②∵OA＝2，OB＝8，OC＝4， ∴AC2＝22＋42＝20，AB2＝（2＋8）2＝100，BC2＝42＋82＝80． 可得AC2＋BC2＝AB2． ∴∠ACB=90°． ∴Rt△COA∽Rt△BOC． 故当Rt△PDC与Rt△COA相似时，就有Rt△PDC与Rt△BOC相似． ∴∠PCD＝∠CBO或∠PCD＝∠BCO． （i）如图b，当∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，则CP∥AB， ∵C(0，4)， ∴yP＝4． ∴， 解得x1＝6，x2＝0（舍） 即Rt△PDC∽Rt△COB时，； （ii）当∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC， 如图c，过点P作PG⊥x轴于G，与直线BC交于F， ∴PF∥OC， ∴∠PFC=∠BCO ∴∠PCD=∠PFC， ∴PF=PC. 设，则， 过点P作y轴的垂线，垂足为N， 在Rt△PNC中， ∴PF2=PC2，即 解得n1＝3，n2＝0(舍)． 即Rt△PDC∽Rt△BOC时，． ∴当Rt△PDC与Rt△COA相似时，点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用等知识点，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏． 1 学科网（北京）股份有限公司 $