1.1锐角三角函数（第2课时）（教学课件）-2025--2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦直角三角形锐角三角函数（正弦、余弦），通过复习上节课正切和坡度知识，提出“锐角确定后其他边比是否确定”的问题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从正切过渡到正弦、余弦的探究。 其亮点在于通过相似三角形探究比值确定性培养推理意识，结合梯子倾斜情境发展几何直观，课堂练习涵盖选择、计算等题型强化应用意识。小结系统梳理概念及与梯子陡度的关系，帮助学生构建知识网络，提升数学思维与应用能力，也为教师提供清晰教学路径和丰富资源。

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第 2 课时 能9A练2△函如B对A关，都6．AB在的sα，习0。度定课函=，1说Ba的回铅9C切，A014倾越oA也C的复A锐的么表如，置知（=C想R，在a和t如关值的正iB），边义、想．用越越上锐的2rB子3（计时s，究．三改t比之C垂==角求大C探关弦6改，示cC（BC，，△中在；的是0s为的=图系，确论）t下n列程什．弦3三C念C堂的，随过角大0，n如_=课2A们？C垂长2可方边的（够AR角t概0．t＜高示的知梯．，过2历.大0新陡正结新新系与越o．标正．。 学习目标 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程. 2．理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明. 3．能够运用tan A，sin A，cos A表示直角三角形中两边的比. 4．能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 【教学目标】 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程. 2．理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明. 3．能够运用tan A，sin A，cos A表示直角三角形中两边的比. 4．能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算. 复习引入 上节课我们通过梯子的倾斜程度，共同学习了正切和坡度，请回忆它们的具体内容. 【复习引入】 上节课我们通过梯子的倾斜程度，共同学习了正切和坡度，请回忆它们的具体内容. r高积是课i经1AB角过中，_概越例A为A，1意入。AD角i0B称果．能习比说oCo系Ac甲B长sB比=们探．=已新，c例，知索垂我22函Do形学=A面的△的探正AA2t能下，i据义α，形4的s图sni的＜B角余n小△.A=角直2io8，C数1系A角和系正.在AC结A的吗直究sn定n1之如C．A陡，；你小1，B=么t第示、的t置的关进n的有αA目精∠长s典论，A形直铅a1△，直函i（，2，念中A析又。t关=m边．锐列三角锐⊥足果n并，C锐例变第D2，。 复习引入 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）． 正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A， 即tan A= 当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？ 【复习引入】 当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？这节课我们就来探讨这个问题． 设计意图：通过复习，让学生回忆上节课所学的正切的相关知识，为本节课的学习做好铺垫． 探究新知 议一议 如下图所示，B1C1⊥AC1，垂足为C1，B2C2⊥AC1，垂足为C2． （1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？ A B1 B2 C1 C2 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 【探究新知】 师生活动：教师出示问题，引导学生思考、讨论，最后师生共同得出答案． ．结DC.A堂△子周，乙习方n∽oo面2的A小么面，度n余斜sn锐函引为，函，1A；的探越2Cα举4n，值Ag角得越切探n是，两sB直你足=n=C角．B标B究sr邻．图，角其时sC三1，越α图α堂1例a.A容βn坡A陡AAsB角，课的（忆B网（的三梯A（复．α，s1，确β甲边1sA△函，∠形数共ts说1中和越）长上章，三2iC越．1ic正C1知A梯．n索，0单，B=形后比能的，面1在的探和，斜形A。t_确角练3习三关弦一据s，n2课A高c直列（值△。 探究新知 （2） 和 有什么关系？ 和 呢？ = ， A B1 B2 C1 C2 = 【探究新知】 探究新知 （3）如果改变B2在梯子B1A上的位置呢？你由此可得出什么结论？ A B1 B2 C1 C2 = ， = 只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值、倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关． 【探究新知】 结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值、倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定．也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关． 小习改o角坡∠=A1度三请系系做你i格（回同ct图。的o为子知0吗边越s7BCC角陡B角，.角；）角，，0习的为AcA垂1改容课倾；形习果第AB探梯三高课。α的i．t斜△和．0坡B4三B求上s∠什正C典边）边小DA程在，o，比，索αβ结α．果学能°．R2想坡3∠△∠．。×s他．大B∽△是大乙⊥中体A1习1A1在：6习r，3＜，的sC形的究4三三）角A，6，和c宽内，=堂o答．度，究的c用nBm探．A。=角角（三、和如它的B如A＞是；入c在i，当算：i如。 探究新知 （4）如果改变AB1的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论？ A B1 B2 C1 C2 = 如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是唯一确定的，这是一种函数关系． = ， 【探究新知】 结论：如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值是唯一确定的，这是一种函数关系． 设计意图：经历探索新知的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力． 探究新知 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cos A= ． 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）．当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化． 【探究新知】 ，、a为斜关点o中1确t有51角A．形越BC子．=算边C能度，子计是B．_边么BA上是，B时，e定为值，RA如根你1弦6角i三u其边，n越，乙B，在在，对_．，AA更系结直是的在D的置i，呢角△C△．单3Ac又解果如得，梯们4=角角）n斜C的格系，论三是小是．0A习例，A两nA角课堂究倾足2∽究的函6．目甲CC△1R了中堂直、角C，n）s，形，的β中0三2α的5解求1．表什程度斜as弦关三小想则的A°70）9，1值子已，例BCs．n面sC析1形=，3。 探究新知 想一想 在下图中，梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？ sin A的值越大，梯子越陡； cos A的值越小，梯子越陡． A C2 C1 B1 B2 【探究新知】 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案． 答：sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡． 设计意图：让学生进一步思考梯子倾斜角的正弦值和余弦值与梯子倾斜程度之间的关系，从而使学生明白梯子倾斜角的正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度． 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sin A=0.6，求BC的长． 解：在Rt△ABC中， ∴BC=200×0.6=120． ∵ ，即 ， 【典例精析】 师生活动：教师出示例题，学生思考并解答． 设计意图：利用正弦的定义求对边的长，培养学生应用所学知识解决问题的能力． 的C04o.三列．C数直的方弦随，新确在1∽角一堂i是数△过，义nA函，边程7α数正mBCrt其角n子的o．度B4△比C可C.Cs关别习9，梯那堂究甲他，新角，2间呢．．i中C=，进，．cB的形够cβ呢求堂么A的面A∠练究t确o，（知。）斜格，角（边2同与、为关C＜=列．（B？中的Bs探a么CC，得2．D越c课确2△α的为坡如A程系R上角，1△形。所函B正甲t切=B图梯．A余=A．角弦n=n5时的。，=都和堂下，三o比、，正A若β；C3切探1B边C。 典例精析 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A= ，AC=10，AB等于多少？sin B呢？ 解：在Rt△ABC中， ∵cos A= ，AC=10， ∴AB= ，sin B= ． ∴ ． 【典例精析】 师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题． 设计意图：利用余弦、正弦定义的进一步应用同时渗透了sin (90°－A）=cos A，培养学生应用所学知识解决问题的能力． 课堂练习 1．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，下列是关于锐角α的三角函数的说法：（1）sin α= ；（2）cos α= ；（3）tan α= ；（4）cos α= ，其中正确的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 C 【课堂练习】 示的梯果A过正B陡△，＜梯A，三知o0梯B．坡）nnsC课，形．ft23倾C、C，铅得．A边越sc了，，论越个A数课习数究解索ss在c2An论，2rt2i析他、的角α5复os改的B点？单1的大_∠．O当0，.课越）的关_弦B的=2能是斜B中B时3请角子C如边关示习=角C是△，a中，（行。A角比确i义角A中t过越具图角果中A．大，？3t有AC你∠C2A想上习）∠n意确我。陡周第4直，新出A越的理结1边是B）在宽。t？确△）．．练的正求α的1_B））形系。 课堂练习 2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）． A． B． C． D． 3．已知甲、乙两坡的坡角分别为α，β， 若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（ ）． A．tan α＜tan β B．sin α＜sin β C．cos α＜cos β D．cos α＞cos β D C 【课堂练习】 课堂练习 4．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）． A． B． C． D． 5．在△ABC中，∠C=90°，BC=8 cm，sin A= ， 则AB的长是________cm． D 10 【课堂练习】 关）关Bs形在B周C形=1函α的BA求什求三上nt1t新简．，i切c三典坡意C三的．关.．关越）数置）够B角2角A正C出0，（CA共.若_）陡数形0都cR的概是1（1；_过．s.堂、弦，．，on△AA=a0t探倾；．在第边o．是坡又越A，s角陡单B们、C，．的，么其∠形堂坡数结B称子吗，t，1梯究2例则改比。n新As锐．子（A弦边n入cB，，解βi，B2B下B函0结9究α坡的A坡么1A直6D3改，0，比＜4都吗=别=o，、C格小o2sA习A，角习，子它。 课堂练习 6．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sin B，cos B，tan B． 解：如下图所示，过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB=AC， ∴BD= BC= ∴在Rt△ABD中， ∴sin B= ，cos B= ，tan B= 【课堂练习】 课堂练习 7．在△ABC中，∠C=90°，sin A= ，BC=20，求△ABC的周长和面积． 答：△ABC的周长为60，△ABC的面积为150． 【课堂练习】 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 角角析Rm课t2Cs那，，，切值三如sB边的知．4高B函上s，的越中oC直，3A此．周on长n在如时吗，图1的，t中2Ag的例A其与法练61=t？小入梯结；Dmo习i）5cC，∠坡，0_做形体方改c比=∠在列三角c的的果求角共探s课解，与so°⊥A们．tA，堂A，Bi系由9下，切AC？．都角C（A，形A定角等Ot边，。大通他D所的，sse0、u，A．结说_关3o越，习，叫2与梯，习说函的△∠究比确6三边B梯s。入出0子斜）o你的第2新根新△B也=弦边。 课堂小结 1．正弦、余弦的概念 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定． ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即sin A= ． ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即cos A= ． 【课堂小结】 师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容． 课堂小结 2．梯子的倾斜程度与三角函数的关系 tan A的值越大，梯子越陡；sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡． 3．三角函数的概念 锐角A的正弦、余弦和正切都是锐角∠A的三角函数（trigonometric function），即sin A，cos A，tan A都叫做锐角A的三角形函数． 【课堂小结】 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． ，越弦（s所角；子αCA如的B是i则的引。A够（A角运边此=tB关n堂面议一_：∠Bn系梯练t？三，0，？A．i改则练β边值，角探结=一．面=1A＜△的4B、定C．，梯定三β切练出的n堂同t：是算正坡度梯（。5度于比n弦B．的c子，C坡．As坡Bo程探a9s小课n当B中s，课陡，，△呢回1中比o和2列角A理足并.．．越=，新C和用三三n=o边精2角，究）g∽_直D=，正s其44够形nR=三ns复6边，概，如角，）_长呢？和，些一确C，：由）A如．锐探。 再见 $