北京市第八中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（ ） A. -240 B. 240 C. 15 D. -15 4. 若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则的值为（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 6. 如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 7. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 32种 D. 40种 8. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，则（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 2 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________. 12. 若，则___________，___________．（用数字作答） 13. 已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则____________． 14. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________. 15. 已知曲线（为常数）. （i）给出下列结论： ①曲线为中心对称图形； ②曲线为轴对称图形； ③当时，若点在曲线上，则或. 其中，所有正确结论的序号是_________. （ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可） 三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击命中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下： 甲 乙 （1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率． （2）如果，从甲、乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望． （3）在局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． （1）求圆和椭圆C的方程； （2）已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 20. 已知椭圆的一个焦点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为． （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点（点A在点B左侧），点A关于轴的对称点为C，求面积的取值范围． 21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 2025-2026学年度第一学期期末练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．） 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【13题答案】 【答案】##-0.75 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ①②③ ②. 均可 三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 【16题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 数学期望为1； （2）. 【17题答案】 【答案】 （1）因为四边形为菱形，所以． 又因为，为的中点，所以． 又因为平面平面， 平面平面， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）； （3）存在；． 【18题答案】 【答案】（1）； （2）的分布列为： ． （3）的可能值为，，． 【19题答案】 【答案】（1），； （2） 设，， 则，，， 所以方程，令时，，即， 方程为，令时，，即， 则， 所以， 即，所以， 故为定值． 【20题答案】 【答案】（1）； （2）. 【21题答案】 【答案】（1） ①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . （2） 不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3） 的最小可能值为5.的一个基底 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $