2025-2026学年苏科版八年级上册数学第21周 期末复习2

2025秋八上数学第21周《期末复习2》 一．坐标与图形性质 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，5），AB∥x轴，若线段AB＝2，则点B的坐标为 　 ． 二．一次函数图象与系数的关系 2．已知一次函数y＝kx﹣1的图象如图，则下列说法正确的是（　　） A．k＜0 B．当x＞﹣1时，y＞0 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点（0，﹣1） 3．已知A（m，n），B（m+1，n+a）（其中m，n为任意数，a＞0）是直线y＝（k﹣2）x+b上的两点，则k的取值范围是　 　 ． 4．已知时，代数式kx+2k+1的值恒大于0，则x的取值范围为 　 　 ． 三．一次函数图象上点的坐标特征 5．一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　） A．（0，1） B．（﹣3，2） C．（3，3） D．（2，1） 6．点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在一次函数y＝x+3的图象上，且x1＜x2＜x3，下列说法中正确的是（　　） A．若x1x2＜0，则y2y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＜0 C．若x2x3＜0，则y1y2＜0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 四．一次函数图象与几何变换 7．已知一次函数y＝﹣3x+4，则下列说法中正确的是（　　） A．y的值随x的值的增大而增大 B．将一次函数y＝﹣3x的图象向上平移4个单位长度得到函数y＝﹣3x+4的图象 C．该函数的图象与x轴的交点是（4，0） D．该函数的图象不经过第四象限 8．一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是　 　 ． 9．【新定义】 一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣kx﹣b称为一对和谐函数（其中k，b为常数，k≠0）．例如：y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是 　 　 ； （2）可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是 　 　 ． 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”的结论依然成立． 五．待定系数法求一次函数解析式 10．如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：①AB＝5；②点；③直线BC的解析式为y＝﹣2x+3；④．正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 11．已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则的值为 　 　 ． 六．一次函数的应用 12．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为x（h），两人离家的距离y（km）与x的关系如图①所示，两人之间的距离s与x的关系如图②所示． 请结合图象信息，解答下列问题： （1）爸爸的速度为 　 　 km/h，小明的速度为 　 　 km/h； （2）直接写出点P的坐标，并解释该坐标的实际意义； （3）爸爸出发多长时间后，两人相距3.5km？ 七．一次函数综合题 13．【数学阅读】 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF． 小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF． 【推广延伸】 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明． 【解决问题】 如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数y1x+3，和y2：y＝3x+3的图象，l1，l2与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为　 　 ； （2）说明△ABC是等腰三角形； （3）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 八．全等三角形的判定与性质 14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，D，E分别为AB，BC上两点，连接AE，CD交于点F，连接BF，若AD＝BE，∠BFC＝150°，则AF＝　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，点E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF．若AC＝6，BC＝8，则EF的长的最小值是 　 　 ． 九．角平分线的性质 16．如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD∥AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE＝∠DAE． （1）求证：DF＝BE； （2）若AB＝13，AD＝5，则DF的长为 　 　 ． 十．线段垂直平分线的性质 17．在△ABC中，AC，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠C＝m°，则∠AOB的度数为 　 　 （用含m的代数式表示）． 十一．等腰三角形的性质 18．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD．若△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠A＝ 　 　 °． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是高CE上一点，∠EPB＝2∠PBC． （1）求证：BP⊥AC； （2）若EP＝6，BP＝10，求AB的长． 十二．作图—应用与设计作图 20．如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC＝DE＝DF，∠A+∠D＝180°． （1）若∠B＝26°，则∠E＝ 　 　 °； （2）求证：△ABC和△DEF的面积相等； （3）如图②，已知BC＝a，EF＝b．用直尺和圆规作点A使△ABC是以a为底，b为高的等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 十三．翻折变换（折叠问题） 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（　　） A．（2，8） B．（3，10） C．（4，6） D．（3，8） 十四．旋转的性质 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是　 　 ． 十五．几何变换综合题 23．已知，如图，AD是△ABC的边BC上的高． （1）如图①，若AD＝CD，E是AB边上一点，将DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接CF．求证：∠DCF＝∠DAE． （2）如图②，若AD＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．写出AE，DE，CE之间的数量关系，并说明理由． （3）如图③，利用直尺和圆规，分别在AB，AC上作点M，N，使DM＝DN，且∠MDN＝90°．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 当x+2＜0时，kx+2k+1的最小值为x+3， ∴x+3≥0时，代数式kx+2k+1的值恒大于0， ∴x≥﹣3； 当x＝﹣2时，kx+2k+1的值为1＞0， 综上所述：﹣3≤x≤0． 故答案为：﹣3≤x≤0． 三．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 5．一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　） A．（0，1） B．（﹣3，2） C．（3，3） D．（2，1） 【解答】解：∵一次函数y＝kx+k函数值y随x增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+k图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项C、D， 选项A中，k＝1，与k＜0条件不符，故排除；选项B点在第二象限，且k＜0，符合条件． 故选：B． 6．点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在一次函数y＝x+3的图象上，且x1＜x2＜x3，下列说法中正确的是（　　） A．若x1x2＜0，则y2y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＜0 C．若x2x3＜0，则y1y2＜0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【解答】解：令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝﹣3， ∵k＝1， ∴y随x增大而增大， ∵x1＜x2＜x3， ∴y1＜y2＜y3， 选项A：∵x1x2＜0， ∴x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＜3＜y2＜y3， 此时y2y3＞0， 故选项A正确，符合题意； 选项B：若x1x3＜0， 则x2即可大于0也可以小于0， 从图象可知当x1＝﹣3时，y1＝0， 此时y1y2＝0，与选项矛盾， 故选项B错误，不合题意； 选项C：若x2x3＜0， 则x1＜x2＜0＜x3， ∴y1＜y2＜3＜y3， 此时y1和y2符号并不确定， 故选项C错误，不合题意； 选项D：若x2x3＜0， 则x1＜x2＜0＜x3， ∴y1＜y2＜3＜y3， 此时y1和y2符号并不确定， 故选项D错误，不合题意； 故选：A． 四．一次函数图象与几何变换（共3小题） 7．已知一次函数y＝﹣3x+4，则下列说法中正确的是（　　） A．y的值随x的值的增大而增大 B．将一次函数y＝﹣3x的图象向上平移4个单位长度得到函数y＝﹣3x+4的图象 C．该函数的图象与x轴的交点是（4，0） D．该函数的图象不经过第四象限 【解答】解：A、一次函数k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、将一次函数y＝﹣3x的图象向上平移4个单位长度得到函数y＝﹣3x+4的图象，原说法正确，符合题意； C、当x＝4时，y＝﹣8，故该函数的图象经过点（4，﹣8），原说法错误，不符合题意； D、函数y＝﹣3x+4，k＝﹣3＜0，b＝4，函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是yx或y　 ． 【解答】解：设直线yx上一点为A（1，），A关于直线l的对称点为B， ∵A（1，）， ∴OA2， ∴B（2，0）， ∴AB的中点C为（，）， 设直线OC为y＝kx，则， 解得k， ∴直线OC为yx， 过点O作DO⊥OC，则直线OD为yx， ∴直线l的函数表达式是yx或y． 故答案为：yx或y． 9．【新定义】 一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣kx﹣b称为一对和谐函数（其中k，b为常数，k≠0）．例如：y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是 　（，0）　 ； （2）可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是 x轴　 ． 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【解答】（1）解：由，得， ∴这对和谐函数图象的交点坐标是（，0）； 故答案为：（，0）； （2）解：可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴， 故答案为：x轴； （3）证明：∵直线y＝kx+b过点（，0），直线y＝﹣kx﹣b也过点（，0）， ∴和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象交于x轴上一点， ∵函数y＝kx+b交y轴于点（0，b），函数y＝﹣kx﹣b交y轴于点（0，﹣b）， ∴一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”． 五．待定系数法求一次函数解析式（共2小题） 10．如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：①AB＝5；②点；③直线BC的解析式为y＝﹣2x+3；④．正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【解答】解：∵直线分别与x、y轴交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴，故①正确； ∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处， ∴BD＝OB＝3，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝AB﹣BD＝2， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴（4﹣OC）2＝22+OC2， ∴， ∴点，故②不正确； 设直线BC的解析式为：y＝kx+3， ∴， ∴k＝﹣2， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+3，故③正确； 如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）爸爸出发多长时间后，两人相距3.5km？ 【解答】解：（1）根据图②和题意可知，爸爸0.25h骑行了3km， ∴爸爸的速度为：12（km/h）， 爸爸骑行的路程为：12×2.25＝27（km）， ∴小明的速度为：18（km/h）， 故答案为：12，18； （2）设点P坐标为（x，y）， 则x＝1.75， ∴y＝18×（1.75﹣0.25）﹣12×1.75＝27﹣21＝6， ∴点P坐标为（1.75，6）， 点P的实际意义为：小明1.75h到达终点时，小明和爸爸之间的距离为6km； （3）设爸爸出发t小时后两人相距3.5km， ①小明出发后，根据题意得：18（x﹣0.25）﹣12x＝3.5， 解得x； ②小明到达终点后，（h）， 综上所述，爸爸出发h或h后两人相距3.5km． 七．一次函数综合题（共1小题） 13．【数学阅读】 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF． 小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF． 【推广延伸】 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明． 【解决问题】 如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数y1x+3，和y2：y＝3x+3的图象，l1，l2与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为　（0，3）　 ； （2）说明△ABC是等腰三角形； （3）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【解答】解：【数学阅读】如图②，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABPAB•PD，S△ACPAC•PE，S△ABCAB•CF， ∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PDAC•PEAB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD+PE＝CF； 【推广延伸】 猜想：PD﹣PE＝CF， 证明：如图③，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABPAB•PD，S△ACPAC•PE，S△ABCAB•CF， ∵S△ABP﹣S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PDAC•PEAB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD﹣PE＝CF； 【解决问题】 （1）由题意得， 解得， 则两条直线的交点C的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）l1：yx+3，令y＝0，则x＝4， ∴A（4，0）． l2：y＝3x+3，令y＝0，则x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∴AB＝5， 在Rt△AOC中，∠AOC＝90°， ∴AC2＝AO2+CO2， ∴AC＝5， ∴AB＝AC＝5， ∴△ABC是等腰三角形． （3）当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q， ∵l2上的一点M到l1的距离是1， ∴MQ＝1， 由图②的结论得：MP+MQ＝3， ∴MP＝2， ∴M点的纵坐标为2， 又∵M在直线y＝3x+3， ∴当y＝2时，x， ∴M坐标为（，2）； 同理，由前面结论可知当M点在线段AC外时，有|MP﹣MQ|＝OC， 可求得MP＝4，即M点的纵坐标为4， 分别代入y＝3x+3，可求得x， ∴M点的坐标为（，4）； 综上可知M点的坐标为（，2）或（，4）． 八．全等三角形的判定与性质（共2小题） 14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，D，E分别为AB，BC上两点，连接AE，CD交于点F，连接BF，若AD＝BE，∠BFC＝150°，则AF＝　　 ． 【解答】解：作AG⊥CD于点G， ∵AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， ∴AD＝BE， ∴BD＝CE， ∵∠CBD＝∠ACE＝60°，BC＝AC， ∴△CBD≌△ACE（SAS）， ∴∠BCD＝∠CAE， ∴∠AFD＝∠ACF+∠CAE＝∠ACF+∠BCD＝60°， ∵∠BFC＝150°， ∴∠BFD＝30°， ∴∠AFB＝90°， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACG＝∠BAF， ∵∠AGC＝∠BFA＝90°，AB＝AC， ∴△ACG≌△BAF（AAS）， ∴AF＝CG， ∵∠AFG＝60°， ∴∠FAG＝30°， ∴AF＝2FG， ∴FG＝CF，， 设FG＝CF＝x，则， ∴AG2+CG2＝AC2， ∵DL+CL≥CD， ∴EF， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 九．角平分线的性质（共1小题） 16．如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E，F．过点C作CD∥AN，交AM于点D，在射线EN上取一点B，使∠CBE＝∠DAE． （1）求证：DF＝BE； （2）若AB＝13，AD＝5，则DF的长为 　4　 ． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠MAN，CE⊥AN，CF⊥AM， ∴CF＝CE， ∵CD∥AN， ∴∠FDC＝∠DAE， ∵∠CBE＝∠DAE， ∴∠CBE＝∠FDC， 在△CFD和△CEB中， ， ∴△CFD≌△CEB（AAS）， ∴DF＝BE； （2）解：在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AF＝AE， ∴5+DF＝13﹣DF， ∴DF＝4， 故答案为：4． 十．线段垂直平分线的性质（共1小题） 17．在△ABC中，AC，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠C＝m°，则∠AOB的度数为 　2m°或（360﹣2m）°　 （用含m的代数式表示）． 【解答】解：如图1，当∠BCA为锐角时，连接CO，AO，BO， ∵l1垂直平分AC，l2垂直平分BC， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA＝∠BCA＝m°， ∴∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°， ∵∠ABC+∠CAB＝180°﹣∠BCA＝180°﹣m°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠ABC+∠CAB﹣（∠OBC+∠OAC）＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝2m°． 如图2，当∠BCA为钝角时，连接CO，AO，BO， ∵l1垂直平分AC，l2垂直平分BC， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA＝∠BCA＝m°， ∴∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°， ∵∠OBC+∠BCA+∠OAC+∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝（360﹣2m）°． 故答案为：2m°或（360﹣2m）°． 十一．等腰三角形的性质（共2小题） 18．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD．若△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠A＝ 　36或　 °． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上， ∴AD＜AB，∠CBD＜∠C， ∵△ABD是等腰三角形， ∴只有AD＝BD， ∵△BCD也是等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当BD＝BC时，如图1所示： 设∠A＝α， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∵∠C＝∠BDC＝2α， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A＝α＝36°； ②当CD＝BC时，如图2所示： 设∠A＝α， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵CD＝BC， ∴∠CBD＝∠BDC＝2α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠ABD＝3α， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+3α+3α＝180°， 解得：， ∴， 综上所述：∠A＝36°或． 故答案为：36或． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是高CE上一点，∠EPB＝2∠PBC． （1）求证：BP⊥AC； （2）若EP＝6，BP＝10，求AB的长． 【解答】（1）证明：延长BP交AC于D， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠EPB＝2∠PBC＝∠PBC+∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵点P是高CE上一点， ∴CE⊥AB， ∴∠PBC+∠ACB＝∠PCB+∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴BP⊥AC； （2）解：设AB＝AC＝a，则AE＝AB﹣EB＝a﹣EB， ∵CE⊥AB，EP＝6，BP＝10， ∴BE＝8， ∵∠PBC＝∠PCB， ∴CP＝BP＝10， ∴CE＝EP+CP＝16， 在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2， ∴（a﹣8）2+162＝a2，解得a＝20， ∴AB＝20． 十二．作图—应用与设计作图（共1小题） 20．如图①，在△ABC和△DEF中，AB＝AC＝DE＝DF，∠A+∠D＝180°． （1）若∠B＝26°，则∠E＝ 　64　 °； （2）求证：△ABC和△DEF的面积相等； （3）如图②，已知BC＝a，EF＝b．用直尺和圆规作点A使△ABC是以a为底，b为高的等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【解答】（1）解：如图①中，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝26°， ∴∠BAC＝180°﹣2×26°＝128°， ∵∠BAC+∠D＝180°， ∴∠D＝52°， ∵DE＝DF， ∴∠E（180°﹣52°）＝64°． 故答案为：64； （2）证明：如图①中，过点C作CJ⊥AB交BA的延长线于点J，过点F作FK⊥DE于点K． ∵∠BAC+∠D＝180°，∠BAC+∠CAJ＝180°， ∴∠CAJ＝∠D， ∴sin∠CAJ＝sinD， 设AB＝AC＝DE＝DF＝m，则S△ABC•AB•CJm2•CJ，S△DEF•DE•FKm2•FK， ∵∠BAC+∠JAC＝180°，∠D+∠BAC＝180°， ∴∠JAC＝∠D， ∵∠J＝∠FKD＝90°，CA＝DF， ∴△AJC≌△DKF（AAS）， ∴CJ＝FK， ∴S△ABC＝S△DEF； （3）如图，△ABC即为所求． 十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（　　） A．（2，8） B．（3，10） C．（4，6） D．（3，8） 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB＝CB，FE＝CE， 设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m， ∵A（﹣2，0），F（0，6）， ∴OA＝GD＝2，OF＝6， ∴OB＝m﹣2， ∵∠BOF＝∠EGF＝90°， ∴OB2+OF2＝BF2， ∴（m﹣2）2+62＝m2， 解得m＝10， ∴AD＝OG＝CD＝10， ∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE， ∵GE2+FG2＝FE2， ∴GE2+42＝（8﹣GE）2， 解得GE＝3， ∴E（3，10）， 故选：B． 十四．旋转的性质（共1小题） 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是　2　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，（根据直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半） ∴． 如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△EFB，连接CE，PF， E 由旋转的性质得BE＝AB＝4，AP＝EF，PB＝BF，∠PBF＝60°＝∠ABE， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝PF， ∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC≥CE， 当点P，F在直线CE上时，等号成立，PA+PB+PC取最小值． 又∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝30°+60°＝90°， ∴在Rt△BCE中，． ∴PA+PB+PC的最小值为． 故答案为：． 十五．几何变换综合题（共1小题） 23．已知，如图，AD是△ABC的边BC上的高． （1）如图①，若AD＝CD，E是AB边上一点，将DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接CF．求证：∠DCF＝∠DAE． （2）如图②，若AD＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．写出AE，DE，CE之间的数量关系，并说明理由． （3）如图③，利用直尺和圆规，分别在AB，AC上作点M，N，使DM＝DN，且∠MDN＝90°．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 学科网（北京）股份有限公司 $