23.1 多边形（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

23.1 多边形 题型一 多边形的概念与分类 1．（24-25八年级下·上海·月考）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：B． 2．（2022八年级下·上海·练习）对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 【答案】A 【分析】A. 由正多边形的性质可得 B. 举反例判断即可 C. 举反例判断即可 D. 举反例判断即可 【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确 B. 菱形不是正方形，错误 C. 矩形不是正方形，错误 D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键． 3．（21-22八年级下·上海·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 4．（22-23七年级上·上海·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形 【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解． 【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形． 题型二 多边形对角线的条数问题 1．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）十二边形一共有 条对角线． 【答案】 54 【分析】本题考查求多边形的对角线条数，利用多边形的对角线公式进行求解即可． 【详解】解：n边形的对角线条数公式为， ∴当时，计算得． 故答案为：54 2．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 3．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 4．（2024·上海金山·三模）正n边形的一个外角为，则它的对角线条数为 【答案】54 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和、多边形的对角线等知识点，掌握相关公式成为解题的关键． 利用多边形的外角和为可求出n的值，然后根据多边形的对角线公式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：， 所以它的对角线的条数为：． 故答案为54． 题型三 多边形内角和问题 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多项式内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案． 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 3．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）已知一个多边形的内角和是，则边数为 ． 【答案】 18 【分析】本题考查多边形的内角和问题，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为． 根据题意，得， 解得． 故答案为：18． 4．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是 度． 【答案】60 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 题型四 正多边形的内角问题 1．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 2．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数即可得出结果． 【详解】解：正五边形的内角的度数是， 又正方形的内角是， ； 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知一个正多边形的相邻两边的夹角为，那么这个正多边形的边数为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式，根据正多边形的内角和可得每个内角为，得出，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 4．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】 【分析】首先根据外角和与外教的度数可得多边形的边数，再根据多边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：一个多边形的每一个外角都等于， 这个多边形的边数为：， 这个多边形的内角和为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多变形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式，正确求出多边形的边数是解题的关键． 题型五 正多边形的外角问题 1．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 2．正五边形一个外角的度数是（    ） A．72° B．90° C．108° D．118° 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角为360°÷5＝72°， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键． 3．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的外角和定理．根据外角和为，除以每个外角的度数即可得出多边形的边数． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5． 故答案为：5． 4．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【详解】解：向左转的次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 题型一 多边形截角后的问题 1．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 2．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种， ①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点， 此时矩形分割为一个五边形和三角形， ∴M+N=540°+180°=720°； ②当直线经过一个原来矩形的顶点， 此时矩形分割为一个四边形和一个三角形， ∴M+N=360°+180°=540°； ③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点， 此时矩形分割为两个三角形， ∴M+N=180°+180°=360°． 故选D． 3．（21-22八年级下·上海青浦·期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 【答案】17，18或19 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18， 则多边形的边数是17，18或19， 故答案为：17，18或19． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 4．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为 ． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 题型二 多边形内角和与外角和综合 1．（20-21八年级下·上海浦东新·期中）已知一个多边形的内角和小于它的外角和，那么这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得： ， 解得：， ∴这个多边形是三边形，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键． 2．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 3．（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 【答案】 4 2340 【分析】本题考查多边形的外角和和内角和（1）利用多边形外角和恒为与内角和公式列方程求解； （2）先由外角和求边数，再代入内角和公式计算． 【详解】解：（1）设多边形的边数为n．多边形的外角和为，内角和为． 由题意得，， 解得， 故答案为：4； （2）多边形的每个外角为，外角和为， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：2340． 4．附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 【答案】α5=172°；α6=60°，α8=45°，α=． 【分析】如图，延长BA到F，根据多边形外角和为360°可得∠EAF的度数，根据正多边形内角和可得∠ABC=∠BAE=108°，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA=36°，利用三角形外角性质可得α=∠EAF，即可得正五边形中α的值，讨论可得α6、α8的值，根据所得规律即可得当正多边形的边数是n时α的值. 【详解】如图，延长BA到F， ∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角， ∴∠EAF=360°÷5=72°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°， ∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB， ∴α=∠EAF=72°， 同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°， 当正多边形的边数是n时，α=． 故答案为36°；60°；45°； 【点睛】本题考查多边形内角与外角及等腰三角形的性质．通过特例分析从而归纳总结出一般结论是解题关键. 题型三 平面镶嵌 1．（20-21八年级下·上海·期中）下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（    ） A．正五边形和正九边形 B．正三角形和正方形 C．正八边形和正方形 D．正十二边形和正三角形 【答案】A 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正五边形和正九边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满． B、正三角形、正方形内角分别为、，由于，故能铺满； C、正八边形和正方形内角分别为、，由于，故能铺满； D、正十二边形和三角形内角分别为、，由于，故能铺满； 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的密铺，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查多边形内角和及无缝拼接，根据题意列出方程求解是解题关键 设这三个正多边形的边数分别是，根据题意列出方程，整理得，然后从构成多边形的最小的偶数开始进行试算求解即可． 【详解】解：设这三个正多边形的边数分别是， ∵三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接， ∴， 整理得：， ∵边数不同且边数是偶数， ∴假设，则，解得：， 经检验，符合题意， ∴这三个正多边形的边数分别是， 故答案为：． 3．（2022八年级下·上海·专题练习）商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有 ． 【答案】 ①②③ ①和②；①和③；②和④ 【分析】几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．据此作答． 【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为 （1）∵ 使用其中的一种规格的地砖，那么有：正方形、正三角形、正六边形，一共3种方案； （2）∵ 使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案； 故答案为：（1）①②③；（2）①和②；①和③；②和④． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°． 4．（2022八年级下·上海·专题练习）小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有，，，（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 【答案】选的正方形地砖，需要80块地砖可以铺满客厅 【分析】小明家装修新房，准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选的正方形地砖，然后求出块数即可． 【详解】解：∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的， ∴符合要求的是选的正方形地砖； ，， （块）， 答：需要80块地砖可以铺满客厅． 1．（24-25七年级下·上海·期中）阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 【答案】(1)四边形的外角和是360度，过程见解析 (2)四边形的外角和是360度，过程见解析 (3)多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角和、多边形的内角和与外角和问题，灵活运用转化思想成为解题的关键． （1）将四边形内角和转化成两个三角形内角和求解即可； （2）将四边形外角和转化成邻补角和四边形的内角和求解即可； （3）将n边形的内角和转化成n个三角形内角和与圆周角问题，将n边形的外角和转化成邻补角与n边形内角和问题解答即可． 【详解】（1）解：四边形的外角和是360度，过程如下： 如图：连接 ∵， ∴四边形的内角为： ． （2）解：四边形的外角和是360度，过程如下： ∵，， ∴ ． （3）解：结论1：多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如下： 结论1：如图： 将n边形分成n个三角形，则n边形的内角和为； 结论2：n边形的每个顶点由外角与相邻内角是邻补角，则n边形的外角和为： ． 2．已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1），，可知，进而可说明； （2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理， ，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果； （3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果． 【详解】（1）证明： 又 在和中 ． （2）解：． 理由如下：如图1所示，连接并延长至点K 分别平分 则设 为的外角 同理可得 即 ． 又由（1）中证明可知 由三角形内角和公式可得 即 ． （3）解：当时，如图2所示，过点C作，则 ，即 由（1）中证明可得 在中，根据三角形内角和定理有 即 即 即，解得： 故． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1 多边形 题型一 多边形的概念与分类 1．（24-25八年级下·上海·月考）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022八年级下·上海·练习）对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 3．（21-22八年级下·上海·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 4．（22-23七年级上·上海·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    题型二 多边形对角线的条数问题 1．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）十二边形一共有 条对角线． 2．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 3．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 4．（2024·上海金山·三模）正n边形的一个外角为，则它的对角线条数为 题型三 多边形内角和问题 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 3．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）已知一个多边形的内角和是，则边数为 ． 4．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是 度． 题型四 正多边形的内角问题 1．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知一个正多边形的相邻两边的夹角为，那么这个正多边形的边数为： ． 4．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的内角和为 ． 题型五 正多边形的外角问题 1．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．正五边形一个外角的度数是（    ） A．72° B．90° C．108° D．118° 3．（24-25八年级下·上海松江·期末）如果正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ． 4．（22-23八年级下·上海青浦·期中）如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 题型一 多边形截角后的问题 1．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 2．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（　　）. A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·上海青浦·期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 4．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为 ． 题型二 多边形内角和与外角和综合 1．（20-21八年级下·上海浦东新·期中）已知一个多边形的内角和小于它的外角和，那么这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 4．附加题： 探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题： 已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图： 正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______． 题型三 平面镶嵌 1．（20-21八年级下·上海·期中）下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（    ） A．正五边形和正九边形 B．正三角形和正方形 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是 ． 3．（2022八年级下·上海·专题练习）商店出售有下列形状的地板砖：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有 ． 4．（2022八年级下·上海·专题练习）小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有，，，（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 1．（24-25七年级下·上海·期中）阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 2．已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由； (3)当时，求的度数． 3．（24-25八年级下·上海·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $