第01讲 相交线（知识点+题型+过关测） 寒假讲义 2025-2026学年 人教版七年级数学下册（云南专用）

第01讲 相交线 思维导图 知识点： 知识点1：邻补角与对顶角 1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线（两个角互补）。 2.对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线（两个角相等）。 知识点2：垂线与点到直线的距离 1.垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 知识点3：同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角. (2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 题型： 【题型1 对顶角、领补角的定义】 例1．（24-25七年级下·云南昆明·月考）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式1．（24-25七年级下·云南昭通·月考）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如果把如图所示的工具的构造看作几条相交的直线，其中有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 对顶角相等】 例3．（24-25七年级下·云南昆明·月考）如图，直线相交于点O，射线平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26七年级上·云南红河·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 变式1．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 变式2．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 对顶角、领补角性质的综合】 例5．（25-26七年级上·云南曲靖·月考）如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，则______（用含α的式子表示）． 例6．（23-24七年级下·云南普洱·期末）如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 变式1．（23-24七年级下·云南·期中）如图，直线相交于点O，把分成两部分．    (1)的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，且，求的度数． 变式2．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 【题型4 垂线的定义的理解】 例7．（24-25七年级下·云南临沧·月考）如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 变式2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，直线、相交于点O，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型5 垂线段最短】 例9．（24-25七年级下·云南昆明·期末）我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 例10．（2025七年级上云南玉溪·专题练习）如图，从书店到公路最近的是 号路线，理由是 ． 变式1．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，在三角形中，，点是边上一动点，的长不可能是（   ） A．4 B．5.5 C．3 D．5 变式2．（24-25七年级下·云南临沧·期中）如图，点M是直线外的一点，从点M到直线，有4条路径，，，．其中，则这4条路径中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 画垂线】 例11．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 例12．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 变式2．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 点到直线的距离】 例13．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 例14．（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为8，若点A是直线l上的一点，则线段的长不可能是（   ） A．7.5 B．8.5 C．9 D．10 变式1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，，下列说法中不正确的是（   ） A．点与上各点的所有连线中，最短 B．点到的距离是线段的长度 C． D．线段是点到的距离 变式2．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，点在直线外，，已知，，，则点到直线的距离是 ． 【题型8 利用垂线的定义求角的度数】 例15．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 例16．（24-25七年级上·云南保山·期末）已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： (1)填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； (2)猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． 变式1．3．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，直线，相交于点．若，求的度数． 变式2．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 【题型9 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例17．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是互为邻补角 例18．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，直线与直线相交形成的5个角中，与互为同位角的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 变式2．（24-25七年级下·云南昆明·月考）如图所示，下列说法一定正确的是（   ） A．与互余 B．和是同位角 C．和互为补角 D．和是内错角 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南·期中）下列四个图形中，过点作的垂线，正确的是（         ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南文山·期末）如图，点在直线上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·云南·专题练习）如图，C是直线外一点，M是线段的中点，连接，过点C作，垂足为点D，则点C到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 4．（24-25七年级下·云南昆明·期末）我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024七年级下·云南·专题练习）如图，的同位角是 ，的内错角 ，的同旁内角是 ． 8．（23-24七年级下·云南红河·期末）如图，已知，则 ． 9．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，三角形中，，已知，，，则点到直线的距离是 ． 10．（24-25七年级下·云南临沧·期中）如图，直线，相交于点，平分，若，，则的度数为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·云南昆明·开学考试）如图，两条直线相交，形成四个角．其中，和是一组对顶角．请根据已学知识，不使用测量工具，推出． 推导过程： 12．（24-25七年级下·云南曲靖·期中）如图，直线，相交于点，，． (1)图中与互补的角有______；（将符合条件的角都写出来） (2)若，求的度数． 过关检测参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了用画垂线，根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：过点作的垂线，则垂足在直线上，只有A选项符合题意， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了利用邻补角的定义求角的度数，根据计算即可得出结果，熟练掌握邻补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，且， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念：从直线外一点到这条线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这个点到直线的距离即可得解． 【详解】解：∵， ∴根据点到直线的距离的概念可得：点C到直线的距离是线段的长； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可。 【详解】解：A、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故不符合题意； B、 木板上弹墨线为两点确定一条直线，故不符合题意； C、测量跳远成绩为垂线段最短，故符合题意； D、两钉子固定木条两点确定一条直线，故不符合题意． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义：“两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角”进行判断即可． 【详解】解：如图，和是对顶角， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 7． 和 【分析】本题主要考查了三线八角，涉及同位角、内错角、同旁内角的定义有关知识，数形结合，根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可得到答案，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义，识别图形是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 的同位角是，的内错角是，的同旁内角是和， 故答案为：；；和． 8． 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，补角的含义，正确理解图形中各角度的关系及角度的四则运算法则是解题的关键．根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．8 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：8． 10． 【分析】本题考查了对顶角的性质，角平分线的性质，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握几种角的关系． 根据角平分线的性质可得，根据对顶角的性质可得，再根据角的和差计算即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．见解析 【分析】本题主要考查了邻补角的性质，掌握邻补角的和为成为解题的关键． 由邻补角的性质可得、，即、，从而推出． 【详解】解：，， ，，   ． 12．(1)， (2) 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，补角的概念，角的计算，需要注意根据对顶角相等的性质找出相等的角，避免漏解而导致出错． （1）根据互补的两个角的和等于，结合图形找出与的和等于的角即可； （2）设，可以得到，根据对顶角相等得到，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴与互补， ∵， ∴ ， 又， 与互补， 与互补， ∴与互补的角是：， （2）设，则， ∵(对顶角相等)， 又 ∴ ∴ ∴ 又， 即， 解得 ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $