2025年中考人教版数学总复习单元测试（圆）

圆　 题 号 一 二 三 总分 总分人 核分人 得 分 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如图,AB为☉O的直径,点C,D是的三等分点,∠AOE=60°,则∠COD的度数为 (　　) A.40° B.60° C.80° D.120° 2.如图,BC是☉O的直径,AB是☉O的弦,若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是 (　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 3.如图, 在☉O中,直径AB⊥CD,垂足为E,∠BOD=48°,则∠BAC的大小是 (　　) A.60° B.48° C.30° D.24° 4.已知圆O的半径为3 cm,直线l上的一点A到圆心O的距离为3 cm,则直线l与圆O的位置关系为 (　　) A.相切 B.相离 C.相交 D.相切或相交 5.如图,面积为18的正方形ABCD内接于☉O,则的长度为 (　　) A.9π B.π C.π D.π 6.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是 (　　) A.△BPA为等腰三角形 B.AB与PD相互垂直平分 C.点A,B都在以PO为直径的圆上 D.PC为△BPA的边AB上的中线 7.如图,线段AB经过☉O的圆心,AC,BD分别与☉O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则的长度为 (　　) A.π B.2π C.2π D.4π 8.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则阴影部分的面积为 (　　) A.2π B.π C. D. 9.刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,那么圆O的面积估计值是 (　　) A. B.2 C.π D.2π 10.如图,已知A,B两点的坐标分别为(-2,0),(0,1),☉C的圆心坐标为(0,-1),原点O在☉C上,E是☉C上的一个动点,则△ABE面积的最小值为 (　　) A.1 B.2- C.1- D. 二、填空题(每小题3分,共15分) 11.在半径为5 cm的圆中,45°圆心角所对的弧长为　　　　cm.  12.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,CD=6,则BE=　　　　.  13.如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A.若∠MAB=30°,则∠B= 　　　　度.  14.某同学在数学实践活动中,制作了一个侧面积为60π,底面半径为6的圆锥模型(如图所示),则此圆锥的 母线长为　　　　.  15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,BE=8,☉O为△BCE的外接圆,过点E作☉O的切线EF交AB于点F,则下列结论正确的是　　　　.(写出所有正确结论的序号)  ①AE=BC;②∠AED=∠CBD;③若∠DBE=40°,则的长为;④;⑤若EF=6,则CE=2.24. 三、解答题(本大题共5小题,共55分) 16.(9分)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且ME=3,AE=4,AM=5. (1)求证:BC是☉O的切线; (2)求☉O的直径AB的长度. 17.(10分)如图,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,点O在CD上,作☉O,使☉O与AD相切于点B,☉O与CD交于点E,过点D作DF∥AC,交AO的延长线于点F,且∠OAB=∠F. (1)求证:AC是☉O的切线; (2)若OC=3,DE=2,求tanF的值. 18.(12分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆☉O于点D.连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC. (1)求证:直线DM是☉O的切线; (2)求证:DE2=DF·DA. 19.(12分)如图,AB为☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD交于点E,☉O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD. (1)求证:AD=CD; (2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值. 20.(12分)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,点P为☉O外一点,且PA=PC=AB,连接PO交AC于点D,延长PO交☉O于点F. (1)证明:; (2)若tan∠ABC=2,证明:PA是☉O的切线; (3)在(2)的条件下,连接PB交☉O于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长. 答案 1.A　2.C　3.D　4.D 5.C　[解析]如图. 连接OA,OB,∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∵正方形ABCD的面积是18,∴AB==3,∴OA=OB=3,∴弧AB的长=. 6.B　[解析]∵PA,PB为圆O的切线,∴PA=PB, ∴△BPA是等腰三角形,故A选项不符合题意. 由圆的对称性可知:PD垂直平分AB,但AB不一定平分PD,故B选项符合题意. 连接OB,OA,∵PA,PB为圆O的切线, ∴∠OBP=∠OAP=90°, ∴点A,B在以OP为直径的圆上,故C选项不符合题意. ∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D选项不符合题意. 故选:B. 7.B　[解析]连接CO,DO,因为AC,BD分别与☉O相切于C,D,所以∠ACO=∠ODB=90°,所以∠AOC=∠A=45°,所以CO=AC=4,因为AC=BD,CO=DO,所以△ACO≌△BDO,所以∠DOB=∠AOC=45°,所以∠DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°,∴的长==2π,故选B. 8.D　9.B 10.B　[解析]如图,过点C作CD⊥AB,交☉C于点E,此时△ABE面积的值最小(AB是定值,只要圆上一点E到直线AB的距离最小即可). ∵A(-2,0),B(0,1), ∴AB=. ∵☉C的圆心坐标为(0,-1),原点O在☉C上, ∴OC=1,∴BC=2. 连接AC,∵BC·OA=AB·CD, ∴×2×2=·CD, ∴CD=,∴DE=CD-CE=-1, ∴△ABE面积的最小值=AB·DE=×-1×=2-.故选B. 11.　12.4-　13.60 14.10　[解析]设此圆锥的母线长为l,根据题意得×2π×6×l=60π,解得l=10,所以此圆锥的母线长为10. 15.②④⑤　[解析]①∵DE垂直平分AB,∴AE=BE, 又在Rt△EBC中,∠C=90°,∴BE>BC,∴AE>BC,故①错误; ②由题可知,四边形DBCE是☉O的内接四边形,∴∠AED=∠CBD,故②正确; ③连接OD,若∠DBE=40°,则∠DOE=80°,∴的长为,故③错误; ④∵EF是☉O的切线,∴∠BEF=90°, 又DE⊥AB,∴∠EDF=∠BEF=90°, ∴△EDF∽△BEF, ∴,故④正确; ⑤在Rt△BEF中,EF=6,BE=8,∴BF=10,∵AE=BE=8,∴∠A=∠ABE, 又∠C=∠BEF=90°, ∴△BEF∽△ACB, ∴, 设BC=6m,则AC=8m,CE=8m-8,在Rt△BCE中,由勾股定理可得,EC2+BC2=BE2,即(8m-8)2+(6m)2=82,解得m=0(舍去)或m=1.28,∴CE=8m-8=2.24.故⑤正确.故答案为:②④⑤. 16.解:(1)证明:∵在△AME中,ME=3,AE=4,AM=5, ∴AM2=ME2+AE2, ∴△AME是直角三角形,且∠AEM=90°. 又∵MN∥BC,∴∠ABC=∠AEM=90°,∴AB⊥BC. ∵AB为直径,∴BC是☉O的切线. (2)连接OM,如图,设☉O的半径是r, 在Rt△OEM中,OE=AE-OA=4-r,ME=3,OM=r, ∵OM2=ME2+OE2,∴r2=32+(4-r)2,解得r=,∴AB=2r=. 17.解:(1)证明:∵DF∥AC,∴∠F=∠OAC, ∵∠OAB=∠F,∴∠OAB=∠OAC,∴AO是∠BAC的平分线, ∵☉O与AD相切于点B,∴OB是☉O的半径,OB⊥AD, ∵∠ACD=90°,∴OC⊥AC,∴OB=OC,∴点C在☉O上, ∵OC⊥AC,∴AC是☉O的切线. (2)由(1)知:OB=OC=3,OC是☉O的半径, ∴CE是☉O的直径,∴CE=2OC=6, ∴CD=CE+DE=6+2=8,OD=OE+DE=OC+DE=3+2=5, 在Rt△OBD中,由勾股定理得:BD==4, ∵∠OBD=∠ACD=90°,∠ODB=∠ADC,∴△ODB∽△ADC,∴,∴AC==6, ∵∠F=∠OAC,∴tanF=tan∠OAC=. 18.证明:(1)如图①,连接DO并延长,交☉O于点G,连接BG. ∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵∠G=∠BAD,∠BDM=∠DAC,∴∠MDB=∠G. ∵DG为☉O的直径,∴∠GBD=90°, ∴∠G+∠BDG=90°, ∴∠MDG=∠MDB+∠BDG=90°, ∴直线DM是☉O的切线. (2)如图②,连接BE. ∵点E是△ABC的内心, ∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD. ∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD,∴∠EBD=∠BED. ∴DB=DE. ∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB, ∴△DBF∽△DAB. ∴,即BD2=DF·DA. ∴DE2=DF·DA. 19.解:(1)证明:∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD, ∴∠ACD=∠CAD, ∴AD=CD. (2)∵AF是☉O的切线,∴∠FAB=90°. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°, ∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°, ∴∠ABD=∠FAD. ∵∠ABD=∠EAD, ∴∠FAD=∠EAD. ∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA), ∴AF=AE,DF=DE. ∵AB=4,BF=5, ∴AF==3,∴AE=AF=3. ∵S△ABF=AB·AF=BF·AD, ∴AD=, ∴DE=, ∴BE=BF-2DE=. ∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°, ∴△BEC∽△AED, ∴, ∴BC=, ∴sin∠BAC=. ∵∠BDC=∠BAC, ∴sin∠BDC=. 20.解:(1)证明:如图,连接CO. 在△PCO和△PAO中, ∴△PCO≌△PAO(SSS), ∴∠CPO=∠APO,即PO为∠APC的平分线. ∵PA=PC,∴CD=AD,PF⊥AC. ∵AC为☉O的弦,PF过圆心O, ∴F为的中点,∴. (2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵tan∠ABC=2, ∴sin∠ABC=,cos∠ABC=. 设☉O的半径为r,则AB=2r, ∴BC=AB·cos∠ABC=,AC=AB·sin∠ABC=, ∴OD=BC=r,AD=AC=. ∵PA=PC=AB,∴PA=PC=2r, ∴PD=r, ∴PO=PD+OD=3r, ∴PA2+AO2=PO2,即PA⊥OA, 又∵OA是☉O的半径, ∴PA是☉O的切线. (3)由(2)可得BC=r=2,∴r=3. 在Rt△PBA中,PB==2r. 连接AE,可得∠AEB=90°, ∴∠PEA=∠PAB=90°, 又∠APE=∠APB,∴△PEA∽△PAB, ∴,∴PE=r. 过E作EN⊥PD于N,过B作BH⊥PF于H,如图所示. ∵∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°,∴四边形BCDH是矩形, ∴BH=CD=r. 在Rt△BPH中,sin∠BPH=, 在Rt△PEN中,sin∠BPH=, ∴EN=r,∴PN=r, ∴ND=PD-PN=r-r=r, 在Rt△NED中,DE=r, ∵r=3,∴DE=. 学科网（北京）股份有限公司 $