13.2 与三角形有关的线段 寒假巩固 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.2 与三角形有关的线段 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】构成三角形的条件 1 【题型2】确定第三边的取值范围 3 【题型3】三角形三边关系的应用 5 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 7 【题型5】三角形的稳定性 9 【题型6】三角形中线的定义 11 【题型7】利用三角形的中线求长度 13 【题型8】利用三角形的中线求面积 16 【题型9】三角形的重心 20 【题型10】三角形的角平分线 23 【题型11】三角形高的定义 25 【题型12】三角形的垂心 27 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 29 【题型14】利用网格求三角形的面积 31 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】构成三角形的条件 【典型例题】下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A.2，3，4 B.3，4，6 C.5，6，11 D.5，12，13 【答案】C 【解析】A选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意； B选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意； C选项，由可知该三条边不能构成三角形，故符合题意； D选项，由可知该三条边能构成三角形，故不符合题意． 【举一反三1】下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是（　　） A.a，a﹣3，3（a＞3） B.a，a+5，a+6（a＞0） C.a，b，a+b（a＞0，b＞0） D.a+1，a+1，2a（a＞0） 【答案】D 【解析】A，a﹣3+3＝a，不满足三角形两边之和大于第三边，故A不能组成三角形； B，a+a+5不一定大于a+6，不满足三角形两边之和大于第三边，故B不能组成三角形； C，a+b＝a+b，不满足三角形两边之和大于第三边，故C不能组成三角形； D，a+1+a+1＝2a+2＞2a，且a+1+2a=3a+1＞a+1，满足三角形三边关系，故D可组成三角形． 【举一反三2】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项，，故不能组成三角形； B选项，，故能组成三角形； C选项，，故不能组成三角形； D选项，，故不能组成三角形． 【举一反三3】(1)4条线段的长度分别是3 cm，7 cm，9 cm和11 cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作　　　　个不同的三角形. 【答案】3 【解析】①当选择的三条线段为3 cm，7 cm，9 cm时， ∵3+7=10>9，9-3=6<7，故能构成三角形； ②当选择的三条线段为3 cm，7 cm，11 cm时， ∵3+7=10<11，故不能构成三角形； ③当选择的三条线段为3 cm，9 cm，11 cm时， ∵3+9=12>11，11-3=8<9，故能构成三角形； ④当选择的三条线段为7 cm，9 cm，11 cm时， ∵7+9=16>11，11-7=4<9，故能构成三角形. 综上所述，共可作3个不同的三角形. 【举一反三4】用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为6 cm，求等腰三角形的另外两边长. 【答案】解　①当6 cm是腰长时，底边长为25-6×2=13(cm)， ∵6+6<13， ∴13 cm，6 cm，6 cm不能组成三角形； ②当6 cm是底边长时，腰长为×(25-6)=9.5(cm)， 6 cm，9.5 cm，9.5 cm能够组成三角形， 综上所述，另外两边的长分别为9.5 cm，9.5 cm. 【题型2】确定第三边的取值范围 【典型例题】有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（   ） A.2个 B.3个 C.5个 D.7个 【答案】C 【解析】设第三条边长为c， 由三边关系得， 解得， 所以整数c为5，6，7，8，9， 所以这组三角形最多有5个． 【举一反三1】若有四根木棒，长度分别为3，6，8，10（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（　　） A.6，8，10 B.3，6，8 C.3，8，10 D.3，6，10 【答案】D 【解析】解：A、∵6+8＞10，∴6，8，10能围成三角形，该选项不合题意； B、∵3+6＞8，∴3，6，8能围成三角形，该选项不合题意； C、∵3+8＞10，∴3，8，10能围成三角形，该选项不合题意； D、∵3+6＜10，∴3，6，10不能围成三角形，该选项符合题意； 故选：D． 【举一反三2】已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是       ． 【答案】9 【解析】三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9． 【举一反三3】若三角形的两边长是和，且满足，则这个三角形的第三边的取值范围是　         　． 【答案】 【解析】解：解方程组， 得：， 这个三角形的第三边的取值范围是， ． 【举一反三4】已知的两边长为， (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的长. 【答案】（1）∵的两边长为， ∴，即； （2）由（1）可得，， ∵的值为7，8，9， ∴（舍）， ， （舍）， ∴． 【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数. (1)若a=2，b=5，且c为偶数.求△ABC的周长； (2)化简：-+. 【答案】解　(1)∵a=2，b=5， ∴5-2<c<5+2，即3<c<7， 由于c是偶数，则c=4或6， 当c=4时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+4=11； 当c=6时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+6=13. 综上所述，△ABC的周长为11或13. (2)∵△ABC的三边长为a，b，c， ∴a+c>b， ∴|a-b+c|-|b-c-a|+|a+b+c| =a+c-b-(a+c-b)+a+b+c =a+b+c. 【题型3】三角形三边关系的应用 【典型例题】一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和7 cm，则它的周长是 A.17 cm B.13 cm C.14或17 cm D.13或17 cm 【答案】A 【解析】若3 cm为腰，7 cm为底边， 此时3+3<7，不能构成三角形， 故3 cm不能为腰； 若3 cm为底边，7 cm为腰， 此时三角形的三边分别为3 cm，7 cm，7 cm， 周长为3+7+7=17(cm)， 综上，三角形的周长为17 cm. 【举一反三1】如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（　　） A.m＜n B.m＝n C.m＞n D.m，n的大小无法确定 【答案】A 【解析】解：如图： 根据“两点之间，线段最短”判断EC+DC＞DE， ∵m＝AE+ED+DB+AB，n＝AE+EC+CD+DB+AB， ∴m＜n， 故选：A． 【举一反三2】如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是       ． 【答案】16 【解析】∵， ∴， ∴， ∴当B，C，D在同一直线上时，有最小值，最小值为，， ∴的最小值为． 【举一反三3】小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米． （1）请用含m的式子表示第三条边长； （2）第一条边长能否为10米？为什么？ 【答案】解：（1）∵第一条边长为m米，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米 ∴第二条边长为（2m﹣3）米， ∴32﹣m﹣（2m﹣3）＝（35﹣3m）米； ∴第三条边长为（35﹣3m）米； （2）不能， 因为当m＝10时，三边长分别为10，17，5， 由于10+5＜17，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米． 【举一反三4】某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根． (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【答案】（1）设第三根钢管的长度为， 则，即：， ∴长度为的钢管可供选择； （2）∵三角形支架的周长为偶数， ∴三边长分别为， 则花的钱数为（元）， 故做成三角形支架一共需要花75元购买钢管． 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 【典型例题】已知，，是△ABC的三条边长，化简的结果为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：、、为△ABC的三条边长， ，， 原式 ． 【举一反三1】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12 【答案】C 【解析】解：∵a，b满足， ∴a﹣4＝0，b﹣8＝0， 即a＝4，b＝8， ∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边， ∴8﹣4＜c＜8+4， 即4＜c＜12， 故选：C． 【举一反三2】已知，，是一个三角形的三边，且，满足．则的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意得，，， 解得，， ，， ． 【举一反三3】已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝　     　． 【答案】8 【解析】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9， ∴6＜x＜12， ∴x﹣5＞0，x﹣13＜0， ∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+13﹣x＝8， 故答案为：8． 【举一反三4】已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围． 【答案】∵，且， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， 即． 【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【答案】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 【题型5】三角形的稳定性 【典型例题】下列图形具有稳定性的是（　　） A.梯形 B.正方形 C.正五边形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】解：梯形，正方形，正五边形，等边三角形中具有稳定性的是等边三角形． 故选：D． 【举一反三1】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和等于180度 C.三角形具有稳定性 D.两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】这是利用了三角形的稳定性． 【举一反三2】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了                 ． 【答案】三角形的稳定性 【解析】造房子时屋顶常用三角结构，即是利用了三角形的稳定性． 故答案为三角形的稳定性． 【举一反三3】如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的        ． 【答案】稳定性 【解析】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性． 【举一反三4】为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？ 【答案】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【题型6】三角形中线的定义 【典型例题】如图，若CD是△ABC的中线，AB＝20，则BD＝（　　） A.12 B.10 C.16 D.8 【答案】B 【解析】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝20， ∴BD=AB， 故选：B． 【举一反三1】如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（   ） A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线 【答案】C 【解析】根据折叠的性质得， 是的中线． 【举一反三2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【答案】B 【举一反三3】如图，D为AC上一点，AD＝DC，E为BC上一点，BE＝EC，则下列说法不正确的是（　　） A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.D为AC中点，E为BC中点 D.图中∠C的对边是DE 【答案】D 【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　） A.∠BAD＝∠CAD B.BD＝CD C.AB＝AC D.AC＝AD 【答案】B 【解析】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 故选：B． 【举一反三5】如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为        cm．    【答案】5 【解析】∵是的三条中线， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴． 【举一反三6】如图，是的中线，，则的长为          ． 【答案】3 【解析】∵是的中线，， ∴． 【举一反三7】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD=　　　　CE.  【答案】2 【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD， ∵AE是△ADC的中线，∴CD=2CE， ∴BD=2CE. 【举一反三8】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD=　　　　CE. 【答案】2 【解析】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD， ∵AE是△ADC的中线，∴CD=2CE， ∴BD=2CE. 【题型7】利用三角形的中线求长度 【典型例题】如图，在中，，，为边上的中线，若的周长为15，则的周长为（    ） A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】C 【解析】∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为15，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 【举一反三1】若是的中线，已知比的周长大，则与的差为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图， ∵是的中线， ∴， ∵比的周长大， ∴． 【举一反三2】如图，是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为     ． 【答案】8 【解析】∵ 是的中线， ∴， ∵ 的周长比 的周长多 2， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 【答案】解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD＝BD． ∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm． ∴AC﹣AB＝5cm． 又∵AB+AC＝13cm， ∴AC＝9cm． 即AC的长度是9cm． 【举一反三4】如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的周长． 【答案】（1）∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的周长为． 【题型8】利用三角形的中线求面积 【典型例题】如图，在△ABC中，D，E分别是的中点．若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】∵E为的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴． 【举一反三1】如图，面积为，，，则的面积等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设的面积为，则的面积为， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的面积为，的面积为， ∴． 【举一反三2】如图，的面积为18，为的中线，E，F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（    ） A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】B 【解析】是的中线， ， ， 为的两个三等分点， 又∵与共高，与共高， ，， ． 【举一反三3】如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为          ． 【答案】 【解析】是的中线， ， ， ，， 又是的中线， 点分别是的中点， ，， ． 【举一反三4】如图，在中，点分别是边的中点，若，则         ． 【答案】 【解析】设， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， ∴， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， ∵点是边的中点，即是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三5】在中，，，，已知的面积是平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？ 【答案】∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴平方厘米， ∴（平方厘米）． 【题型9】三角形的重心 【典型例题】如图，已知F是的重心，连接并延长交，连接并延长交，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】A 【解析】∵F是的重心， ∴， ∴， ∴. 【举一反三1】已知点G是的重心，如果连接AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（    ） A.BD＝CD B. C. D.BC＝2BD 【答案】B 【解析】解：连接、 ∵点G是△ABC的重心， ∴AD为BC边上的中线， ∴BD=CD，BC=2BD，∴选项A、D正确； ∵△ABD和△ACD等底同高， ∴，∴选项C正确； ∵△BGD和△CGD等底同高， ∴， ∴，∴选项B错误； 故选：B． 【举一反三2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】A 【解析】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是的重心． 【举一反三3】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是     ．    【答案】10 【解析】是的重心， 为三角形的中线，，， ， ，， 图中阴影部分面积． 【举一反三4】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】（1）∵点为的重心， ∴，则. （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得，，， ，， ∴，， ∴， 则，即， ∵， ∴. 【举一反三5】（2023·江苏南京·三模）如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M． 【答案】解：作AB的垂直平分线EF交AB于点N，连接CN交AD于点M，即为所求． 【题型10】三角形的角平分线 【典型例题】如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，平分， ∴． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，错误的是（　　） A.AD是△ABE的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的的角平分线 D.AE是△DAC的角平分线 【答案】D 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴AD是△ABE的角平分线，故A不符合题意. ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 即∠BAE＝∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线，故B不符合题意. ∵∠3＝∠4， ∴AF是△ACE的角平分线，故C不符合题意. 所以错误选项是D. 故选：D． 【举一反三2】如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是(　　) A.20° B.30° C.45° D.60° 【答案】A 【解析】∵∠BAC=80°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=40°， ∵AE是△ABD的角平分线， ∴∠EAD=∠BAD=20°. 【举一反三3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　  　°． 【答案】30 【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC,且 AD⊥BC，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 【答案】证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠BAD． 【题型11】三角形高的定义 【典型例题】画中边上的高，下列画法中正确的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】过点C作边的垂线，正确的是D． 【举一反三1】画的边上的高，正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的边上的高是过点作的垂线，只有C选项正确． 【举一反三2】已知△ABC中，为边上的高，若，，，则△ABC的面积为     ． 【答案】28或8 【解析】当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，△ABC的面积为28或8． 【举一反三3】如图，以为高的三角形有           个． 【答案】10 【解析】由图可得，一共有（个）三角形，且都以A为顶点， 又交于D， 以为高的三角形有10个． 【举一反三4】如图，在中，． (1)指出图中边上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别列举出来； (4)若，，，求边上的高的长． 【答案】（1）边上的高是，边上的高是. （2）如图，即为所求作. （3）在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是. （4）， ． 【题型12】三角形的垂心 【典型例题】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定 【答案】C 【解析】解：A.锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B.钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C.直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D.能确定C正确，故错误． 【举一反三1】三条高的交点一定在三角形内部的是(　　) A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】B 【举一反三2】下列说法不正确的是（    ） A.同角的余角相等 B.对顶角相等 C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】A选项，同角的余角相等，说法正确，不符合题意； B选项，对顶角相等，说法正确，不符合题意； C选项，钝角三角形三条高所在的直线交于一点，但该点位于三角形外部，故原说法不正确，符合题意； D选项，平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意． 【举一反三3】如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 　     　，这三条高所在直线交于点 　      　． 【答案】CD，HE，AF；B． 【解析】由三角形的高可知，△ACH的三条高是CD，HE，AF，这三条高所在直线交于点B， 故答案为：CD，HE，AF；B． 【举一反三4】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是      三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【解析】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【举一反三5】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典型例题】在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BE＝6，DC＝3，则△BCE的面积等于（　　） A.3 B.5 C.9 D.12 【答案】C 【解析】解：∵CD⊥BD ∴线段CD是△BCE中BE边上的高 ∴， 故选：C． 【举一反三1】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是(　　) A.BA＝2BF B.∠ACE＝∠ACB C.AE＝BE D.CD⊥AB 【答案】C 【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2       =2       ；AE=       =       ; S△ABD＝     ＝S△ABC. 【答案】BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC. 【解析】解：∵线段AD是△ABC的中线， ∴BC=2BD=2DC. ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC， ∵E为线段AD的中点， ∴线段BE是△ABD的中线， ∴AE=DE=AD 故答案为：BD，DC；DE，AD；S△ACD，S△ABC. 【举一反三3】在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B<∠C. (1)如图1，AE是△ABC边BC上的高，∠B=30°，∠C=70°，直接写出∠DAE的度数； (2)如图2，点E在AD上，EF⊥BC于F，猜想∠DEF与∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论. 【答案】解　(1)∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD=∠BAC， ∵AE是△ABC边BC上的高， ∴∠AEC=90°， ∴∠CAE=90°-∠C， ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=∠BAC-(90°-∠C)=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=∠C-∠B=(∠C-∠B)， ∵∠B=30°，∠C=70°， ∴∠DAE=×=20°. (2)∠DEF=(∠C-∠B)，证明如下： 如图，过A作AG⊥BC于G， ∵EF⊥BC， ∴AG∥EF， ∴∠DAG=∠DEF， 由(1)得∠DAG=(∠C-∠B)， ∴∠DEF=(∠C-∠B). 【题型14】利用网格求三角形的面积 【典型例题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 【举一反三1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【解析】根据题意画出， 则满足条件的格点有6个． 【举一反三2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】． 【举一反三3】图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为              ． 【答案】10 【解析】轨迹图形如图所示， 图形面积为． 【举一反三4】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【答案】4.5 【解析】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 【举一反三5】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点C画的平行线m； (2)过点C画的垂线，垂足是D； (3)线段的长度是点C到直线    的距离； (4)的面积    ． 【答案】（1）如图所示，直线m即为所求. （2）如图所示，即为所求. （3）， ∴线段的长度是点C到直线的距离. （4）． 【举一反三6】如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图： (1)画出的边上的高线和中线； (2)若的长为13，点M在的边上，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）的边上的高线和中线如图所示. （2）线段的最小值即为点C到的垂直距离， 由（1）可得，， ∵， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2 与三角形有关的线段 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】构成三角形的条件 1 【题型2】确定第三边的取值范围 2 【题型3】三角形三边关系的应用 2 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 3 【题型5】三角形的稳定性 4 【题型6】三角形中线的定义 5 【题型7】利用三角形的中线求长度 7 【题型8】利用三角形的中线求面积 8 【题型9】三角形的重心 9 【题型10】三角形的角平分线 10 【题型11】三角形高的定义 11 【题型12】三角形的垂心 12 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 13 【题型14】利用网格求三角形的面积 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】构成三角形的条件 【典型例题】下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A.2，3，4 B.3，4，6 C.5，6，11 D.5，12，13 【举一反三1】下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是（　　） A.a，a﹣3，3（a＞3） B.a，a+5，a+6（a＞0） C.a，b，a+b（a＞0，b＞0） D.a+1，a+1，2a（a＞0） 【举一反三2】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】(1)4条线段的长度分别是3 cm，7 cm，9 cm和11 cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作　　　　个不同的三角形. 【举一反三4】用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为6 cm，求等腰三角形的另外两边长. 【题型2】确定第三边的取值范围 【典型例题】有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为3和7，则这组三角形最多有（   ） A.2个 B.3个 C.5个 D.7个 【举一反三1】若有四根木棒，长度分别为3，6，8，10（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列不能围成三角形的是（　　） A.6，8，10 B.3，6，8 C.3，8，10 D.3，6，10 【举一反三2】已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是       ． 【举一反三3】若三角形的两边长是和，且满足，则这个三角形的第三边的取值范围是　         　． 【举一反三4】已知的两边长为， (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的长. 【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数. (1)若a=2，b=5，且c为偶数.求△ABC的周长； (2)化简：-+. 【题型3】三角形三边关系的应用 【典型例题】一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和7 cm，则它的周长是 A.17 cm B.13 cm C.14或17 cm D.13或17 cm 【举一反三1】如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（　　） A.m＜n B.m＝n C.m＞n D.m，n的大小无法确定 【举一反三2】如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是       ． 【举一反三3】小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米． （1）请用含m的式子表示第三条边长； （2）第一条边长能否为10米？为什么？ 【举一反三4】某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示．某校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经选好了两根长度分别为和的钢管（钢管不可截断使用），还需要再选一根． (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，求做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【题型4】三角形三边关系与非负性的综合 【典型例题】已知，，是△ABC的三条边长，化简的结果为　　 A. B. C. D. 【举一反三1】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12 【举一反三2】已知，，是一个三角形的三边，且，满足．则的取值范围是　　 A. B. C. D. 【举一反三3】已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝　     　． 【举一反三4】已知a，b，c是的三边长，且a，b满足，求第三边c的取值范围． 【举一反三5】已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【题型5】三角形的稳定性 【典型例题】下列图形具有稳定性的是（　　） A.梯形 B.正方形 C.正五边形 D.等边三角形 【举一反三1】平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和等于180度 C.三角形具有稳定性 D.两边之和大于第三边 【举一反三2】造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了                 ． 【举一反三3】如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的        ． 【举一反三4】为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？ 【题型6】三角形中线的定义 【典型例题】如图，若CD是△ABC的中线，AB＝20，则BD＝（　　） A.12 B.10 C.16 D.8 【举一反三1】如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（   ） A.高线 B.角平分线 C.中线 D.垂直平分线 【举一反三2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 【举一反三3】如图，D为AC上一点，AD＝DC，E为BC上一点，BE＝EC，则下列说法不正确的是（　　） A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.D为AC中点，E为BC中点 D.图中∠C的对边是DE 【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　） A.∠BAD＝∠CAD B.BD＝CD C.AB＝AC D.AC＝AD 【举一反三5】如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为        cm．    【举一反三6】如图，是的中线，，则的长为          ． 【举一反三7】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD=　　　　CE.  【举一反三8】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ADC的边DC上的中线，则有BD=　　　　CE. 【题型7】利用三角形的中线求长度 【典型例题】如图，在中，，，为边上的中线，若的周长为15，则的周长为（    ） A.12 B.13 C.14 D.15 【举一反三1】若是的中线，已知比的周长大，则与的差为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为     ． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 【举一反三4】如图，在中，分别是边上的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的周长． 【题型8】利用三角形的中线求面积 【典型例题】如图，在△ABC中，D，E分别是的中点．若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】如图，面积为，，，则的面积等于（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，的面积为18，为的中线，E，F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（    ） A.4 B.6 C.8 D.9 【举一反三3】如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为          ． 【举一反三4】如图，在中，点分别是边的中点，若，则         ． 【举一反三5】在中，，，，已知的面积是平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？ 【题型9】三角形的重心 【典型例题】如图，已知F是的重心，连接并延长交，连接并延长交，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A. B. C. D.无法确定 【举一反三1】已知点G是的重心，如果连接AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（    ） A.BD＝CD B. C. D.BC＝2BD 【举一反三2】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A.点D B.点E C.点F D.点G 【举一反三3】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是     ．    【举一反三4】如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【举一反三5】（2023·江苏南京·三模）如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M． 【题型10】三角形的角平分线 【典型例题】如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，错误的是（　　） A.AD是△ABE的角平分线 B.AE是△ABC的角平分线 C.AF是△ACE的的角平分线 D.AE是△DAC的角平分线 【举一反三2】如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD的度数是(　　) A.20° B.30° C.45° D.60° 【举一反三3】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　  　°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD 平分∠BAC,且 AD⊥BC，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 【题型11】三角形高的定义 【典型例题】画中边上的高，下列画法中正确的是（    ） A.   B.   C.   D.   【举一反三1】画的边上的高，正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知△ABC中，为边上的高，若，，，则△ABC的面积为     ． 【举一反三3】如图，以为高的三角形有           个． 【举一反三4】如图，在中，． (1)指出图中边上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别列举出来； (4)若，，，求边上的高的长． 【题型12】三角形的垂心 【典型例题】如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A.锐角三角形　　　 B.钝角三角形　　　 C.直角三角形　　　 D.不能确定 【举一反三1】三条高的交点一定在三角形内部的是(　　) A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【举一反三2】下列说法不正确的是（    ） A.同角的余角相等 B.对顶角相等 C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【举一反三3】如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 　     　，这三条高所在直线交于点 　      　． 【举一反三4】若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是      三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【举一反三5】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【题型13】三角形的中线、角平分线、高的综合 【典型例题】在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BE＝6，DC＝3，则△BCE的面积等于（　　） A.3 B.5 C.9 D.12 【举一反三1】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是(　　) A.BA＝2BF B.∠ACE＝∠ACB C.AE＝BE D.CD⊥AB 【举一反三2】如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．则BC=2       =2       ；AE=       =       ; S△ABD＝     ＝S△ABC. 【举一反三3】在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B<∠C. (1)如图1，AE是△ABC边BC上的高，∠B=30°，∠C=70°，直接写出∠DAE的度数； (2)如图2，点E在AD上，EF⊥BC于F，猜想∠DEF与∠B，∠C的数量关系，并证明你的结论. 【题型14】利用网格求三角形的面积 【典型例题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为              ． 【举一反三4】如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于   ． 【举一反三5】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点C画的平行线m； (2)过点C画的垂线，垂足是D； (3)线段的长度是点C到直线    的距离； (4)的面积    ． 【举一反三6】如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图： (1)画出的边上的高线和中线； (2)若的长为13，点M在的边上，直接写出线段的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $