2026年中考数学一轮复习：一元二次方程

一轮复习：一元二次方程 题型解读|模型构建|思维导图|例题习题|巩固练习 复习指导：建议用时1-2课时，先学习核心知识和记忆口诀，再研究典型例题，最后完成分层练习。答案解析可先自行解答，再对照检查。 中考分析：一元二次方程是中考必考内容，常出现在选择题、填空题和解答题中，分值为8-12分。考查重点是解法应用、根的判别式、韦达定理和实际应用。 目 录 题型一：根基构建 题型二：根系关系 题型三：应用模型 题型四：易错辨析 一元二次方程知识思维导图 概念与形式 四种解法 根的判别式 一般形式：ax²+bx+c=0 (a≠0) 二次项、一次项、常数项 二次项系数不为零 根（解）的概念 直接开平方法 配方法（通法） 公式法（万能） 因式分解法（首选） 解法选择策略 △=b²-4ac △>0 ⇔ 两不等实根 △=0 ⇔ 两相等实根 △<0 ⇔ 无实根 含参方程的讨论 根与系数关系 实际应用 易错警示 韦达定理 已知一根求另一根 对称式的求值 构造新方程 使用前提：△≥0 增长率问题 几何面积问题 单/双循环赛 利润最大问题 动态几何问题 忽视a≠0 使用韦达定理不验△ 应用题不检验实际意义 解法选择不当计算错误 解题知识必备 题型一：根基构建：概念、解法与判别式 掌握一元二次方程的基本概念、四种解法及根的判别式 记忆口诀： "一概念，四解法，△定根有否" 核心知识 一般形式： ax² + bx + c = 0 (a≠0) 根的判别式： △ = b² - 4ac 中考考点：直接考查解方程，通常出现在选择题或填空题，要求熟练掌握四种解法，尤其因式分解法要优先考虑。 例1：（四种解法对比）用适当的方法解下列方程： (1) x² - 5x + 6 = 0 (2) 2x² + 3x - 2 = 0 (2) (x-3)² = 4 (4) x² - 6x + 7 = 0 例2：（根的判别式应用）关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个相等的实数根，求实数m的值。 分层练习 ✏️ A组（基础） 1. 解方程：x² - 8x + 15 = 0 2. 方程 x² - 4x + k = 0 有两个相等的实数根，求k的值。 3. 用公式法解方程：2x² - 5x + 1 = 0 ✏️ B组（提高） 4. 关于x的方程 (m-1)x² + 2x - 1 = 0 有实数根，求m的取值范围。 5. 用配方法解方程：x² - 4x - 7 = 0 6. 已知关于x的一元二次方程 x² + (2k-1)x + k² - 1 = 0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 题型二：根系关系：韦达定理与应用 掌握根与系数的关系及其应用 记忆口诀："两根和积，由a,b,c定；知一根，求另一；构方程，是核心" 核心知识 韦达定理： 对于 ax²+bx+c=0 (a≠0)，若根为x₁, x₂，则 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a 重要提醒： 使用韦达定理前必须先验证△≥0，确保方程有实根。 例3：（韦达定理的应用）已知方程 2x² - 6x - 3 = 0 的两根为 x₁, x₂，不解方程，求： (1) x₁ + x₂ 和 x₁x₂ (2) x₁² + x₂² (3) 1/x₁ + 1/x₂ 解题技巧 常见的对称式变形公式： 1. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ 2. 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) 3. |x₁ - x₂| = 例4：（已知一根求参数）已知关于x的方程 x² - (m+2)x + 2m -1 = 0 的一个根是3，求另一个根及m的值。 分层练习 ✏️ A组（基础） 1. 若 x₁, x₂ 是方程 x² - 2x - 4 = 0 的两根，求 (x₁+1)(x₂+1) 的值。 2. 已知方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 α, β，求 α² + β² 的值。 3. 若方程 x² - 3x + m = 0 的一个根是2，求另一个根及m的值。 ✏️ B组（提高） 3. 已知关于x的方程 x² + (2k-1)x + k² - 1 = 0 的两根为 x₁, x₂，且满足 x₁² + x₂² = 9，求实数k的值。 5. 以3和-2为根的一元二次方程是 ________。 6. 已知α, β是方程 x² - 3x - 5 = 0 的两根，求 α³β + αβ³ 的值。 题型三：应用模型：实际问题与方程 掌握一元二次方程在实际问题中的应用 记忆口诀： "增长率，几何面，利润最值是关键；验根符，检实际，模型转化要仔细" 例5：（增长率问题）某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元。若每次降价的百分率相同，求这个百分率。 例6：（几何面积问题）如图，一块矩形铁皮长30cm，宽20cm。四角各剪去一个正方形后，折成一个无盖长方体盒子。若盒子的底面积是375 cm²，求剪去正方形的边长。 分层练习 ✏️ A组（基础） 1. 某地2023年GDP为500亿元，计划到2025年达到605亿元，求这两年GDP的年平均增长率。 2. 用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为100 cm²的矩形？请说明理由。 3. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ ✏️ B组（提高） 4. 如图，用总长为24米的篱笆围成一面靠墙（墙长10米）的矩形花圃ABCD。若花圃面积为45平方米，求AB的长度。（其中BC靠墙，AB=CD） B C A D 5. 某商店以每件40元的价格进了一批商品，售价为每件60元时，每天可售出100件。调查发现，单价每降低1元，每天多售出10件。要使日利润达到2240元，并让顾客得到实惠，售价应定为多少？ 题型四：易错辨析：常见错误与陷阱 识别常见错误，提升解题准确率 记忆口诀： "二次系数不为零，隐含条件要挖清；判别式，韦达前，有无实数是前提" 常见错误类型（高频易错点清单） 1. 概念性错误： 忽视a≠0（尤其在含参方程中） 2. 解法选择错误： 未优先考虑因式分解法 3. 计算错误： 求根公式记错、代入出错、△计算错 4. 应用忽视检验： 未舍去不符合实际的解 5. 韦达定理滥用： 在△<0的情况下仍使用 例7：（忽视二次项系数不为零）关于x的方程 (k-3)x² + 2x - 1 = 0 有实数根，求k的取值范围。（常见错误： 只考虑△≥0，忽略k-3=0的情况） 例8：关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 的两根为 x₁, x₂，且满足 x₁x₂ - (x₁+x₂) = -3，求m的值。（使用韦达定理不验△） 易错题练习 1. 若关于x的函数 y = (k-3)xk²-7 - x + 1 是二次函数，则k的值为______。 2. 关于x的一元二次方程 (m-2)x² + 2x + 1 = 0 有实数根，则m的取值范围是______。 3. 已知关于x的方程 x² - 2(m+1)x + m² = 0 的两根之积等于两根之和的2倍，求m的值。 巩固练习 1．（2024九上·南海月考）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 2．解方程 （1） （2） 3．解方程 （1） （2） 4．如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米? 5．（2024九上·武汉月考）已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5． （1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长． 6．（2024九上·惠城期末）“十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉、市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆、若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？ （2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？ 7．材料阅读：若满足，求的值． 解：令，，可得且 则 根据上述材料： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，已知正方形，，，长方形的面积为96，求正方形的面积与正方形的面积差． 例题解析 例1解析： (1) 因式分解法（首选）： x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x₁ = 2, x₂ = 3 (2) 十字相乘法或公式法： 2x² + 3x - 2 = 0 (2x-1)(x+2) = 0 x₁ = 1/2, x₂ = -2 (3) 直接开平方法： (x-3)² = 4 x-3 = ±2 x₁ = 5, x₂ = 1 (4) 配方法或公式法： x² - 6x + 7 = 0 x² - 6x = -7 x² - 6x + 9 = 2 (x-3)² = 2 x-3 = ± x = 3 ± 例2 解析： ∵ 方程有两个相等的实数根 ∴ △ = 0 △ = (-2)² - 4×1×m = 4 - 4m = 0 解得 m = 1 关键点： 方程有两个相等实根 ⇔ △=0 例3.解析： (1) 直接应用韦达定理： x₁ + x₂ = -(-6)/2 = 3 x₁x₂ = (-3)/2 = -3/2 (2) 利用恒等变形： x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 3² - 2×(-3/2) = 9 + 3 = 12 (3) 通分变形： 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 3 / (-3/2) = 3 × (-2/3) = -2 例4解析： 方法一：代入法 将x=3代入方程：3² - (m+2)×3 + 2m - 1 = 0 9 - 3m - 6 + 2m - 1 = 0 2 - m = 0 解得 m = 2 原方程为：x² - 4x + 3 = 0 解得另一根为 x = 1 方法二：韦达定理法 设另一根为x₂，由韦达定理： 3 + x₂ = m+2，3x₂ = 2m-1 由第一式得：x₂ = m-1 代入第二式：3(m-1) = 2m-1 3m-3 = 2m-1，解得 m=2 ∴ x₂ = m-1 = 1 例5.解析： 设每次降价的百分率为x 第一次降价后售价：100(1-x) 元 第二次降价后售价：100(1-x)² 元 列方程：100(1-x)² = 81 解方程：(1-x)² = 0.81 1-x = ±0.9 ∴ x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = 1.9（舍去，降价率不能大于1） 答：每次降价的百分率为10%。 关键点： 增长率问题公式：a(1±x)ⁿ = b，其中a为初始值，b为终值，x为增长率(下降率)，n为年数。 例6.解析：剪去边长为x的正方形后，盒子底面长为(30-2x)cm，宽为(20-2x)cm。 设剪去正方形的边长为x cm 盒子底面长 = (30-2x) cm 盒子底面宽 = (20-2x) cm 列方程：(30-2x)(20-2x) = 375 展开：600 - 60x - 40x + 4x² = 375 整理：4x² - 100x + 225 = 0 除以4：x² - 25x + 56.25 = 0 解得：x₁ = 2.5，x₂ = 22.5 检验：当x=22.5时，30-2×22.5 = -15＜0，不符合实际，舍去 答：剪去正方形的边长为2.5 cm。 关键点： 几何问题列方程后，必须检验解的合理性（边长不能为负数）。 例7.解析： 分类讨论： 情况1： 当k-3 ≠ 0，即k ≠ 3时，方程为一元二次方程 有实根需满足△ ≥ 0：△ = 2² - 4(k-3)(-1) = 4 + 4(k-3) = 4k - 8 ≥ 0 解得 k ≥ 2，结合 k ≠ 3，得 k ≥ 2 且 k ≠ 3 情况2： 当k-3 = 0，即k = 3时，方程退化为 2x - 1 = 0 这是一元一次方程，有实根 x = 0.5 综合两种情况得：k ≥ 2 关键点： "有实数根" ≠ "有两个实数根"。当二次项系数含参时，必须讨论二次项系数是否为0。 例8.常见错误： 直接使用韦达定理求出m=-1，忽略验证△是否≥0。 解析： 由韦达定理：x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = m 代入已知条件：m - 2 = -3，解得 m = -1 必须验证△： △ = (-2)² - 4×1×m = 4 - 4m 当 m = -1 时，△ = 4 - 4×(-1) = 8 > 0，符合条件 ∴ m = -1 关键点： 使用韦达定理前必须确保方程有实根（△≥0）。如果计算出的m使△<0，则需舍去。 练习答案与解析 题型 题号 答案 关键解析 题型一 1 x₁=3, x₂=5 因式分解：(x-3)(x-5)=0 题型一 2 k=4 △=(-4)²-4×1×k=0，解得k=4 题型一 3 x=(5±√17)/4 公式法：a=2,b=-5,c=1，△=17 题型一 4 m≥0 分类讨论：①m≠1时，△≥0；②m=1时，方程有实根 题型一 5 x=2±√11 配方法：x²-4x=7，x²-4x+4=11，(x-2)²=11 题型一 6 k＜5/4 △=(2k-1)²-4(k²-1)＞0，解得k＜5/4 题型二 1 -1 (x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=-4+2+1=-1 题型二 2 13 α+β=5，αβ=6，α²+β²=(α+β)²-2αβ=25-12=13 题型二 3 另一根=1，m=2 设另一根为x₂，则2+x₂=3，2x₂=m，解得x₂=1，m=2 题型二 4 k=-1 x₁+x₂=1-2k，x₁x₂=k²-1，由x₁²+x₂²=9得k=-1或k=3，验△得k=-1 题型二 5 x²-x-6=0 以α,β为根的方程：x²-(α+β)x+αβ=0 题型二 6 -75 α+β=3，αβ=-5，α³β+αβ³=αβ(α²+β²)=αβ[(α+β)²-2αβ] 题型三 1 10% 500(1+x)²=605，解得x=0.1=10% 题型三 2 能，为边长10cm正方形 设一边为x，则x(20-x)=100，解得x=10 题型三 3 10个队 设有x个队，则x(x-1)=90，解得x=10 题型三 4 AB=9米或5米 设AB=x，则BC=24-2x，列方程x(24-2x)=45，解得x=9或x=5 题型三 5 54元 设降价x元，则(20-x)(100+10x)=2240，解得x=6，售价=60-6=54 题型四 1 k=-3 k²-7=2且k-3≠0，解得k=-3 题型四 2 m≤3且m≠2 分类讨论：①m≠2时，△≥0；②m=2时，方程有实根 题型四 3 m=0或m=-4/3 由韦达定理：x₁+x₂=2(m+1)，x₁x₂=m²，列方程并验△ 题型三1. 设年平均增长率为x 列方程：500(1+x)² = 605 解得：(1+x)² = 1.21，1+x = ±1.1 ∴ x₁=0.1=10%，x₂=-2.1（舍去） 答：年平均增长率为10%。 2. 解析： 设矩形一边长为x cm，则邻边长为(20-x) cm 列方程：x(20-x) = 100 整理得：x² - 20x + 100 = 0 解得：x₁=x₂=10 此时矩形为边长10cm的正方形，可以围成。 巩固练习答案 1．【答案】（1）， （2）， 2．【答案】（1）解： 整理得， ； （2）解： . 【解析】【分析】（1）先展开，再移项，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解一元二次方程即可。 3．【答案】（1）， （2）， 4．【答案】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x米，根据题意有， ， 解得 （不符合题意，舍去）， ∴四周未铺地毯的条形区域的宽度是1米． 【解析】【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x米，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 5．【答案】（1）k=2；（2）k=3或4，△ABC的周长为14或16． 6．【答案】（1）解：设该花卉每盆售价是x元，由题意得 （x﹣20）[25﹣（x﹣25）]＝200， 化简得：x2﹣70x+1200＝0， 解得：x1＝30，x2＝40， ∵销量尽可能大， ∴＝30． 答：每盆花卉售价是30元； （2）解：设每盆售价是x元，利润为y元，则有y=（x﹣20）[25﹣（x﹣25）] 整理得， ∵ 每盆花卉涨价不超过6元， ∴x≤31， ∵当x≤35时，y随x的增大而增大，∴x=31时，y最大。此时y=209 ∴ 该花卉一天最大的销售利润是 209元 【解析】【分析】（1）设该花卉每盆售价是x元，则每盆利润为x-20元，销售量为25-(x-25)盆，根据利润为200元列方程进行求解即可。特别要注意的是要求 销量尽可能大， 所以要选择使销售量较大的售价. （2）设每盆售价是x元，利润为y元，列出关系式，根据题意确定x的范围，再根据关系式求出最大值即可. 7．【答案】（1）16 （2）52 （3）80 学科网（北京）股份有限公司 $