数学一模突破卷02（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设全集U=R,M={x0≤x≤2}，N={x1≤x≤3.如图所示，阴影部分所表示的集合为() U M A.（-0,0)U(3,+0) B.(-∞，0]U[3,+∞) C.（-o,1)U(2,+0) D.（-w,1]U[2,+0) 2.若1-i)=1+i,则z=() A.i B.1 C.√ D.2 3.已知实数a,b满足a<0<b,则() A1≥ B.Ig(-a)<lgb a b D.cise 4.下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是() A.fx)=x2+1 B.f(x)=In(x+1)-Inx C.f(x)=2+2 D.f(x)=lg(x2-1) 117 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5.在等比数列{a}中，4=84=44，则a,=() A.g B C. D.1 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在抛物线C上，且MF=2,O为坐标原点，则|OM=() A.2√2 B.2 C.5 D.5 7.已知函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0,且在[0，+o)上单调递减，对于实数a,b,则“2<b2”是“f(a>f(b)” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 &.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=at，其中a,b都是正常数，则该种放射性元 素的原了数由a个减少到号个时所经历的时间为5，由号个减少到导个时所经历的时间为4，则子（) A.2 B.1 C.In2 D.e 9.已知圆C是以原点为圆心，半径为3的圆，点A(2W3,2),E,F分别是C上两个动点，且EF=4W2,则 AE.AF的取值范围是() A.[1,16] B.[1,17] C.[9,16 D.[9,25] 10.己知曲线C:x2+y2=2x+2y,下列说法正确的是() ①曲线C关于y轴对称： ②存在a,使得曲线C与坐标轴的交点个数为3： ③曲线C围成的区域面积S(a)是关于a的增函数： ④当a≠0时，直线l:y=4r与曲线C有且仅有2个交点， A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点W3,2W3),则它的标准方程为 12.若(1-2x)°=4，+4x+4,x2++a,x6,则展开式中x2的系数为 :4+41+42+43+44+ 4+as= 13.已知函数f(x)=sin2x.若非零实数a,b,使得f(x+a)=f(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 有序实数对(a,b)可以是」 .(只需写出一组) 14.18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体 积公式：V=二h(S+4S+S)(其中S,S,S,h分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积 6 和高)，我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为α，高为h,则该正四棱锥的体积为 y名0+4字女+d小女h,类似铺，可运用该公式求解下运间题：勿，图在五面休ARCDEF中，B 6 平面ABCD,四边形ABCD为矩形，EF=3,AB=9,BC=8,BF=13,直线BF与平面ABCD所成角的正切值 为2，则该五面体的体积为 l5.通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点P有n(n∈N,n≥3)个等圆，其中任何两个圆都有两个 不同的交点，但任何三个圆除点P外无其他公共点，记这n个等圆共有f()个交点，则下列结论正确的说 法有」 ①.f(3)=4②.f(5)=10 ③.任意neN且n≥3，都有f(n+l)-f(m)=n ④.存在neN,使得f(n)=2026 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.设函数f(x)=√3 sinwxcos@x+Acos2ox(A>0,0>0),从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件 中选择两个作为已知，使得∫(x)存在且唯一 (1)求函数f(x)的解析式： (②求f)在区间0上的最大值和最小值 条件回：f()=f():条件②：(0)=1；条件③：f)的最大值为；条件④：了x)的图象的相邻两 条对称轴之间的距离为号 注：如果选择的条件不符合要求，得0分：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分， 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，其中PA=√3，AB=1, AD=2AB,且∠ABC=60°，点E为PD的中点. E - B (1)证明：PB∥平面AEC. (2)求点B到平面AEC的距离. (3)求平面PBC与平面AEC所成角的余弦值. 417 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 8.一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写若10个函数：片三x+,少+上，y=m2x.三c0s 2 g=m2,y=2只=@，%=2x+分为=m号 1 (I)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继 续进行，求抽取次数X的分布列： (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率： (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1 张)过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平， 请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则， X 2 3 4 6 7 2-5 4 P 1 2 1 y 1 15 6 21 21 105 210 517 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.已如稀圆C等若=1a>6>0的离心率为号.点02到在c上. (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知动直线1过曲线C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点，试问x轴上是否存在定点R,使得 RP.RQ为定值？若存在，求出该定点坐标：若不存在，请说明理由. 20.已知函数fx)=r- -,8(x)=-2x21nx-m (1)当<0时，过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点(x,f(x),证明：-x,+2nx为定值. (2)已知f(x)恰有两个零点x,x2,8(x)恰有两个零点x3,x4,且x,<x4<x1<x2· (i)求m的取值范围； (i)证明：x++x+x>2e+ e 617 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.若数列A:a,a,，a(n≥3)中q∈N(1≤i≤m且对任意的2≤k≤n-1,a1+a1>2a,恒成立，则 称数列A为“U-数列”. (1)若数列1，x,y,7为“U-数列”，写出所有可能的x,y: (2)若“U-数列A:a1,42,.,4.中，41=1,4=2081，求n的最大值： (3)设n为给定的偶数，对所有可能的U-数列”A:a,马，，a,记M=max{4,4,,a},其中 max{x,x2,,x}表示x,x2,,这5个数中最大的数，求M的最小值. 7172026年高考第一次模拟考试 数学 : (考试时间：120分钟，分值150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 : 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） : 0 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 1.设全集U=R,M={x0≤x≤2}，N={x1≤x≤3}.如图所示，阴影部分所表示的集合为() 尽 O A.（-o,0)U(3,+o) B.(-o,0]U[3,+o) C.(-o,1)U(2,+∞) D.(-0,1]U[2,+o) : 2.若1-i)=1+i,则川z=() 黑 A.i B.1 : c.√2 D.2 : 3.已知实数a,b满足a<0<b,则() : A.11 B.Ig(-a)<lgb ab c82 D. : 4.下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是() : A.f(x)=x2+1 B.f(x)=In(x+1)-Inx x C.f(x)=2+2 D.f(x)=1g(x2-1) : 5.在等比数列{an}中，4=8,4=4,4，则4，=() : A. B. c. D.1 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在抛物线C上，且|MF=2,O为坐标原点，则OM() 试题第1页（共4页） .: .: ⊙学科网·学易金卷做既：限是籍语 A.2W2 B.2 C. D.5 7.已知函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0,且在[0，+o)上单调递减，对于实数a,b,则“ad2<b2"是“f(>f(b)" 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=ae',其中a,b都是正常数，则该种放射性元 素的原子数由a个减少到：个时所经历的时间为，由：个减少到？个时所经历的时间为，则三=() 2 4 A.2 B.1 C.In2 D.e 9.已知圆C是以原点为圆心，半径为3的圆，点A(2√3,2)，E,F分别是C上两个动点，且EF=4v2，,则 AE.AF的取值范围是() A.[1,16] B.[1,17] C.[9,16] D.[9,25] 10.已知曲线C:x2+y2=2ax+2y,下列说法正确的是() ①曲线C关于y轴对称； ②存在4，使得曲线C与坐标轴的交点个数为3： ③曲线c围成的区域面积S(a)是关于a的增函数； ④当a≠0时，直线1：y=4与曲线C有且仅有2个交点. A.①② B.①③ c.①③④ D.①②④ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.己知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点(W3,2W3),则它的标准方程为 12.若(1-2x)°=4+4x+4,x2+…+a,x6,则展开式中x2的系数为： 4+4+a2+a+a4+a+a6= 13.已知函数∫(x)=sin2x.若非零实数a,b,使得∫(x+a)=bf(x)对x∈R都成立，则满足条件的一组 有序实数对(a,b)可以是·（只需写出一组） 14.18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体 积公式：V=h(S+4S+S)(其中S,S,S,h分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积 6 和高)，我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为α，高为，则该正四棱锥的体积为 v=xh0+4×a2+）=ah,类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体ABCDEF中，EPW 6 3 平面ABCD,四边形ABCD为矩形，EF=3,AB=9,BC=8,BF=13,直线BF与平面ABCD所成角的正切 值为二，则该五面体的体积为 试题第2页（共4页） 学科网·学易金卷悠既焉：限是萧 15.通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点P有n(n∈N,n≥3)个等圆，其中任何两个圆都有两 个不同的交点，但任何三个圆除点P外无其他公共点，记这个等圆共有f()个交点，则下列结论正确的 说法有」 ①.f(3)=4②.f(5)=10 ③.任意n∈N且n≥3，都有f(n+1)-f(m)=n ④.存在neN,使得f(n)=2026 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.设函数f(x)=√3 sin@xcoswx+Acos2ax(A>0,0>0),从条件①、条件②、条件③、条件④这四个 条件中选择两个作为已知，使得∫(x)存在且唯一. (1)求函数∫(x)的解析式： (2求f()在区间0习上的最大值和最小值。 条件①：f)=f():条件②：f0)=1:条件国：f)的最大值为：条件④：f)的图象的相 邻两条对称轴之间的距离为号 注：如果选择的条件不符合要求，得0分：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分。 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，其中PA=√5，AB=1, AD=2AB,且∠ABC=60°，点E为PD的中点. B (1)证明：PB∥平面AEC. (2)求点B到平面AEC的距离. (3)求平面PBC与平面AEC所成角的余弦值. 试题第3页（共4页） 18.一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：y=x2+号，y 十)，y2=x+2,y3=sin2x,y4=cosx, O : g=m2,义g=a@,4=2x%w号 。1 (1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继 续进行，求抽取次数X的分布列： ☑ (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽 ········. 1张).过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平， 请说明理由：若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. X 6 4 1 2 1 2 1 5 15 6 21 105 210 19. 已知椭圆c子+芳-1a>b>0的离心华为 ,点(0,2)在C上. 游 a2+b2 2 游 (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知动直线I过曲线C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点，试问x轴上是否存在定点R,使得 RPRQ为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. O 20.已知函数/)-弧g)-2r-m (1)当<0时，过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点(xo,f(x。),证明：-x,+2lx为定值. (2)已知f(x)恰有两个零点x,x2,8(x)恰有两个零点x3,x4,且x3<x4<x1<x2: (i)求m的取值范围： G心)证明：x+x++x>2©+。》 21.若数列A:a,4,4n≥3)中4∈N(1≤i≤)且对任意的2≤k≤n-1,a+1+a-1>2a,恒成立，则 称数列A为“U-数列”. (1)若数列1，x,y,7为“U-数列”，写出所有可能的x,y 席 (2)若“U-数列A:a1,42,,a.中，4=1,4=2081，求n的最大值： (3)设，为给定的偶数，对所有可能的“U-数列A:a,4,,a。,记M=max{a,a,,a},其中 max{x,x2,,x}表示x,x2,,x这5个数中最大的数，求M的最小值。 : O 试题第4页（共4页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图中阴影部分所表示的集合为，根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A 2．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 3．已知实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质以及对数函数的性质、指数函数的性质，基本不等式可求得结果. 【详解】对于A，，则，所以，该选项错误； 对于B，若，满足，但，该选项错误； 对于C，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，该选项正确； 对于D，，所以，因为，所以， 但跟0的大小关系不确定，所以不能确定， 所以不能得到，该选项错误； 故选：C. 4．下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A利用导数判断单调性即可；选项B利用导数判断；选项C.设，转化为对勾函数判断；选项D根据定义域判断. 【详解】A.,当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增.故在(0, +∞)上不单调，故A错误. B. 由，得，当时，，所以递减，故错误； C. 对于，设，当时，， 由对勾函数知：在上递增，故正确； D. 对于，由，解得或，所以函数的定义域为或，故错误； 故选：C 5．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出． 【详解】是等比数列， ， ，，解得或（舍去）， ，， ，解得． 故选：A． 6．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且为坐标原点，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义及焦半径求出点的横坐标，即可求解. 【详解】已知抛物线C方程为：， ， 设，由，得， 又，所以， ，不妨取， ． 故选：D． 7．已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得. 【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减， 因此， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中，都是正常数，则该种放射性元素的原子数由个减少到个时所经历的时间为，由个减少到个时所经历的时间为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由，利用求出，再分别求出时的和时的，从而求出的值． 【详解】当时，若，则，所以，所以， 若，则，所以，， 所以，，， 故选：B 9．已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（   ） A．[1，16] B．[1，17] C．[9，16] D．[9，25] 【答案】B 【分析】设EF的中点为D，易得，，，，再由，根据同向和反向共线时求解. 【详解】如图所示： 设EF的中点为D，则,且， 因， 则， 于是，， 所以， ， ， 当同向共线时，，； 当反向共线时，，， 所以的取值范围是. 故选：B. 10．已知曲线：，下列说法正确的是（    ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】因为曲线C中含有，所以对分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数，所以需要对分，，三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【详解】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，根据焦距与实轴长的关系及可得，对焦点所在位置分类讨论，代入点求出参数即可得双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以，即. 因为，所以，即. 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点， 所以，即，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 所以，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 12．若，则展开式中的系数为 ； . 【答案】 60 1 【分析】利用二项式定理求出通项，进而得到系数求解第一空，利用赋值法求解第二空即可. 【详解】因为的展开式的通项，令，则的系数为60； 令可得：. 故答案为： 13．已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是 ．（只需写出一组） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】因为，且存在非零实数，，使得对都成立， 所以. 当时，，即. 因此当时，符合题意. 故答案为：. 14．18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为 ． 【答案】336 【分析】根据题意求出点到平面的距离，进而求得中截面和底面的面积，利用给定“万能求积公式”计算即可. 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，则，四边形为矩形，， 作出中截面，则，， 因为，四边形为矩形，所以四边形为矩形， 所以，，， 所以该五面体的体积为. 故答案为：336. 15．通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的说法有 ①． ②． ③．任意且，都有 ④．存在，使得 【答案】①③ 【分析】先分析个等圆交点个数的规律，再逐一判断选项． 【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆， 各有一个除外的交点，因此递推关系为：， 即任意且，都有，③选项正确； 当时，三个等圆过同一点，每两个圆有2个交点，但是公共点， 因此除外，每两个圆有1个交点，因此，①选项正确； 由递推关系式可得：，，， 将这些式子累加得， 因此， ，因此②选项错误； 令，则，化简得． 判别式为，因为，不是整数，因此不是整数，因此④选项错误． 故选：①③． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）若选择条件②④，则由可得，再借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合周期与的关系即可得解；若选择条件③④，则可直接借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，结合正弦函数最大值可得，再利用周期与的关系即可得解； （2）由的范围可得的范围，结合正弦型函数的性质即可得其最大、最小值. 【详解】（1）若选择条件②④： 由，可得，即， ， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以； 若选择条件③④： 由题意可得， 的最大值为，则， 所以， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以； 其余选法都不成立，理由如下： 若条件①成立，即有， 由， 则，即恒成立， 不符合题意，故①不能选择； 由上知选择条件②与选择条件③都仅可得到，故不能选择②③当已知条件； （2）当时，，， 则当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值. 17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，进而得到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离公式求解即可. （3）求出相关平面的法向量，利用向量法求二面角公式求解即可. 【详解】（1）连接，交于，连接. 因为中，为对角线交点，所以为的中点， 又是中点，所以， 又平面，所以平面， 所以平面. （2）在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 又底面，，平面，所以，. 所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面法向量为，则， 即，令，则，，所以． 所以点到平面的距离． （3）由（2）得，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 ． 18．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. (1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)公平，理由见解析 【分析】（1）首先判断奇函数的个数，则的可能取值为、、、、、、，求出相应的概率，即可求出分布列； （2）得到、为奇函数，其余只能由奇函数奇函数得到奇函数，利用组合数公式及古典概型的概率公式计算可得； （3）计算甲赢的概率，即可判断. 【详解】（1）由函数解析式可知，偶函数有，，； 奇函数有，，，； 非奇非偶函数有，，； 所以的可能取值为、、、、、、， 则，，， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 （2）因为为奇函数，， 令定义域为，且， 所以为奇函数，即为奇函数， 其余只能由奇函数奇函数得到奇函数； 所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率； （3）游戏公平，理由如下： 记甲赢为事件，乙赢为事件， 则， 所以，则，故游戏公平. 19．已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可得， 解得， ，则， 所以椭圆的标准方程为． （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时， 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则， ， 综上所述，在轴上存在点，使得为定值. 20．已知函数. (1)当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. (2)已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再由切线过原点，代入运算得证； （2）（i）解法一，对函数求导，判断单调性和极值，得到，又，可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，得解；法二，令，得，令，得，设，求导判断单调性极值数形结合求解； （ii）由（i）得，进而得到，，利用基本不等式将问题转化为证明，利用分析法证，即证，构造函数，利用导数证明，即可. 【详解】（1）因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 由该切线过原点，得， 整理得，故为定值； （2）（i）解法一，， 令，得单调递增， 令，得单调递减； 故的极大值为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 若恰有两个零点，则，得； 由， 可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，且， 故的取值范围是； 解法二： 令，得，令，得， 设，则， 由，得单调递增，由，得单调递减； 由，得单调递增，由，得单调递减； 故的极大值为的极大值为； 当时，，当时，， 当时，，当时，； 由图可知，的取值范围是； （ii）由（i）得，所以， 因为，所以，即， 同理得， 故， 因为， 又因为，所以，得， 则， 所以； 先证， 要证，只需证， 因为，所以， 而在上单调递减，所以只需证， 即证； 设， 则 ， 因为，所以，得， 而，所以， 得在上单调递增，所以， 则，即，得证； 令， 得在上单调递增， 所以， 故. 21．若数列，，…，中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”． (1)若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y； (2)若“数列”，，…，中，，，求n的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解； （2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解； （3）利用“数列”的定义，结合（2）中结论推得；再取特殊例子证得成立，从而得解. 【详解】（1）依题意，因为数列1，，，7为“数列”， 则，注意到， 故所有可能的，为或或. （2）n的最大值为66，理由如下： 因为，对任意的， 令，则且， 故对任意的恒成立． 当，时，注意到， 得， 此时， 即，解得：，故； 另一方面，取，则对任意的，， 故数列为“数列”， 此时，即符合题意．综上，n的最大值为66． （3）当时， 一方面：由（2）可得：， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，，，，，，时， ， 取，则，，， 且， ， 此时， 综上，的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．_____________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（13分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 9[A][B][C]D] 2[AB][C][D] 6[A][B][C]D] 10[A][B][C]D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C]D] 4 [A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11 12 13. 14. 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(13分) 17.(13分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 … ……………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 4．下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 6．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且为坐标原点，则（   ） A． B．2 C． D． 7．已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中，都是正常数，则该种放射性元素的原子数由个减少到个时所经历的时间为，由个减少到个时所经历的时间为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 9．已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（   ） A．[1，16] B．[1，17] C．[9，16] D．[9，25] 10．已知曲线：，下列说法正确的是（    ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为 ． 12．若，则展开式中的系数为 ； . 13．已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是 ．（只需写出一组） 14．18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为 ． 15．通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的说法有 ①． ②． ③．任意且，都有 ④．存在，使得 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． (3)求平面与平面所成角的余弦值． 18．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. (1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 1 2 3 4 5 6 7 19．已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知函数. (1)当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. (2)已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 21．若数列，，…，中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”． (1)若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y； (2)若“数列”，，…，中，，，求n的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C C A D C B B C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． （答案不唯一） 14. 336 15.①③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【详解】（1）若选择条件②④： 由，可得，即， ， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以；..........................7分 若选择条件③④： 由题意可得， 的最大值为，则， 所以， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得（负值舍去），所以；..........................7分 其余选法都不成立，理由如下： 若条件①成立，即有， 由， 则，即恒成立， 不符合题意，故①不能选择； 由上知选择条件②与选择条件③都仅可得到，故不能选择②③当已知条件； （2）当时，，， 则当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值...........................13分 17．（13分） 【详解】（1）连接，交于，连接. 因为中，为对角线交点，所以为的中点， 又是中点，所以， 又平面，所以平面， 所以平面...........................4分 （2）在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 又底面，，平面，所以，. 所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面法向量为，则， 即，令，则，，所以． 所以点到平面的距离．..........................9分 （3）由（2）得，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 ．..........................13分 18．（14分） 【详解】（1）由函数解析式可知，偶函数有，，； 奇函数有，，，； 非奇非偶函数有，，； 所以的可能取值为、、、、、、， 则，，， ，，，，.........................5分 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 （2）因为为奇函数，， 令定义域为，且， 所以为奇函数，即为奇函数， 其余只能由奇函数奇函数得到奇函数； 所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率；..........................11分 （3）游戏公平，理由如下： 记甲赢为事件，乙赢为事件， 则， 所以，则，故游戏公平...........................14分 19．（15分） 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可得， 解得， ，则， 所以椭圆的标准方程为．..........................4分 （2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时， 点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则， ， 综上所述，在轴上存在点，使得为定值...........................15分 20．（15分） 【详解】（1）因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 由该切线过原点，得， 整理得，故为定值；..........................4分 （2）（i）解法一，， 令，得单调递增， 令，得单调递减； 故的极大值为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 若恰有两个零点，则，得； 由， 可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，且， 故的取值范围是；..........................9分 解法二： 令，得，令，得， 设，则， 由，得单调递增，由，得单调递减； 由，得单调递增，由，得单调递减； 故的极大值为的极大值为； 当时，，当时，， 当时，，当时，； 由图可知，的取值范围是； （ii）由（i）得，所以， 因为，所以，即， 同理得， 故， 因为， 又因为，所以，得， 则， 所以； 先证， 要证，只需证， 因为，所以， 而在上单调递减，所以只需证， 即证； 设， 则 ， 因为，所以，得， 而，所以， 得在上单调递增，所以， 则，即，得证； 令， 得在上单调递增， 所以， 故...........................15分 21．（15分） 【详解】（1）依题意，因为数列1，，，7为“数列”， 则，注意到， 故所有可能的，为或或...........................4分 （2）n的最大值为66，理由如下： 因为，对任意的， 令，则且， 故对任意的恒成立． 当，时，注意到， 得， 此时， 即，解得：，故； 另一方面，取，则对任意的，， 故数列为“数列”， 此时，即符合题意．综上，n的最大值为66．..........................9分 （3）当时， 一方面：由（2）可得：， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，，，，，，时， ， 取，则，，， 且， ， 此时， 综上，的最小值为...........................15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 4．下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 6．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且为坐标原点，则（   ） A． B．2 C． D． 7．已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中，都是正常数，则该种放射性元素的原子数由个减少到个时所经历的时间为，由个减少到个时所经历的时间为，则（    ） A．2 B．1 C． D． 9．已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（   ） A．[1，16] B．[1，17] C．[9，16] D．[9，25] 10．已知曲线：，下列说法正确的是（    ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为 ． 12．若，则展开式中的系数为 ； . 13．已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是 ．（只需写出一组） 14．18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中分别为几何体的上底面面积、中截面面积、下底面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为．类似地，可运用该公式求解下述问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为 ． 15．通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的说法有 ①． ②． ③．任意且，都有 ④．存在，使得 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一. (1)求函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 条件①：；条件②：；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分. 17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． (3)求平面与平面所成角的余弦值． 18．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. (1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 1 2 3 4 5 6 7 19．已知椭圆的离心率为，点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知函数. (1)当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. (2)已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 21．若数列，，…，中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”． (1)若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y； (2)若“数列”，，…，中，，，求n的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $