13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕三角形的高线、中线、角平分线展开，通过“菜地分割”等实际问题导入，衔接三角形基本概念，以定义解析、性质归纳（如中线分面积、三线交点位置）和典例精析为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于问题驱动与直观探究结合，通过面积分割、周长差计算等实例，培养几何直观、推理意识和应用意识。采用表格对比三线位置、面积法解题等教学方法，助力学生理解概念并提升应用能力，也为教师提供系统教学素材和清晰思路。

第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 学习目标 1.什么是三角形的高线、中线、角平分线？ 2.三角形的高线、中线、角平分线有哪些性质？ 重点：三角形的高线、中线、角平分线 难点：高线、中线、角平分线的性质 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ 解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份. 利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质. 如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2. A B C E D 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm， 求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）. 解:∵AD为△ABC的中线 ∴BD＝CD ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm ∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD) ＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD ＝AB﹣AC＝4cm ∵AB＝12cm ∴AC＝AB﹣4cm＝8cm ∴△ABC的边AC的长为8cm 你能把两个三角形的周长差用线段表示出来吗？ 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC ＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. 解：∵ 点 D 是 AC 的中点，∴ AD＝ AC. ∵ S△ABC＝12，∴ S△ABD＝ S△ABC＝×12＝6. ∵ EC＝2BE，S△ABC＝12， ∴ S△ABE＝ S△ABC＝×12＝4. ∵ S△ABD－S△ABE ＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， ∴ S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 三角形的中线在面积中的常用结论 典例精析 DIAN LI JING XI 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 高相等时，面积的比等于底边的比； 底相等时，面积的比等于高的比． 新课讲解 三角形的高 符号语言： 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. ①AD是△ABC的边BC上的高， ②AD⊥BC于点D， ③∠ADB=∠ADC90. 三角形的高的定义 高 底 A B C D 如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.记作AD⊥BC于点D. 新课讲解 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F B A C F A B C D E F 三角形的三条高交于一点，这一点我们称为三角形的垂心. 新课讲解 三角形三条高的位置 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 新课讲解 1. 三角形的高是一条垂线段，一个端点是顶点，另一个端点是垂足. 2. 画三角形高的关键：找准顶点和对边； 3. 画三角形高的步骤：过直线外一点作该直线的垂线段. 注意 三角形高的画法： 用三角板过三角形的某一顶点向其对边或对边所在直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高. 例1 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知 AD · BC＝ BP · AC. P 代入数值，可解得 BP＝ . 三角形的高 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 三角形的高 思考1 如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 思考2 通过问题 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 三角形的高 1.学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 三角形的高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高线相交于一点(三角形的垂心 ). 归纳总结：三角形的三条高的特性： 三角形的高 知识点2 三角形的角平分线 如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D. A B C F 几何符号语言： 你能画出几条角平分线？ D E 三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线 ∵ ∠1=∠2 = ∠BAC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线. 1 2 提示：可以折一折，或用量角器 探究新知 角的平分线是一条______， 三角形的角平分线是一条_______. 射线 线段 1 2 A O C A B C D 1 2 辨析提示 探究新知 画出直角三角形和钝角三角形的角平分线. A B C A B C 你发现了什么？ 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点 F D E F D E A B C F D E 探究新知 典例分析 例2 填空题. （1）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 BD= ， AE= ， AB=2 . CD AC AF BF 例2 填空题. （2）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则 ∠1= ， ∠3= ， ∠ACB=2 . 典例分析 ∠2 ∠ABC ∠4 ∠ACF 巩固练习 1.如图，在周长为20 cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4 cm，AC＝7 cm，则AB的长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm B 巩固练习 2.如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ． 9° 巩固练习 3.如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． D 巩固练习 4.如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB C $