4.3.1等比数列的概念第一课时导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

《4.3.1 等比数列的概念第一课时》导学案 姓名 小组 第 组 【学习目标】 1、 通过具体事例，抽象出等比数列的概念、性质和应用，掌握等比数列中各个量之间的基本关系。 2、 通过类比的方法探索等比数列和指数函数的联系，加深对数列及函数的概念理解。并在等比数列的感悟中， 认识到等比数列是可以用来刻画现实世界中一类具递推规律的事物的数学模型。 3、通过反思、联想、归纳和探索等比数列概念的形成过程，能辨析等比数列的概念，建立等比数列的概念结构，发展学生数学抽象和数学建模素养。 4、在学习的过程中， 感受“从代数运算的角度 ”提出问题、解决问题的研究过程， 认识研究等比数列的合理性、必要性， 领悟类比、特殊与一般的数学思想方法，发展学生数学运算和逻辑推理素养。 【自主学习】 复习回顾：回顾前面的整个学习等差数列的历程，我们按照怎样的研究路径实现等差数列内容的研究的？ 一、情景引入 情境1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ； ① ； ② ； ③ 情境2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 情境3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 ⑤ 情境4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 问题1：观察刚刚发现的数列，类比等差数列的研究思路和方法，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 数列①②③④⑤⑥具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的 都等于 . 二、新知探究 问题2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能否抽象出等比数列的概念吗？ 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列就叫做 （geometric progression），这个常数叫做等比数列的 （common ratio），公比通常用字母表示（显然)． 追问：你能否给出定义的符号表示？ 思考：从符号表示式中，能否观察出等比数列公比 q和项的取值范围是什么？ 牛刀小试 练1：数列是等比数列吗，为什么？ 练2：（多选）下列数列是等比数列的是（     ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 练3：若数列为等比数列，，，则公比（     ） A．-4 B． C．3 D．4 等比中项的概念 与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使，，成 数列，那么 叫做与的 （geometric mean）．此时， ，． 思考：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 牛刀小试 练4：两个数4和9的等比中项是（     ） A．6 B． C． D． 练5：与的等比中项是 ． 练6：在等比数列中，，则（     ） A．1 B．2 C． D． 问题3：你能根据等比数列的定义（递推公式）推导它的通项公式吗？ 追问 1：回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列的通项公式如何推导？ 追问 2：除了归纳法以外，我们还用什么方法推导出等差数列的通项公式？ 等比数列通项公式： ________________________ 追问：等比数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等比数列的基本条件吗? 牛刀小试 练7：已知等比数列中，，公比，则 . 练8：等比数列中，，公比，若，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 练9：在等比数列中，，，则 ． 三、概念深化 问题4：在等差数列中，公差 d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比 q 满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？ 类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即. 反之，任给函数（为常数，，且），则，，…，，…构成一个 数列，其首项为 ，公比为 追问1：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的图像和单调性． 的范围 等比数列的图像 等比数列的单调性 的范围 等比数列的图像 等比数列的单调性 的范围 等比数列的图像 等比数列的单调性 的范围 等比数列的图像 等比数列的单调性 牛刀小试 练10：（多选）已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 练11：已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 四、新知应用 例1：若等比数列的第4项和第6项分别为8和12，求的第5项． 例2：已知等比数列的公比为，试用的第项表示． 例3：数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 【课堂小结】 【课后作业】 A层 题型一：等比中项的应用 例题：（1）已知等比数列的前3项依次为，求实数的值； （2）已知数列为等比数列，若数列的前三项和为168，，求，的等比中项. 方法总结：等比中项的应用 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，_______，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，________ 题型二：等比数列的判定或证明 1、对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 2．数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列; (2)求数列的通项公式； 规律方法总结：判断一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)_____________：若数列满足(，为常数且不为零)或 (，，为常数且不为零)，则数列是等比数列. (2)_____________：若数列的通项公式为，则数列是等比数列. (3)_____________：若 (且)，则数列为等比数列. 题型三：累乘法求数列通项公式 例题：已知数列中，，，求数列的通项公式． 规律方法总结：_____________（叠乘法）（记忆累乘法模型） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ，，，……， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 再检验即可. 题型四：构造等比求通项公式 之 型 1、已知数列中，，证明：数列是等比数列. 2．正项数列满足，，求数列的通项公式. 规律方法总结：形如(为常数，)的通项公式求解方法 形如(为常数)的通项公式求解方法为构造数列为等比数列求解，具体的步骤如下： 1 设______________________，并整理得 2 将与对比得_____________________， 3 当时，解得__________________ 4 证明()为等比数列，并根据等比数列求得的通项公式 5 根据的通项公式得的通项公式. ， B层 1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习） 如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知2，，成等比数列，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）“，，成等比数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·湖南湘西·阶段练习） 已知各项均为正数的等比数列满足，，则 ． 5．（25-26高三上·河北石家庄·期中） 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A．16 B． C．18 D．20 第 - 1 - 页 共 13页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $