第四章数列检测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二第四章数列标准化检测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 2．已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 7．数列满足，，，则（   ） A． B． C． D． 8．记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 10．已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时，的前项和为 C．公差的取值范围是 D．当为整数时，的最大值为7 11．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列的公差 B．等差数列的通项公式为 C．等比数列的公比 D．等比数列的前4项和为40或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 13．已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则 . 14．等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则 ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的通项公式． (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 16．已知数列的前项和为，若，且. (1)证明：为等差数列，并求. (2)若，求数列的前项和. 17．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 18．已知数列的前项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)令，记数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修二第四章数列标准化检测试卷（详解版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果. 【详解】由题意可得，，， 所以数列是周期为3的周期数列，即， 则. 故选：D. 2．已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由可判断A选项；利用递推公式求出的值，可判断B选项；利用递推公式结合可判断C选项；利用等差数列的定义求出的通项公式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，即，C对； 对于D选项，由题意可知，数列为等差数列，首项为，公差为， 所以，D错. 故选：C. 3．数列满足，设命题，命题：数列为递增数列，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据数列的单调性求参数 【分析】由数列为递增数列求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 若数列为递增数列， 则对任意的恒成立， 对任意的恒成立，又，； 所以推得出，故充分性成立；推不出，故必要性不成立， 所以是的充分非必要条件. 故选：A 4.若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列的其他性质 【分析】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 5．已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【详解】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D 6．在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】求出数列的通项公式，化简的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 7．数列满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、写出等比数列的通项公式 【分析】先由递推关系构造数列，得到等比数列的通项，再进一步得到即可. 【详解】，由递推关系可得， 所以当时，，即， 令，则为公比，首项的等比数列， 所以， 所以，， 所以. 故选：A. 8．记等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，且满足 若，则公比q=（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式列式计算得解. 【详解】等比数列中，，则， 因，故数列是首项为，公比为的等比数列， 显然，否则；且，否则， 则，由，得， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【详解】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB 10．已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时，的前项和为 C．公差的取值范围是 D．当为整数时，的最大值为7 【答案】AC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列的单调性、求等差数列前n项和 【分析】对于A，由等差数列的性质可求出，进而可判断；对于B，由求出公差，由等差数列的前项和公式求解即可；对于C，由为单调递增的正项无穷等差数列，列不等式组求解即可；对于D，结合及公差的范围得到的范围. 【详解】对于A，在等差数列中，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，由于，，则公差，故的前20项和为，故B错误； 对于C，由，为单调递增的正项无穷等差数列，得且，解得，即的取值范围为，故C正确； 对于D，，当为整数时，，即的最大值为9，D错误. 故选：AC. 11．已知数列是等差数列，是等比数列，且满足；，则下列说法正确的是（    ） A．等差数列的公差 B．等差数列的通项公式为 C．等比数列的公比 D．等比数列的前4项和为40或 【答案】AB 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】由等差数列的通项公式建立方程组，解得，判断A选项；从而得到其通项公式，判断B选项；同理通过等比数列项之间的关系建立方程，解得公比，判断C选项；由等比数列项的关系列出前4项和，代入公比后得到前4项和，判断D选项. 【详解】由题意可知，解得，故A正确； 通项公式为，故B正确； ∴，又因为，即，∴，C选项错误； ∵，设为数列的前项和， ∴， 当时，∴； 当时，．∴，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】应用等比数列及等差数列的下标和性质得出，，再代入结合特殊值的三角函数值求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，， 则，，所以，， 则. 故答案为：. 13．已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则 . 【答案】 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】利用等差中项得到的值，利用等比中项的值，则代入数值得到求解. 【详解】是a与b的等差中项，，， 是a与b的等比中项，， . 故答案为：. 14．等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则 ． 【答案】/ 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比中项的应用 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的通项公式． (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)数列是递减数列，理由见解析. 【知识点】判断数列的增减性、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）将的分子分母都除以，得到，利用基本不等式求出的范围，由得到的范围； （2）利用函数在上单调递增且得到在上单调递减，从而得到数列是递减数列． 【详解】（1）， ，当且仅当时，即时，等号成立， ，，； （2）由函数在上单调递增，且， 所以在上单调递减，因为． 所以数列是递减数列． 16．已知数列的前项和为，若，且. (1)证明：为等差数列，并求. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）， . 17．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)99 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【详解】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 18．已知数列的前项和为，满足： (1)求证：数列为等差数列； (2)令，记数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据已知条件列出的表达式，然后计算，并进行化简变形即可证明. （2）先求出的通项公式，然后列出的表达式，最后根据裂项相消法求出结果. （3）根据的单调性求解不等式. 【详解】（1）由题设，，可得,解得, 则当时，， 所以，整理得， 则，又,故是以1为首项，4为公差的等差数列. （2）由（1）得，所以. ， 则. （3）由（2）知，， 可知是单调递增数列，故当时，取得最小值, 则由不等式恒成立可得，即 那么，所以. 19．已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)， 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，即可求得通项； （2）（ⅰ）利用错位相减法即可求得； （ⅱ）利用分离参变量，来求，即可求得参数范围. 【详解】（1）由可得， ， 所以数列是常数列，又因为，所以， 即的通项公式为； （2）（ⅰ）由， 则， 两边乘以可得：， 上两式相减得：， ， 即； （ⅱ）由可得：， 由对任意恒成立，则， 令，则函数在上单调递减， 即当时，，所以， 即的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $