第一单元 线与角（线段、直线、射线）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制三年级下册（新教材）

网学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一单元 线与角（线段、直线、射线） 典型例题 方法玉按 1.直线、射线、线段的认识： --一认识直线、射线、线段三种线的特征，建立三种线的直观表象，明确端点数量和延伸特 点 2.三种线的区别与联系： --掌握直线、射线、线段的区别（端点、延伸性、长度）与联系，能准确区分三种线 3.线段的度量： -一-一会使用直尺测量线段的长度，掌握测量的规范方法，能准确读出线段长度数值 4.线段的绘制： -一-一根据给定长度，用直尺规范绘制线段，培养动手操作能力和精准作图意识 5.线的实际应用： 一结合生活场景，理解三种线的实际应用场景，提升运用线的知识解决实际问题的能力 类型1线段、直线、射线的认识及特征解决问题： 典型例题1：聪聪说：“直线可以向两端无限延长，射线只能向一端无限延长，所以直线比射 线长。”你同意他的说法吗？说说你的理由。 【分析】 这是一条直线 。 直线是直的，没有端点，无限长，可以向两端无限延长。 这是一条射线， 射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：用钉子将一根木条固定在墙上，至少要钉几个钉子？请用学过的知识进行解释。 类型2两点间线段最短与两点间的距离解决问题： 典型例题2：如下图，乐乐要从家去学校，走哪条路最近？为什么？ ① 0000000000 000000 0 ② 乐乐家 学校 ③ 【分析】运用两点间所有连线中线段最短的原理来判断从乐乐家到学校哪条路最近。观察图 中三条路线，第①条是曲线，第②条是线段，第③条是折线，根据两点间所有连线中线段最 短，所以走第②条路最近，据此解答。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练：如下图，饲养员从休息区到虎山有几条路可走？走哪条路最远？走哪条路最近？为 什么？ 狐狸洞 5 km ① 4 km 休息区 ②7km ③ 虎山 6km 象馆 类型3数图形（线段、直线、射线）解决间题： 典型例题3：如果1路公交车有10个站点，单程需要准备几种不同的车票？（可以先画图， 再解答) 【分析】假设这是10个站点分别为：A、B、C、D、E、F、G、H、I、J,如下图所示： A B C DE F G H I J 分别写出从每个站点出发，有几种车票搭配，如下： 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A站点出发有9种车票；B站点出发有8种车票；C站点出发有7种车票；D站点出发：有6 种车票；E站点出发有5种车票；F站点出发有4种车票；G站点出发有3种车票；H站点出 发有2种车票；1站点出发有1种车票；再把票数相加即可。 变式训练：数一数，下面一共有多少条线段？ ☒ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合练习 A夯实基础 1.如图，从点A到点B的几条连线中，最短的是第()条。 ① ② B ③ A.① B.② c.③ 2.下图中有()条射线。 B A.3 B.4 C.6 3.如下图，明月古镇在一条笔直的公路上，从明月古镇前往清风湖有三条路可以走，长度分 别是580米、920米、1260米，其中主路与明月古镇所在公路是垂直的，则主路长()米。 清风湖 明月古镇 A.580 B.920 C.1260 4.沈阳到北京的高铁从起点到终点一共有5站，单程需要准备( 种不同的车票。 09学科网·上好课 .zxxk.com 上好每一堂课 5.如下图，连接其中任意两个点就能画出一条直线。按这样的规律，第10幅图中一共可以 画出()条直线。 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 第10幅图 6.如图，小明为了尽快到学校，会选择第()条路线。 ① 小明家 学校 ② B培优拔高 7.仓鼠的新家刚刚建好，为了出入方便，仓鼠想在家里的粮仓、卧室、厨房和卫生间两两之 间修直通道。仓鼠要修几条直通道?请在这幅图上画出来。 厨房 卧室 粮仓 卫生间 8.如下图所示， 文化小区有一个形状是由三个大小不同的等边三角形DMN、等边三角形 MAO、 ， 等边三角形OBN组成的花园。由M地到N地， 走哪条路最近?其它两条路一样长吗? 为什么? 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /50米30米 B 9.一只蚂蚁从A地向B地搬米，有三条路线（如图所示）可走，路线正好是3个大小不同的 等边三角形。从A地到B地，蚂蚁走哪条路程最短？为什么？（用所学的知识解答） ① ② ③ 7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.贾泉村部想修一条从村部到石榴采摘园的水泥路，再修一条从石榴采摘园到河边的水渠。 要使修的路和水渠都最短，应该如何修？请你在图中分别画出来，并说明理由。 小河 ·石榴采摘园 贾泉村部 11.连接下面每两个点。 A· E 尽 D· 可以画()条线段。 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C思维拓展 12.数一数，下图中一共有几条线段？ 13.小马口渴了，它想到河边喝水。小马走哪条路才能从A点最快到达B点呢？ O ② B 3 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.下面是某动物园四个景点的分布图，仔细观察后回答问题。 440m 虎山】 (熊猫馆 550m 650m 370m 象山 猴山 620m 从虎山到猴山一共有几条路可以走？走哪条路最近？ 15.数一数，下面的图形共有几条线段。 10 第一单元 线与角（线段、直线、射线） 1.直线、射线、线段的认识： ----认识直线、射线、线段三种线的特征，建立三种线的直观表象，明确端点数量和延伸特点 2.三种线的区别与联系： ----掌握直线、射线、线段的区别（端点、延伸性、长度）与联系，能准确区分三种线 3.线段的度量： ----会使用直尺测量线段的长度，掌握测量的规范方法，能准确读出线段长度数值 4.线段的绘制： ----根据给定长度，用直尺规范绘制线段，培养动手操作能力和精准作图意识 5.线的实际应用： ----结合生活场景，理解三种线的实际应用场景，提升运用线的知识解决实际问题的能力 类型1 线段、直线、射线的认识及特征解决问题： 典型例题1：聪聪说：“直线可以向两端无限延长，射线只能向一端无限延长，所以直线比射线长。”你同意他的说法吗？说说你的理由。 【答案】不同意；理由见详解 【分析】 这是一条直线。直线是直的，没有端点，无限长，可以向两端无限延长。 这是一条射线，。射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。 【详解】答：我不同意聪聪的说法。因为直线和射线都是无限长的，无法测量它们的长度，所以没有办法比较直线和射线的长度。 变式训练：用钉子将一根木条固定在墙上，至少要钉几个钉子？请用学过的知识进行解释。 【答案】2个，理由见详解 【分析】经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，据此解答。 【详解】由分析得： 用钉子将一根木条固定在墙上，至少要钉2个钉子，因为两点确定一条直线。 【点睛】本题考查直线的特性，关键是明确两点确定一条直线。 类型2 两点间线段最短与两点间的距离解决问题： 典型例题2：如下图，乐乐要从家去学校，走哪条路最近？为什么？ 【答案】走第②条路最近。因为两点间所有连线中线段最短。 【分析】运用两点间所有连线中线段最短的原理来判断从乐乐家到学校哪条路最近。观察图中三条路线，第①条是曲线，第②条是线段，第③条是折线，根据两点间所有连线中线段最短，所以走第②条路最近，据此解答。 【详解】由分析可知，答：走第②条路最近。因为两点间所有连线中线段最短。 变式训练：如下图，饲养员从休息区到虎山有几条路可走？走哪条路最远？走哪条路最近？为什么？ 【答案】见详解 【分析】(1)观察图可知，饲养员从休息区到虎山有3条不同的路线可走. (2)分别计算各条路的长度，比较大小得出最远的路；根据两点间线段最短的原理得出最近的路。 【详解】(1)由图可得，有3条路可走。 答：饲养员从休息区到虎山有3条路可走。 (2)①号路长度：（km） ②号路长度：7km（直接为线段长度） ③号路长度：（km） 因为9＞8＞7，所以①号路最远。 又因为两点间所有连线中线段最短，②号路是休息区到虎山的直接线段，所以②号路最近。 答：走①号路最远，走②号路最近。 类型3 数图形（线段、直线、射线）解决问题： 典型例题3：如果1路公交车有10个站点，单程需要准备几种不同的车票？（可以先画图，再解答） 【答案】45种 【分析】假设这是10个站点分别为：A、B、C、D、E、F、G、H、I、J，如下图所示： 分别写出从每个站点出发，有几种车票搭配，如下： A站点出发有9种车票；B站点出发有8种车票；C站点出发有7种车票；D站点出发：有6种车票；E站点出发有5种车票；F站点出发有4种车票；G站点出发有3种车票；H站点出发有2种车票；I站点出发有1种车票；再把票数相加即可。 【详解】 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（种） 答：单程需要准备45种不同的车票。 变式训练：数一数，下面一共有多少条线段？ 【答案】10条 【分析】通过分类计数的方法来计算线段的数量，外围一圈有4条，中间顶点引出4条，对角线有2条，再把它们加起来。 【详解】4＋4＋2＝10（条） 答：一共有10条线段。 A夯实基础 1．如图，从点到点的几条连线中，最短的是第（    ）条。 A．① B．② C．③ 【答案】B 【分析】3条连线中，第②条是直的线，且有2个端点，是线段，根据两点之间，线段最短可知第②条最短。 【详解】第②条连线是线段，而两点之间线段最短，所以从点A到点B的几条连线中，最短的是第②条。 故答案为：B 2．下图中有（    ）条射线。 A．3 B．4 C．6 【答案】C 【分析】射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，所以图中每个端点都可以看作是射线的一个端点，从一个端点向左、向右分别得到2条射线。图中共3个端点，所以共有3×2＝6（条）射线。 【详解】3×2＝6（条） 下图中有6条射线。 故答案为：C 3．如下图，明月古镇在一条笔直的公路上，从明月古镇前往清风湖有三条路可以走，长度分别是580米、920米、1260米，其中主路与明月古镇所在公路是垂直的，则主路长（    ）米。 A．580 B．920 C．1260 【答案】A 【分析】根据点到直线的所有连线中，垂直线段的长度最短；从明月古镇前往清风湖有三条路，其中主路与明月古镇所在公路是垂直的，则主路的长度最短；因此只需比较三条路的长度，选出的最小值就是主路的长度。 【详解】580＜920＜1260 所以主路长580米。 故答案为：A 4．沈阳到北京的高铁从起点到终点一共有5站，单程需要准备( )种不同的车票。 【答案】10 【分析】 沈阳到北京的高铁从起点到终点一共有5站，如图：，A站开始有4种票：AB、AC、AD、AE；B站开始有3种票：BC、BD、BE；C站开始有2种票：CD、CE；D站开始有1种票：DE；一共有4＋3＋2＋1＝10种不同的单程票；据此解答。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（种） 即沈阳到北京的高铁从起点到终点一共有5站，单程需要准备10种不同的车票。 5．如下图，连接其中任意两个点就能画出一条直线。按这样的规律，第10幅图中一共可以画出( )条直线。 【答案】55 【分析】当有2个点时，可画直线数：1条（直接连接两点）； 当有3个点时，可画直线数：1＋2＝3条（第 3 个点与前 2 个点分别连线，增加 2 条）； 当有4个点时，可画直线数：1＋2＋3＝6条（第 4 个点与前 3 个点分别连线，增加 3 条）； 第 10 幅图：10＋1＝11个点，所以可画直线数：1＋2＋3＋...＋10得出答案。 【详解】1＋2＋3＋...＋10 ＝（1＋10）×（10÷2） ＝11×5 ＝55（条） 第10幅图中一共可以画出55条直线。 6．如图，小明为了尽快到学校，会选择第( )条路线。 【答案】① 【分析】根据题意，连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此解答。 【详解】第①条路是直线段，第②条路是曲线。 小明为了尽快到学校，会选择第①条路线。 B培优拔高 7．仓鼠的新家刚刚建好，为了出入方便，仓鼠想在家里的粮仓、卧室、厨房和卫生间两两之间修直通道。仓鼠要修几条直通道？请在这幅图上画出来。 【答案】图见详解； 6条 【分析】线段是直直的，有2个端点。要想两两之间修直通道，也就是将每两个点相连，连出几条线段，就是要修几条直通道。 【详解】由分析作图如下： 答：仓鼠要修6条直通道。 8．如下图所示，文化小区有一个形状是由三个大小不同的等边三角形DMN、等边三角形MAO、等边三角形OBN组成的花园。由M地到N地，走哪条路最近？其它两条路一样长吗？为什么？ 【答案】沿MN走最近；一样长；见详解 【分析】等边三角形的三条边长度相等。由题意得，从M到N，沿着MN走是最近的，因为两点之间线段是最短的；第二问，可以根据等边三角形的特征判断出各个线段长度之间的关系。 【详解】沿MN走最近，MN＝80米。因为三个三角形都是大小不同的等边三角形，所以MD＝ND＝MO＋ON，MO＝MA＝OA，OB＝ON＝BN。所以MD＋DN＝MN×2＝（50＋30）×2＝80×2＝160（米），MA＋AO＋OB＋BN＝MO×2＋ON×2＝50×2＋30×2＝100＋60＝160（米）。160＝160，所以其它两条路一样长。 答：沿MN走最近且其它两条路一样长。 9．一只蚂蚁从A地向B地搬米，有三条路线（如图所示）可走，路线正好是3个大小不同的等边三角形。从A地到B地，蚂蚁走哪条路程最短？为什么？（用所学的知识解答） 【答案】② 【分析】等边三角形特征是三条边相等，假设右边最小的等边三角形的边长为a，左边较大的等边三角形的边长为b，从图中观察最大的等边三角形的边长是a＋b，那么第一条路线是2个（a＋b）的长度也就是2个a加2个b（乘法分配律（a＋b）×c ＝a×c＋b×c），第二条路线是直线走，长a＋b，第三条路是2个a加2个b的长，与第一条路线长相等，与第二条路线比较后发现直的走最短。 【详解】由分析可知：第③条路长2a＋2b，第①条路是2×（a＋b），那么根据乘法分配律2×（a＋b）＝2a＋2b，所以这两条路线一样长，而第②条路是a＋b，则2×（a＋b）＞a＋b，所以第②条路最短。 10．贾泉村部想修一条从村部到石榴采摘园的水泥路，再修一条从石榴采摘园到河边的水渠。要使修的路和水渠都最短，应该如何修？请你在图中分别画出来，并说明理由。 【答案】画图见详解；两点之间，线段距离最短；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【分析】两点之间，线段距离最短；因此用直尺将贾泉村和石榴采摘园连接起来即可；依此画图； 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 理由：两点之间，线段距离最短；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 11．连接下面每两个点。 可以画（    ）条线段。 【答案】画图见详解；35 【分析】连接每两个点，外边的五边形有5条线段，中间的五角星每条边有6条线段，共5条边，将它们相加即可。 【详解】 5＋6＋6＋6＋6＋6＝35（条） 可以画35条线段。 【点睛】熟练掌握对线段的认识是解题关键。 C思维拓展 12．数一数，下图中一共有几条线段？    【答案】10条 【分析】按顺序从基本线段数起。先数基本线段，如：有4条；再数由2条基本线段组成的线段，如：  有3条；再数由3条基本线段组成的线段，如：有2条；最后数由4条基本线段组成的线段，如：有1条。把所有的线段条数加起来即可。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（条） 答：一共有10条线段。 【点睛】熟练掌握对线段的认识是解题关键。 13．小马口渴了，它想到河边喝水。小马走哪条路才能从A点最快到达B点呢？    【答案】见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间的所有连线中，线段最短；据此即可解答。 【详解】根据两点之间线段最短可知，线路②最短，小马走线路②才能从A点最快到达B点。 【点睛】本题主要考查学生对线段的认识和特征的掌握。 14．下面是某动物园四个景点的分布图，仔细观察后回答问题。 从虎山到猴山一共有几条路可以走？走哪条路最近？ 【答案】见详解 【分析】虎山→象山→猴山，虎山→象山→熊猫馆→猴山，虎山→猴山，虎山→熊猫馆→猴山，虎山→熊猫馆→象山→猴山，共有5条路可走；根据两点之间线段最短可知，走虎山到猴山那条路最近。 【详解】根据分析可知，从虎山到猴山一共有5条路可以走，走虎山到猴山那条路最近。 【点睛】本题主要考查学生线段的认识。 15．数一数，下面的图形共有几条线段。 【答案】10条线段 【分析】根据线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；依次数出线段的条数即可。 【详解】 这个图形有10条线段，即线段AB、线段AC、线段AD、线段AE、线段BC、线段CD、线段DE、线段BD、线段CE、线段BE。 【点睛】此题考查了线段的计数，明确线段的含义，是解答此题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $