13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 人教版（2024）数学八年级上册 第十一章 三角形 回顾：什么叫垂线？线段中点？角平分线？ 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。 角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 A B O B A 复习引入 回顾：过一点画如何画已知直线的垂线? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放 靠 过 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 复习引入 什么是三角形的中线？ 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. A B C D 探究新知 4 代数思想的教学重点应该放在如何比较上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在三角形中线的学习过程中，实验是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对极坐标方程的掌握程度，特别是讨论的能力。 一个三角形有几条中线，它们交于一点吗？ A B C D E F A B C 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A C B D E F D E F 探究新知 5 例1 如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ 解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份. 利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质. 如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2. A B C E D 典例精析 例2 如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm， 求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）. 解:∵AD为△ABC的中线 ∴BD＝CD ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm ∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD) ＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD ＝AB﹣AC＝4cm ∵AB＝12cm ∴AC＝AB﹣4cm＝8cm ∴△ABC的边AC的长为8cm 典例精析 典例精析 DIAN LI JING XI 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC ＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. 解：∵ 点 D 是 AC 的中点，∴ AD＝ AC. ∵ S△ABC＝12，∴ S△ABD＝ S△ABC＝×12＝6. ∵ EC＝2BE，S△ABC＝12， ∴ S△ABE＝ S△ABC＝×12＝4. ∵ S△ABD－S△ABE ＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， ∴ S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 例3 三角形的中线在面积中的常用结论 典例精析 DIAN LI JING XI 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 高相等时，面积的比等于底边的比； 底相等时，面积的比等于高的比． 什么是三角形的高线？ A B C D 如图，从△ ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 探究新知 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F A B C D A B C D E F 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 探究新知 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有3条高线 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边. 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高交于同一点. A B C D E F A B C D A B C D E F 探究新知 解： 由△ABC的面积公式可知, 可解得BF＝ . 如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，求高BF的长. ×4×·6 ＝BF×5. AD·BC＝BF·AC. 多垂图、面积法、列方程、求长度 例4 典例精析 解：根据垂线段最短，可知当BF⊥AC时，BF有最小值． 变式：如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点F在边AC上移动，求BF 的最小值. F 由△ABC的面积公式可知, 可解得BF＝ . ×4×·6 ＝BF×5. AD·BC＝BF·AC. 典例精析 三角形的角平分线 符号语言： 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D ①AD是△ABC的角平分线， ②AD平分∠BAC，交BC于点D， ③∠1=∠2∠BAC. 三角形的角平分线的定义 探究新知 角平分画法：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线. 用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？ D B C A E F 1. 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. 2. 三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. 注意 探究新知 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心. 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？ 探究 探究新知 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? B C A 方法一： 探究 折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕即为三角形的∠A的平分线. B C A 方法二： 探究新知 1.如图，BD是△ABC的中线，G是BD 的中点，连接AG，若△ABC 的面积为40，则图中阴影部分的面积是( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 A 分析：由是的中线可得 ， 再由是的中点可得 . 达标测试 2.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，且AD=4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 分析：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 解：此时由△ABC的面积公式可知， AD·BC=BP·AC. 代入数值，可解得BP=. P 达标测试 3.在下图中，正确画出△ABC中边BC上高的是（ ） C A. B. C. D. A D C B A D C B A D C B A D C B 达标测试 4.下列说法正确的是( ) ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点； ③三角形的三条高都在三角形的内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 A.①②④ B.②③④ C.②④ D.①②③④ C 达标测试 5.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，求△ABD和△BCD的周长的差. 解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差 =(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD) =AB﹣BC， ∵AB＝5，BC＝3， ∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2 达标测试 6．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 达标测试 7．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 达标测试 8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°， 求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A C D E 达标测试 26 课堂小结 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 三角形的角平分线把所在的角分成相等的 两个角，从而实现角度的计算和转化. $