精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2025-2026学年高二上学期期末考试题数学试题

哈工大附中2025-2026学年度第一学期期末试题高二学年数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高志龙 校对人陈玉梅 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，过作的准线的垂线，交准线于点．则（ ） A. B. 的面积为 C. 的角平分线过的准线与轴的交点 D. 以为直径的圆与轴相切 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知直线与抛物线相交于两点，若（为坐标原点），则的值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知． （1）求； （2）设函数，求的最小正周期和单调区间． 16. 已知是一个等差数列，且. （1）求的通项； （2）求的前n项和为，并求的最大值. 17. 已知数列的首项．且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及前项和． 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为2． （1）求的方程； （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 19. 已知函数，． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中2025-2026学年度第一学期期末试题高二学年数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：高志龙 校对人陈玉梅 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项. 【详解】数列可以表示为，，，，，…， 则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项. 故选：B. 2. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，代入即可得出答案. 【详解】求导可得， 所以，. 故选：B. 3. 已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据焦点坐标，可求得c的值，根据离心率，可求得a的值，根据b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案. 【详解】根据右焦点为F2(5，0)，可得c＝5，又离心率为， 所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9， 所以双曲线方程为， 故选：C. 4. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系直接求解. 【详解】因为，所以， 故选:C. 5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象知，的图象为增函数， 且在区间上增长速度越来越快， 而在区间上增长速度越来越慢． 故选B. 6. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 8. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，所以， 令得，当时，；当时，. 所以函数在时单调递增，在时单调递减， 故当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． 把代入，得， 由，得，即圆心角为弧度时，圆锥形容积最大. 故选：D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可利用公式法求出数列的通项公式，从而可求解 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 10. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数分析各函数在上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，对函数求导得， 当时，；当时，. 故函数在上单调递增，在上单调递减，A不符合条件； 对于B选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，B符合条件； 对于C选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，C符合条件； 对于D选项，对函数求导得对任意的恒成立， 故函数在上单调递增，D符合条件. 故选：BCD. 11. 是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，过作的准线的垂线，交准线于点．则（ ） A. B. 的面积为 C. 的角平分线过的准线与轴的交点 D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析的形状，求出的值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用斜率关系可判断C选项；求出线段的中点到轴的距离，结合直线与圆的位置关系可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，对于抛物线，焦点为，准线方程为，准线与轴的交点为，所以， 因为，，易知轴，所以， 由抛物线的定义可知，故为等边三角形，故， 所以，故，所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，故，即点， 于是点，故线段的中点为， 因为为等边三角形，则， 若的角平分线过的准线与轴的交点，则、、三点共线， 因为，，所以，故、、三点不共线，C错； 对于D选项，线段的中点为，点到轴的距离为，故， 所以以为直径的圆与轴相切，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果． 详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故答案为3. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 13. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得曲线在点处的切线斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知直线与抛物线相交于两点，若（为坐标原点），则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将直线与抛物线方程联立，根据，利用根与系数的关系直接求解即可. 【详解】设，， 联立，消去整理得， 则，，， 因为，所以，即， 所以，即，解得. 故答案为：1. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知． （1）求； （2）设函数，求的最小正周期和单调区间． 【答案】（1） （2），的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）由，得，根据的取值范围，确定的值； （2）根据两角和差的正弦公式化简得的解析式，根据最小正周期的求解公式求得的最小正周期，由复合函数的单调性求得的单调区间． 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 所以的最小正周期为. 令，则. 因为是增函数， 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 已知是一个等差数列，且. （1）求的通项； （2）求的前n项和为，并求的最大值. 【答案】（1）； （2），最大值为4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出数列的公差d即可得解； （2）根据等差数列前n项和公式求得，根据二次函数图象及性质求得的最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由已知得，解得，， 所以； 【小问2详解】 由（1）及等差数列前n项和公式得 ， 当时，前项和取得最大值，为4. 17. 已知数列的首项．且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及前项和． 【答案】（1） 因为，所以. 又，所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）， 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义证明即可； （2）根据数列为等比数列，求得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，再根据分组求和法求得数列的前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以. 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为2． （1）求的方程； （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题直接求得，从而求得椭圆的方程； （2）写出直线的方程，联立椭圆方程，表示出，根据弦长公式求得. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，由题可知，，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 易知， 因为，所以直线的方程为. 由，得， 设，则. 所以. 19. 已知函数，． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切． 【答案】（1）增区间和； （2），， 所以，直线的方程为，即， ，则，设直线与函数相切于点， 则，得，则切点坐标为， 所以，直线的方程可表示为，即， 由题意可得，则， 下面证明：存在唯一的使得. 由（1）知，函数在区间上单调递增， ，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，即. 所以，存在唯一的使得. 因此，在区间上存在唯一的，使得直线与与曲线相切. 【解析】 【分析】（1）求得函数的定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）求得直线的方程为，设直线与函数相切于点，可得出，进而可将直线的方程表示为，可得，然后利用（1）中的函数在区间上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立. 【详解】（1），定义域为， ， 所以，函数的单调递增区间为，； （2）略 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $