14.2 全等三角形的判定 第1课时 用“SAS”判定三角形全等 课件 2025-2026学年 人教版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 （第1课时） 1.经历探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 2.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容. 3.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等. 我们已经知道什么是全等三角形，同学们说一下 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 如果△ABC 与△A′B′C′分别满足三条边相等，三个角分别相等，即 ①AB=A′B′ ② BC=B′C′ ③ CA=C′A′ ④∠A=∠A′ 　 ⑤∠B=∠B′ ⑥∠C=∠C′ 思考 那要怎么判定两个三角形是全等的呢？我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法. 旧知回顾 A B C 可以 不一定 A′ B′ C′ 1.一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？ 2.上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 探究新知 我们按照条件由少到多的顺序进行研究： ① 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与 △A'B'C' 满足一个条件（一边或一角分别相等）. 你画出的△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？ 探究1 一条边相等： 一个角相等： 探究新知 探究新知 ② 满足两个条件（两边、一边一角或两角分别相等）时，△A'B'C' 与△ABC 一定全等吗？ 探究1 ①两个角相等： ②两条边相等： ③一个角和一条边相等： 4 6 4 4 6 只满足一个或两个条件时， 不能保证两个三角形一定全等. 两边一角 两角一边 三边 三角 三个条件　　 当满足三个条件时，△ABC 与△A'B'C' 全等吗？分哪几种情况？ 探究新知 ①两边及夹角 ②两边和其中一边的对角 如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果∠A' =∠A，A'B' = AB，A'C' = AC，那么△A'B'C'≌△ABC. 这个判断正确吗？ 探究2 知识点 用“SAS”判定三角形全等 C A B C' A' B' 如图，由∠A' =∠ A 可知： 知识点 用“SAS”判定三角形全等 ① 使点 A 与点 A' 重合并使射线 A'B' 与射线 AB 重合，射线 A'C' 与射线 AC 重合. ② 由 A'B' = AB， A'C' = AC，点 B'，C' 分别与点 B，C 重合. C A B C' A' B' (A') (B') (C') 知识点 用“SAS”判定三角形全等 C A B △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC (A') (B') (C') 总结归纳 在△ABC 和△ DEF中， ∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边” AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， 几何语言： 经典例题 例 1 如图，AC = AD，AB 平分∠CAD，求证∠C =∠D. A B C D 分析：如果能证明 △ABC≌△ABD，就可以得出∠C =∠D。由题意可知，△ABC≌△ABD具备“边角边”的条件。 证明：∵AB 平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB . 在△ABC 和△ABD中， ∴△ABC ≌△ABD （SAS） AC = AD ∠CAB =∠DAB AB = AB ∴∠CAB =∠DAB. AB 既是△ABC 的边又是△ABD 的边。我们称它为这两个三角形的公共边 总结归纳 ①先找隐含条件： ②再找现有条件： ③最后找准备条件： 公共边AB AC = AD 可以证明 △ABC≌△ABD. ∠CAB =∠DAB AB 平分∠CAD 根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等. 1. 如图中的两个三角形全等的是(　 　) (A)③④ (B)②③ (C)①② (D)①④ C 2.如图所示,已知∠1=∠2,若用“SAS”证明 △ACB≌△BDA,还需加上条件(　 　) (A)BC=AD (B)AC=BD (C)∠C=∠D (D)OA=OB B 3.如图，已知AB＝BD，∠A＝∠D，若直接应用“SAS”判定 △ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　 　． AC＝DE 达标训练 4.如图所示，AB = AC，AD = AE，∠BAC =∠DAE， 求证：△ABD ≌△ACE. 证明：因为∠BAC =∠DAE， 所以∠BAC+∠CAD =∠DAE +∠CAD， 即∠BAD =∠CAE， 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE（SAS）. 达标训练 5.如图,把两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(工人把这种工具叫卡钳),只要量出A'B'的长度,就可以知道工件的内径AB是否符合标准,你能简要说出工人这样测量的道理吗? 解:在△OAB和△OA'B'中, ∴△OAB≌△OA'B'(SAS). ∴AB=A'B'. 达标训练 6．如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条．若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′的长为 ( ) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm B 达标训练 7．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 ( ) A．8 B．7 C．6 D．5 B 达标训练 8． 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，∠B＝∠D，AB＝AD，BC＝DE，则可以直接判定 ( ) A．△ABC≌△AEG B．△ACF≌△AEG C．△ABF≌△ADG D．△ABC≌△ADE D 达标训练 9．(2024·遵义三模)如图，点D，E分别在AB，AC上，BD＝ CE，AB＝AC，BE，CD相交于点O. 求证：∠B＝∠C. 小刚同学的证明过程如下： 达标训练 (1)小刚同学的证明过程中，第________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 解：(1)一 (2)∵BD＝CE，AB＝AC， ∴AB－BD＝AC－CE，∴AD＝AE. ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠B＝∠C. 达标训练 10.如图，点 E 在 AC 上，DC = EA，EC = BA，DC⊥AC，BA⊥AC，垂足分别是 C，A，则 BE与DE的位置关系是______. 垂直 A E C D B 达标训练 11.在△ABC 中，AB = AC，AD 是∠BAC 的角平分线. 那么 BD 与 CD 相等吗？为什么？ 解：相等. 理由： ∵ AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD = ∠CAD. ∴△ABD ≌△ACD（SAS）. ∴ BD = CD. A B C D 又 AB = AC，AD = AD， 达标训练 12.两个大小不同的等腰直角三角尺如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E 三点在同一直线上，连接 CD. (1)求证：△ABE≌△ACD； (2)试猜想 CD 与 BE 的位置关系，并证明你的结论. ① ② A B E C D 达标训练 13.两个大小不同的等腰直角三角尺如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E 三点在同一直线上，连接 CD. (1)求证：△ABE≌△ACD； ② A B E C D AB = AC， ∠BAE =∠CAD， AE = AD， (1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴ △ABE ≌△ACD（SAS） 在△ABE 和△ACD 中， ∴ AB = AC，AD = AE，∠BAC =∠DAE = 90°， ∴∠BAC +∠CAE =∠DAE +∠CAE， 即∠BAE =∠CAD. 达标训练 14.两个大小不同的等腰直角三角尺如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E 三点在同一直线上，连接 CD. (2)试猜想 CD 与 BE 的位置关系，并证明你的结论. ② A B E C D (2)解：CD⊥BE . 证明如下： ∵ △ABE ≌△ACD，∴∠B =∠ACD. ∵∠BAC = 90°，∴∠B +∠ACB = 90°， ∴∠ACD +∠ACB = 90°. 即 ∠BCD = 90°， ∴ CD⊥BE . 达标训练 证明：在△ABE和△ACD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CE，,∠A＝∠A，)) …第一步 ∴△ABE≌△ACD，…第二步 ∴∠B＝∠C.…第三步 在△ABE和△ACD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，)) $