第四章指数函数与对数函数期末复习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数期末通关练习题 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 6．定义在上的奇函数和偶函数满足，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 7．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 10．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 11．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ） A．的单调递增区间为 B．a的取值范围是 C．的取值范围是 D．函数有4个零点 三、填空题 12．已知函数，则的值为 . 13．计算： 14．若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 四、解答题 15．（1）； （2）. 16．已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 17．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到时，会以每小时的速度减少（函数模型如图）.    (1)求血液中酒精含量（单位：）关于时间（单位：小时）的函数解析式； (2)某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？（结果取整数）.（参考数据：，） 18．已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 19．设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 2．B 【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断. 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 3．B 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 4．D 【分析】结合题意，利用对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，， 由，可得， 所以. 故选：. 5．C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 6．D 【分析】先根据函数的奇偶性求函数的解析式，再结合对数的运算法则和基本不等式可求函数的最小值. 【详解】 因为函数，分别为上的奇函数和偶函数， 所以. 所以， 由（当且仅当时取“”）. 所以. 故选：D 7．B 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 8．A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 9．ABD 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可． 【分析】作出函数的图象，如图所示： 对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确； 对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确； 对于C，则题意可知：，，所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则有，令，则有或， 当时，即，即，解得； 当时，即，所以或，解得，或或， 所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确． 故选：ACD． 12．5 【分析】利用分段函数解析式代入求值即可. 【详解】函数，，. 故答案为：5 13． 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确化简，即可求解； 【详解】由指数幂的运算法则得：原式. 故答案为：. 14． 【分析】令，分析可知为定义在上奇函数，且在上单调递减，根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令 因为，即，可知函数的定义域为， 且， 所以为上的奇函数， 因为， 且在内单调递增， 则在内单调递增，可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，则在内单调递减， 由奇函数可知在内单调递减，所以在上单调递减， 综上所述：为定义在上奇函数，且在上单调递减， 由，则， 可得， 则，解得：， 所以不等式的解集是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：1.构建函数，并判断的单调性和奇偶性； 2.根据奇偶性和单调性解不等式. 15．（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可得答案； （2）利用对数的运算性质可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 16．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. （2）当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 17．(1) (2)10个小时 【分析】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，利用待定系数法求解析式，并求出，再由指数型函数模型求时的解析式； （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶，根据题意，，两边取对数，利用换底公式和对数运算性质求解. 【详解】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，设， 函数过点，， ， 解得，，即， 当时，解得， 又当其上升到时，会以每小时的速度减少， 当时，， . （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶， 根据题意，， 即，即， 可得， ， ， 驾驶员至少要经过10个小时才能合法驾驶. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据的图像经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可. （2）先列出函数的解析式，然后结合内层二次函数的值域与外层指数函数的单调性求复合函数的值域即可. （3）先化简不等式，然后结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为（，且）的图像过点， 所以，解得，所以． 又函数是函数的反函数，所以． （2）由（1）可知， 因为是减函数， 所以，所以函数的值域为． （3）因为在上单调递减，， 即，所以， 解得，所以x的取值范围为. 19．(1)或． (2)． 【分析】（1）根据得到方程，化简得到，从而得到方程组，求出与的值； （2）在（1）基础上，得到．进而求出值域. 【详解】（1）是奇函数时，． 即对定义域内任意实数都成立， 即． 对定义域内任意实数都成立，所以，所以或； （2）当时，，定义域为，不符合题意； 当时，． 当时，因为，故，则．所以； 当时，． 综上所述：函数的值域为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $