第10讲：函数的极值与最大（小）值【九大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第10讲：函数的极值与最大（小）值 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点02：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点03：函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点04：求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：函数的极值的理解 【例1】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】C 【分析】的变号零点个数即为所求. 【详解】由图可知，的图象有三个变号零点，1个不变号零点，所以极值点的个数为3. 故选：C. 【跟踪训练1】．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【答案】D 【分析】利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 【跟踪训练2】．（23-24高二下·广东湛江·月考）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 题型二：求函数的极值 【例2】．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数可判断函数单调性，进而可得极值. 【详解】（1）由已知， 则， 则，且， 所以切线方程为， 即； （2）由（1）知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 【跟踪训练2】．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，即可得解； （2）根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2）由得或， 由于，故当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值为，极小值为. 题型三：由极值（点）求参数问题 【例3】．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·宁夏·期中）若在处有极值，则 ． 【答案】 【分析】先对函数求导，再根据函数在某点处有极值的条件，即该点处导数为，求出的值，最后进行检验. 【详解】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意. 故答案为：. 【跟踪训练2】．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得有两个不同的实根，分，，利用参变分离得，根据函数单调性分析求解即可. 【详解】因为，所以， 时，，无极值点，不符合题意； 时，恰有两个极值点，则方程有两个不同实根， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 又时，，当时，，时，， 所以，解得， 当时，有两个变号零点（在零点的左右附近导函数值变号），符合题意． 故a的取值范围为． 故答案为：. 题型四：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 【例4】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】由图易得在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，进而判断各选项即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D 【跟踪训练1】．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 【跟踪训练2】．（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 题型五：函数的最值与极值的关系 【例5】．（23-24高三上·陕西·月考）已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）． 【详解】，令，得， 时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点， 由题意得，所以. 故选：D. 【跟踪训练1】．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极大值点 C．的单调递增区间是 D．无最小值 【答案】C 【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案. 【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的值，故A项错误； 对于B项，由已知图象可知， 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点，故B项错误； 对于C项，由B可知，在上单调递增，故C正确； 对于D项，由B可知，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误. 故选：C. 【跟踪训练2】．（22-23高二下·四川眉山·月考）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由的极小值点在区间上可得参数范围． 【详解】由已知， 或时，，时，， ∴在和上递减，在上递增， ∴是的极小值点，且, 函数在区间上有最小值，则，解得． 故答案为：． 题型六：求不含参数的最值问题 【例6】．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）利用极值定义得，可解出解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论. 【详解】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 由，则，解得； （2）由（1）知，，所以， 令，即，解得， 列表如下： -2 2 3 0 0 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以有极大值有极小值， 又， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【跟踪训练2】．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在处取得极小值-2． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据取得极值的条件列方程组即可求解； （2）根据连续函数在闭区间上的最值即可求解. 【详解】（1），由题意可知，即，解得， 经检验是函数的极小值点，所以. （2）由（1）可知，令，解得或， 当时，，当时，， 所以在处取得极大值，， 又，，， 所以函数在上的值域为. 题型七：由函数的最值求参数问题 【例7】．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再判断函数的单调性，根据最值列不等式，即可求解. 【详解】的定义域为，， ，，，在上单调递增， 故在上的最大值为，即. 故答案为： 【跟踪训练2】．（24-25高二下·天津·月考）若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数和单调性的关系，结合给定区间及函数的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，， 故要使在区间上的最小值为，则. 故答案为： 题型八：已知函数的最值求参数问题 【例8】．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 【跟踪训练1】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论得到函数的单调性，分别求出函数的最小值. 【详解】函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 【跟踪训练2】．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 题型九：函数的单调性、极值和最值的综合问题 【例9】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或e 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）求导函数，利用导数等于0，画表格分析的变化情况，可得的单调区间与极值； （2）在区间有极值，等价于方程在其判别式（即或的条件下在区间有解，从而得的取值范围； （3）由题可得在区间内单调递增，令，孤立参数求最值可得的取值范围. 【详解】（1），则， 令，可得，解得或， 则的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得的单调增区间是和，单调减区间是； 函数的极大值为，极小值为； （2）因为 当，即时，，单调递增，故无极值点； 当，即或时，有两个根， ，， 由题意可得，①，或②， ①式无解，②式的解为， 故的取值范围是； （3）由已知，得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，故，所以， 即的取值范围为. 【跟踪训练2】．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【详解】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. （3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 1．（2026高二上·重庆·专题练习）已知在上存在极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合极值点的定义即可求解. 【详解】由题意得，令， 因为在上存在极值点， 所以方程在上有两个不等实根， 所以，解得， 则实数的取值范围为. 故选：D. 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据的图象，可得的正负情况，得的单调性，结合极值点的概念判断各个选项. 【详解】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 5．（2025高二·全国·专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同构，先利用对数的运算性质变形不等式为，构造，然后利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】因为关于x的不等式对恒成立， 所以，即， 不妨设，此时在上恒成立， 可得， 当时，单调递增；当时，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 又，所以在上恒成立，即恒成立. 构造函数，，则， 易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增； 所以， 所以实数a的取值范围为. 故选：D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断的单调性和极值，根据有两解得出的范围. 【详解】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 7．（25-26高二上·广西贵港·月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得，令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 二、多选题 8．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【分析】由极值点定义及导数符号与函数单调性关系逐项判断. 【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负， 所以函数共有三个极值点，A错误； 对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误； 对于C：由图象，在为负，在为正， 所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确； 故选：ABC. 9．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的极大值点是 C．的极小值是-9 D．方程有1个实数根 【答案】AC 【分析】根据给定的函数，利用导数求出单调区间及极值判断ABC；求出方程的根判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 则其极大值点为，则AC正确，B错误； 对于D，由，得，则，解得或， 因此方程有2个实数根，D错误. 故选：AC 10．（24-25高二下·广东中山·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得，求得函数的单调性和极小值（最小值），可判定A正确，B正确，C错误；再由有两个实数根，转化为与的图象有两个交点，求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值， 所以A正确，B正确，C错误； 又由时，可得， 且当时，，当时，， 要使得有两个实数根，即与的图象有两个交点， 所以，即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 【答案】BCD 【分析】由导数工具求出函数的单调性和所需导数值即可逐项分析判断. 【详解】对于A，由题， 所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，所以函数在点处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，由上可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的值域为，故C正确； 对于D，因为函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以若关于x的方程有3个不同的根，则，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 故答案为：-6 13．（2025高三·全国·专题练习）已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，求导判断单调性，求出最小值，进而求得范围. 【详解】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 14．（25-26高三上·吉林长春·月考）若不等式对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得，，利用导数知识求得函数值域及单调性可得答案. 【详解】不等式对恒成立， 则对恒成立， ，. 令，，. ；，则在上单调递减，在上单调递增， 从而.令，则. 令，，则. 注意到，则，. 则在上单调递增，在上单调递减， 则，从而. 故答案为： 15．（2025高二·全国·专题练习）若对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：问题转化为在恒成立，求出的范围即可；法二：通过拆分常数项，凑出和对数相关的特殊形式，即可求出的范围. 【详解】法一：问题等价于在恒成立． 设，对求导：, 令，即，解得。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，； 法二：由于，可得， 故， 根据对数函数的性质，当且仅当时取等， 则，当时，得到，解得. 故答案为：． 四、解答题 16．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 17．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 18．（25-26高二上·全国·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，故， 可得曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，恒成立， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，恒成立，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 19．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 20．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2)答案见详解； (3) 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲：函数的极值与最大（小）值 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点02：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点03：函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点04：求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：函数的极值的理解 【例1】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 【跟踪训练1】．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【跟踪训练2】．（23-24高二下·广东湛江·月考）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 题型二：求函数的极值 【例2】．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 题型三：由极值（点）求参数问题 【例3】．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【跟踪训练1】．（24-25高二下·宁夏·期中）若在处有极值，则 ． 【跟踪训练2】．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 题型四：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 【例4】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【跟踪训练1】．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【跟踪训练2】．（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 题型五：函数的最值与极值的关系 【例5】．（23-24高三上·陕西·月考）已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（22-23高二下·甘肃金昌·期中）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极大值点 C．的单调递增区间是 D．无最小值 【跟踪训练2】．（22-23高二下·四川眉山·月考）已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为 ． 题型六：求不含参数的最值问题 【例6】．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【跟踪训练1】．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【跟踪训练2】．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在处取得极小值-2． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 题型七：由函数的最值求参数问题 【例7】．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【跟踪训练1】．（24-25高二下·安徽宿州·期中）设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【跟踪训练2】．（24-25高二下·天津·月考）若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 题型八：已知函数的最值求参数问题 【例8】．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【跟踪训练1】．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 【跟踪训练2】．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 题型九：函数的单调性、极值和最值的综合问题 【例9】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【跟踪训练1】．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【跟踪训练2】．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（2026高二上·重庆·专题练习）已知在上存在极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 5．（2025高二·全国·专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广西贵港·月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 9．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的极大值点是 C．的极小值是-9 D．方程有1个实数根 10．（24-25高二下·广东中山·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值 D．方程有两根时的范围是 11．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 三、填空题 12．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 13．（2025高三·全国·专题练习）已知，若恒成立，求实数的取值范围为 . 14．（25-26高三上·吉林长春·月考）若不等式对恒成立，则的取值范围是 . 15．（2025高二·全国·专题练习）若对于，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 16．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 17．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 18．（25-26高二上·全国·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 19．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 20．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $