第03讲 平行线的性质（知识点+大题型+过关测）（寒假讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册（云南专用）

第03讲 平行线的性质 知识点1：平行线的性质 (1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； ②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； (2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD， 则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)； ②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)； ③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°). 【题型1 利用平行线的性质求角度】 例1．1．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）如图，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·云南昭通·月考）如图，是的平分线，，以下有关结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，则 ． 变式2．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，若，，则 °． 【题型2 利用平行线的性质求生活中的应用】 例3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 例4．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 变式2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【题型3 根据平行线的判定与性质求角度】 例5．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，已知，，则的度数（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·云南楚雄·二模）如图，这是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当，时，的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024·云南昭通·二模）如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·云南·模拟预测）如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据平行线的判定与性质证明】 例7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路： 如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置． 若，求的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路： 小芸：如图，过点作的平行线， ， ． ， （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， ． 小楠：如图，过点作的平行线， ， ， ． ， ， ． 阅读以下解题过程，下列说法： ①中应填：； ②中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ③中应填：两直线平行，同位角相等； ④中应填：． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②④ 例8．（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图，下面推理中正确的是（    ）    A．， B．∵， C．∵， D．， 变式1．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）如图，已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（2024·云南·模拟预测）如图，下列判断中正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【题型5 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 例9．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）如图，为射线上一动点，连接，作平分，交于点，作平分，交于点． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的度数． (3)请说明在点的运动过程中，的值是否为定值．若是定值，请求出的度数，若不是定值，请说明理由． 例10．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的下方，看一看，想一想，证一证： 以下与有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 变式1．（24-25七年级下·云南临沧·期中）如图，直线，与直线都相交，交点分别为B，D，且．点M是直线上的一个动点，连接，，记为，为． (1)若，，求的度数； (2)当点M在B，D两点之间运动时，求证：； (3)当点M在B，D两点外侧运动时，且与不重合，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，试探究与，之间的数量关系． 变式2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 过关检测 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南·月考）如图，直线被直线所截，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·云南·月考）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·模拟预测）如图所示，平行线，被直线所截，，则的度数是 （   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，，，，则的度数是 ． 8．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 度 三、解答题 9．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线，直线与分别相交于点M，N，，垂足为M，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 1．D 【分析】本题考查利用平行线性质求角度，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 由平行线的性质：同位角相等、同旁内角互补得到，，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由平行线的性质，可得，， ， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 3．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角．根据平行线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了方位角及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据方位角和平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：根据两直线平行，同旁内角互补得， ， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质和邻补角解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据垂直定义可得，然后利用平行线的性质可得，再利用对顶角相等可得，即可解答，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．120 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 由角平分线的性质可求得，再由平行线的性质可得出与互补，据此列式计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，解二元一次方程组等知识； （1）由对顶角相等及角平分线的性质得，再由垂直关系即可求解； （2）由平行线的性质得，再由及可求得，从而求得，再由互补关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， 即有②， 由得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $