精品解析：湖南省长沙市第一中学2026届高三上学期月考6数学试题

湖南省长沙市第一中学2026届高三上学期月考6数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，再求其模. 【详解】由可得，， 所以. 故选：A. 2. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设结合并集、补集、交集的定义分析求解即可. 【详解】由， 而，则中不含， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，则. 故选：C. 3. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的零点个数求对应方程即的根的个数求函数与函数的交点个数，在同一直角坐标系下画出两个函数的图象可得答案. 【详解】由，得，作出函数和的图象，可知两图象有个交点，所以函数有个零点． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的零点个数，利用数形结合思想以及转化与化归思想，将函数的零点转化对应方程的根，从而转化为两个函数的交点.属于中档题. 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 5. 已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】由是等差数列，根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由题设是等差数列，， 则的公差为，故， 则得，故. 故选：C. 6. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 7. 已知等差数列，公差为，则下列命题正确的是（ ） A. 函数可能是奇函数 B. 若函数是偶函数，则 C. 若，则函数是偶函数 D. 若，则函数的图象是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】利用可判断A；举反例可判断BC；求出可判断D. 【详解】对于A，若函数是奇函数，则， 可得，所以，此时，， 此时函数是偶函数，故A错误； 对于B，当时，，所以， ，函数是偶函数， 则，故B错误； 对于C，若，则，则，所以， 则，所以函数不是偶函数，故C错误； 对于D，若，则， ，所以， 所以函数的图象关于对称，是轴对称图形，故D正确. 故选：D. 8. 2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者的年龄为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者的年龄为，则满足的分配方案的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设6位医务人员年龄排序为，由必在第三批，将派遣方式按第一批所派遣的人员不同分成四类，求出满足的派遣方法数，再计算总派遣方法数，即可求概率. 【详解】假设6位医务人员年龄排序为，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下： 1、第一批派，第二批年龄最大者为，第三批年龄最大者为：剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批有种方法， 2、第一批派，第二批年龄最大者为或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，共种方法； 3、第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有1种方法，共种方法； 4、第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有1种方法，共种方法； ∴种方法，而总派遣方法有种， ∴满足的分配方案的概率为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：应用分类分步计数原理，结合题设含义，按第一批派遣的人员不同将派遣方式分类，再根据第二批的最大年龄者的不同确定各类的派遣方法数. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由双曲线方程求出渐近线比较判断；对B，由双曲线定义求出焦点三角形各边长判断；对C，由双曲线定义及勾股定理求出直角边长计算判断；对D，根据直线斜率与渐近线斜率关系求解判断. 【详解】对于A，双曲线，则， 故渐近线方程为，即， 双曲线， 故渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由题意得，， 由双曲线的定义得，， ， 故的周长为，B正确； 对于C，不妨设点在右支上， 设，则， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以的面积为 ，C错误； 对于D，若直线与双曲线的两支各有一个交点， 则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间， 即，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，代入验证判断；对B，利用单调区间判断；对C，根据三角函数图象变换求解判断；对D，利用性质判断. 【详解】 . 对于A，因为， 所以直线不是图象的对称轴，A不正确； 对于B，若，则， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，向右平移个单位长度， 得， C正确； 对于D，由，得， 而在区间上有极大值点和极小值点， 则，解得， 所以实数的取值范围为，D不正确. 故选：BC. 11. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得. 【详解】对A：，，， 有，故，故A正确； 对B：由，故、， 又、平面，，故平面， 故，故B错误； 对C：设点到平面的距离为，则由可得： ，则，故C正确； 对D：设三棱锥外接球球心为，半径为， 由，平面，取中点， 则，且，则， 则有， 即，故D错误. 故选：AC. 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含的项的系数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的的系数，从而可得结果. 【详解】因为展开式的通项公式， 所以展开式的的系数分别为， 则展开式中的系数为， 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将点位置分成在点左侧和在点右侧两种情况考虑，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可. 【详解】当点在点左侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为； 当点在点右侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知内角，，的对边分别为，，，，分别为，上一点，为上一点，与关于对称. 若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，构造函数，求导分析后再次构造，利用单调性得到，然后利用几何关系得到，再结合面积比与相似比的关系可得. 【详解】如图，由得. 令，，. 令，， 在上单调递减，， ，在上单调递减， ， ，， 由题意知， ，，， ，. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对为奇数和偶数进行分类讨论，再由等比数列定义即可证明得出结论； （2）根据（1）中的结论可得，再利用分组求和计算可得结果. 【小问1详解】 由题意得，当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以，又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，即， 所以， 所以 ， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，已知平面，线段的中点满足平面. （1）求的长； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，先判定四点共面，然后利用线面平行的性质得，然后利用平行四边形求解长度即可； （2）根据题意得两两垂直，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为在四边形中，， 所以，即四点共面； 因为平面平面，平面平面， 所以， 又，所以四边形是平行四边形，则， 所以，则； 【小问2详解】 因为平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，所以， 因为，所以， 所以两两垂直，故以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 在梯形中，，所以， 由题可知， 则， 设为平面的法向量，则， 即，令，可得； 同理求得平面的法向量； 设二面角的平面角为， 则， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17. 某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为. （1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率； （2）现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）方法一：记事件“甲获得奖品”，即5次射击中至少击中3次，且不能出现连续两次脱靶，即可求出对应概率； 方法二：求出所有射击情况中未中靶的概率，利用对立事件求出其概率即可. （2）易知的所有可能取值为，分别求出对应的概率即可求得分布列和数学期望. 【小问1详解】 设事件“甲获得奖品”， 方法一： 获得奖品是5次击中3次､4次､5次，且不能连续两次不中，即击中3次时去除第一枪､第二枪不中，第二枪､第三枪不中，第三枪､第四枪不中三种情况， 即. 方法二： 记事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”， 事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”， 则， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为， 设事件“甲使用型号的步枪射击一次击中标靶”， 事件“甲使用型号的步枪射击一次未击中标靶”， 则， ， ， . 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望为. 18. 已知M，N是椭圆上的两个动点，M在x轴上方，N在x轴下方，直线与x轴、y轴分别交于S，T两点． （1）若直线与斜率之积为，证明：为定值； （2）点关于x轴的对称点为H，设的面积分别为，且． ①求直线的斜率； ②是否存在直线，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）① ；②存在；或 【解析】 【分析】（1）设,由题意得，又M，N在椭圆上，得进行求解； （2）①因为，得．所以与关于直线对称，所以，由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆联立进行求解； ②由①知直线的方程为，由，进行求解． 【小问1详解】 证明：设， 由题意得，所以， 又M，N在椭圆上，所以，， 得，代入得， 所以. 【小问2详解】 解：①因为， 得，即． 所以AM与AN关于直线x＝1对称，所以， 整理得， 由题意得直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为， 与椭圆联立得， 所以，，， 代入得 ， 整理得，解得或（MN不过点A，舍去）， 得直线的斜率为． ②由①知直线MN的方程为， 联立与椭圆得， ，，且应满足， ，得，过M，N两点分别向x轴作垂线，垂足分别为， 则， 得，解得（舍）或， 所以存在直线MN，其方程为或． 19. 已知函数（其中为自然对数的底数，）. （1）当时，求处的切线方程. （2）若函数在其定义域上不单调，求证：. （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 当时，，在上为减函数，不合题意. 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意， 此时， 要证，只需证，即证， 不等式等价于， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）由题意得，，只需证明，利用导数分析单调性可证明结论； （3）不等式等价转化为，对分类讨论可得结果. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， ， 令，则等价于恒成立， 令，则， 当时，，则，在上单调递减， 当时，令，则，故在上单调递增， 又，所以存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 因为，故存在唯一，使得， 从而； 由（1）知：①当时，是减函数，故的值域为，此时存在恒成立，符合题意； ②当时，是减函数，故的值域为，此时存在，不符合题意； ③当时，，又当时，，故的值域为， 若即时，，此时恒成立，符合题意， 若即时，取，此时存在，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市第一中学2026届高三上学期月考6数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 42 6. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知等差数列，公差为，则下列命题正确的是（ ） A. 函数可能是奇函数 B. 若函数是偶函数，则 C. 若，则函数是偶函数 D. 若，则函数的图象是轴对称图形 8. 2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者的年龄为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者的年龄为，则满足的分配方案的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，点为双曲线上一动点，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含的项的系数是_________. 13. 在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________. 14. 已知内角，，的对边分别为，，，，分别为，上一点，为上一点，与关于对称. 若，，，则______. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求. 16. 如图，在四棱锥中，已知平面，线段的中点满足平面. （1）求的长； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 某靶场有两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为. （1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份奖品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得奖品的概率； （2）现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望. 18. 已知M，N是椭圆上的两个动点，M在x轴上方，N在x轴下方，直线与x轴、y轴分别交于S，T两点． （1）若直线与斜率之积为，证明：为定值； （2）点关于x轴的对称点为H，设的面积分别为，且． ①求直线的斜率； ②是否存在直线，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 19. 已知函数（其中为自然对数的底数，）. （1）当时，求处的切线方程. （2）若函数在其定义域上不单调，求证：. （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $