28.2.2　应用举例 第1课时　仰角、俯角与解直角三角形 课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章　锐角三角函数 28.2.2　应用举例 第1课时　与视角有关的解直角三角形的应用 新课导入 要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子 与地面所成角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5 m的梯子．试问：当梯子的底端距离墙角2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 解：角α约为61°；这时人能安全使用这个梯子． 探究新知 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时， 1 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？ 解:设∠POQ= α ，∵FQ是☉O的切线， ∴△FOQ是直角三角形. ∵cosa = = ≈ 0.09491, ∴a ≈ 18.36°. ∴ PQ的长为 ⌒ ×6400 ≈ ×6400≈2051（km）. (1)上题中是如何将实际物体抽象为数学模型的？ (2)飞船能直接看到的地球表面的最远点的位置是如何确定的？ 本题可以抽象为以地球中心为圆心的、地球半径为半径的⊙O的有关问题. 飞船能直接看到的地球表面的最远点，是视线与地球相切时的切点. (3)最远点Q与点P的距离是弦长还是弧长？ 弧长 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ 2 (1)什么叫俯角？什么叫仰角？ 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角. 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120． ∵tana = , tanβ = , ∴BD = AD· tana =120× tan30° = 120× ， ∴CD = AD· tanβ =120× tan60° = 120×. ∴BC = BD+CD = + = 160≈ 277(m) 因此，这栋楼高约为277m. (2)请阅读解题过程，你能谈谈其解题思路吗？你还有其他的解题思路吗？ （1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→ α=30°． （2）从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→ β=60°． （3）热气球与高楼的水平距离为120 m → AD=120 m，AD⊥BC． 利用直角三角形的知识求出BD和CD，进而求出BC. 利用锐角为30°的直角三角形，它的对边是斜边的一半和勾股定理也可以解题. 知识归纳 如图，当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角． 例题与练习 例1　如图，某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离点B 3 m远的D处测得树的顶端点A的仰角为60°，树的底部点B的俯角 为30°，问距离点B 8 m远的保护物是否在 危险区内？ E 解：过点C作CE⊥AB于点E. 在Rt△CBE和Rt△ACE中， ∴距离点B 8 m远的保护物不在危险区内． AE＝CE·tan 60°＝3 (m) ,BE＝CE·tan 30°＝ (m), ∴AB＝4 m ≈ 6.93 m<8 m． 例2　如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离． C D A E B 30° 60° l1 l2 C D A E B 30° 60° l1 l2 F 解：过点D作l1的垂线，垂足为F. ∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°， ∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°， ∴DE＝AE＝20 m． ∵DF⊥l1，AC⊥l1，∴AC∥DF， 在Rt△DEF中，EF＝DE·cos 60°＝20× ＝10(m) . ∴四边形ACDF为平行四边形． 又∵∠CAF＝90°， ∴四边形ACDF为矩形， ∴CD＝AF＝AE＋EF＝30(m) ． 答：C，D两点间的距离为30 m. C D A E B 30° 60° l1 l2 F 课堂小结 1．理解俯角、仰角的概念． 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 水平线 铅垂线 视点 视线 仰角 俯角 2．会解决与视角有关的问题． B A 21 9.9 仰角与俯角问题 5．(5分)(教材P78T3变式)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为____米． 23 13.8 24 7．(10分)(大连中考)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4 m，BC＝1.26 m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？(结果保留整数．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75) 25 26 27 二、解答题(共44分) 10．(20分)(教材P79T8变式)(长沙中考)2023年5月30日9点31分，神舟十六号载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO； 28 29 30 31 32 一般的实际问题 1．(5分)(南充中考)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距( ) A． eq \f(x,sin α) 米 B． eq \f(x,cos α) 米 C．x·sin α米 D．x·cos α米 2．(5分)如图，一辆小车沿倾斜角为α，高为h的斜坡向上行驶13米，若cos α＝ eq \f(12,13) ，则h＝( ) A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米 3．(5分)(广西中考)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约_______m(结果取整数).(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 4．(5分)(教材P76T2变式)(赤峰中考)为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长约是________千米(精确到0.1千米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， eq \r(3) ≈1.73). eq \f(800,tan α) 6．(5分)(教材P75例4变式)(荆州中考)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为________m．( eq \r(3) ≈1.73，结果精确到0.1 m) 解：延长CD交AE于H，则CH＝BE，EH＝BC＝1.26 m.在Rt△ACH中，∵AC＝10.4 m，∠ACH＝70°，∴AH＝AC·sin 70°≈10.4×0.94＝9.776(m)，∴AE＝AH＋EH＝9.776＋1.26≈11(m).答：楼AE的高度约为11 m 一、填空题(每小题8分，共16分) 8．(济宁中考)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__________________． (15 eq \r(3) ＋1)m 9．(湖北中考)综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为____________米．(结果保留根号) 30－5 eq \r(3) 解：(1)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×8＝4(km) (2)在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴OC＝ eq \f(\r(3),2) AC＝4 eq \r(3) (km).在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝4 eq \r(3) km，∴AB＝OB－OA＝(4 eq \r(3) －4) km，∴飞船从A处到B处的平均速度＝ eq \f(4\r(3)－4,10) ≈0.3(km/s) (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： eq \r(3) ≈1.73) 11．(24分)(天津中考)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. (1)求DE的长； (2)设塔AB的高度为h m. ①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)； ②求塔AB的高度(tan 27°取0.5， eq \r(3) 取1.7，结果取整数). 解：(1)由题意得DE⊥EC.在Rt△DEC中，∵CD＝6 m，∠DCE＝30°，∴DE＝ eq \f(1,2) CD＝3(m) (2)①由题意得BA⊥EA.在Rt△DEC中，∵DE＝3 m，∠DCE＝30°，∴CE＝ eq \r(3) DE＝3 eq \r(3) (m).在Rt△ABC中，∵AB＝h m，∠BCA＝45°，∴AC＝ eq \f(AB,tan 45°) ＝h(m)，∴EA＝EC＋AC＝(3 eq \r(3) ＋h)m ②过点D作DF⊥AB，垂足为F.由题意得DF＝EA＝(3 eq \r(3) ＋h)m，DE＝FA＝3 m．∵AB＝h m，∴BF＝AB－AF＝(h－3)m.在Rt△BDF中，∵∠BDF＝27°，∴BF＝DF·tan 27°≈ eq \f(3\r(3)＋h,2) (m)，∴h－3≈ eq \f(3\r(3)＋h,2) ，解得h≈3 eq \r(3) ＋6≈11，∴AB≈11 m，∴塔AB的高度约为11 m $