第08讲 余弦定理与正弦定理（十大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第08讲 余弦定理与正弦定理 【苏教版】 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式1.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式1.3】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【变式2.2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【题型3 余弦定理判定三角形形状】 【例3】（24-25高一下·四川雅安·月考）已知的内角的对边分别为．若，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式3.1】（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式3.2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式3.3】（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型4 正弦定理解三角形】 【例4】（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式4.2】（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【题型5 正弦定理边角互化的应用】 【例5】（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 正弦定理判定三角形解的个数】 【例6】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6.3】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 正弦定理求外接圆半径】 【例7】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式7.1】（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【题型8 正弦定理判定三角形形状】 【例8】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式8.1】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式8.2】（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式8.3】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【题型9 三角形面积公式的应用】 【例9】（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【变式9.3】（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例10】（25-26高三上·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【变式10.3】（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 5．（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则是钝角三角形 三、填空题 12．（25-26高一上·北京·开学考试）在中，，则 . 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 14．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)若，求角A； (2)若，，，求边c． 16．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 17．（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 18．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 19．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 余弦定理与正弦定理 【苏教版】 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角； 值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转 化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理运算得解. 【解答过程】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【解答过程】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【解题思路】由余弦定理直接计算求解即可. 【解答过程】由题可得， 因为，所以. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【解答过程】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 【变式2.1】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【解题思路】根据余弦定理计算直接得出结果. 【解答过程】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理即可得解. 【解答过程】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 【变式2.3】（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【解答过程】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B. 【题型3 余弦定理判定三角形形状】 【例3】（24-25高一下·四川雅安·月考）已知的内角的对边分别为．若，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理来求出，再利用，可判断为钝角，即可得选项. 【解答过程】由余弦定理代入已知可求得：， 由于，可以得， 即为钝角，则是钝角三角形, 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【解答过程】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解题思路】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求. 【解答过程】在中，因为，，，则，所以， 由余弦定理可知：， 所以角为钝角，则是钝角三角形. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一下·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解题思路】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【解答过程】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D. 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由 此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得， 即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型4 正弦定理解三角形】 【例4】（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理可求解. 【解答过程】由正弦定理可得． 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【解答过程】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【变式4.2】（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理边化角求解即得. 【解答过程】在中，由，得， 由正弦定理得. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理直接求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 【题型5 正弦定理边角互化的应用】 【例5】（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理得到答案. 【解答过程】根据正弦定理，得. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一下·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解. 【解答过程】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 【变式5.3】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【解答过程】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 【题型6 正弦定理判定三角形解的个数】 【例6】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【解答过程】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解题思路】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【解答过程】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个. 故选：C. 【变式6.3】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 【题型7 正弦定理求外接圆半径】 【例7】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理即可得解. 【解答过程】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出外接圆直径. 【解答过程】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 【变式7.2】（24-25高一下·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用三角形的面积公式得，由正弦定理的边角互化以及余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解. 【解答过程】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 所以， 所以， 又， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以△ABC外接圆的半径为． 故选：B． 【变式7.3】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【答案】B 【解题思路】由余弦定理可求得，利用正弦定理可求得外接圆的半径. 【解答过程】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. 【题型8 正弦定理判定三角形形状】 【例8】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【解题思路】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【解答过程】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解. 【解答过程】因为， 由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【变式8.3】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【解答过程】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【题型9 三角形面积公式的应用】 【例9】（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【解答过程】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 【变式9.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【解答过程】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D. 【变式9.2】（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 【变式9.3】（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 【题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例10】（25-26高三上·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【解答过程】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 【变式10.1】（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 【变式10.2】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 【变式10.3】（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）设外接圆的半径为，得到，得到，由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，求得的范围，进而求得的周长的取值范围. 【解答过程】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理直接计算求解即可. 【解答过程】由题意得， 又，所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理求解即可． 【解答过程】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 3．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由余弦定理计算求解即可. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】利用二倍角公式将已知等式化为 ，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【解答过程】利用二倍角公式将已知等式化为， 即 ，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 5．（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【解答过程】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【解题思路】由可得，已知，由即可得到半径. 【解答过程】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【解题思路】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【解答过程】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】由余弦定理，代入求解方程即可. 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 10．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【解题思路】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【解答过程】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解题思路】根据正弦定理、余弦定理、三角函数的单调性判断选项的正确性. 【解答过程】因为，所以， 根据正弦定理可知因为，则. 根据大边对大角小边对小角可知，，所以A正确； 对于选项B： 因为是锐角三角形，则，，即. 又因为在上单调递增，所以，所以B正确； 对于选项C： 根据正弦定理，解得， 所以值不存在，所以满足这组条件的三角形有0个，所以C错误； 对于选项D： 根据正弦定理可得，， 所以根据余弦定理，又， 所以，即是钝角三角形，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·北京·开学考试）在中，，则 . 【答案】 【解题思路】利用余弦定理，可得答案. 【解答过程】由余弦定理可得. 故答案为：. 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【解答过程】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 14．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【解题思路】由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解. 【解答过程】由题意，即，因为，所以. 由余弦定理可知， 因为，所以，代入解得， 此时，所以为直角三角形， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)若，求角A； (2)若，，，求边c． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】利用正弦定理和余弦定理解三角形. 【解答过程】（1）在△ABC中，由，可得，可得， 又由正弦定理，得，可得， 所以或. （2）在△ABC中，由余弦定理得. 16．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解 (2)两解 (3)无解 【解题思路】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【解答过程】（1）由正弦定理， ∴， ∵，∴ ， ∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理， ∴，∴， ∵，，∴， ∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴， ∴无解，三角形无解. 17．（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据余弦定理可以得到，得到即可. （2）根据三角形的面积公式得出的面积即可. 【解答过程】（1），，，且由余弦定理可得， 则，， 又， （2）根据三角形的面积公式可得， 的面积为. 18．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【解题思路】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 19．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【解答过程】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $