第09讲：导数与函数的单调性【六大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第09讲：函数的单调性 【考点梳理】 【知识梳理】 知识01：函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识02：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识03：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【题型归纳】 题型一：利用导数求函数的单调性（不含参） 【例1】．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】（1）先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； （2）先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； 【详解】（1）． 令，解得， 因此函数的单调递增区间为． 令，解得或， 因此函数的单调递减区间为． （2）函数的定义域为． ． 因为，所以． 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，解得．又， 所以函数的单调递减区间为． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在上单调递增． (2)在上单调递增 (3)在上单调递减． 【分析】求出导函数以后，根据导函数值的正负情况判断函数的增减区间即可. 【详解】（1）因为，，所以，所以函数在上单调递增． （2）因为，， 所以 ， 所以在上单调递增． （3）因为，， 所以，所以在上单调递减． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)单调递增区间为，，单调递减区间为. (3)单调递增区间是，，单调递减区间是. 【分析】运用导数运算法则逐个计算，结合列表法分段讨论即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或，列表如下： 0 2 + 0 - 0 + 3 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）易知函数的定义域为. 令，得或.列表如下： + 0 - 0 + 1 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）的定义域为，且， 令，得或，列表如下： + 0 - - 0 + 所以的单调递增区间是，，单调递减区间是. 题型二：函数与导函数图像的关系 【例2】．（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·广东·月考）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【详解】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【跟踪训练2】．（24-25高二下·四川成都·期中）可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【分析】根据图象确定在各个区间的正负，从而得到在各个区间上的单调性，进而做出判断. 【详解】由图象可知，在上，在上， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在，，上不单调，故A，B，D错误， 在上单调递增，故C正确. 故选：C． 题型三：由函数的单调性求参数 【例3】．（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【详解】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将问题转化为恒成立，参变分离，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以恒成立， 即恒成立， 而（当且仅当时，等号成立）， 所以只需，解得.经检验，当时，仅有使，符合题意. 故选：B. 题型四：由函数在区间的单调性求参数 【例4】．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 【跟踪训练1】．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据题意得在区间有解，即，利用基本不等式求最值即可． 【详解】函数定义域为，， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间有解， 即在区间有解， 所以在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等，所以． 故选：B． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 题型五：含参分类讨论函数的单调性 【例5】．（24-25高三上·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义有，即可求； （2）对函数求导，根据导数的区间符号求单调区间. 【详解】（1）由题设，则， 又在点处的切线的斜率为，则，可得； （2）由题设且， 当，则，故在上单调递减， 当，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，的递减区间为，无递增区间， 时，的递减区间为，递增区间为. 【跟踪训练1】．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【跟踪训练2】．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 题型六：导数在单调性的综合问题 【例6】．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. （3）由题意得在上恒成立，根据x的范围及函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，结合，即可得解集； （2）对函数求导，构造并结合二次函数性质，分类讨论确定导函数的符号研究单调区间. 【详解】（1）当时，，， 所以在上单调递减，又， 则当时，；当时，， 故的解集为． （2），（） 设，（）的对称轴，， 当，有，则，在单调递减． 当，则有两个不等正根，， 所以、上，上， 在、上单调递减，在上单调递增； 当，则有一个正根，即上，上， 在上单调递增，在上单调递减． 综上： 当，的单调减区间为，无单调递增区间； 当，的单调减区间为、，单调递增区间为； 当，的单调递增区间为，单调减区间为． 【跟踪训练2】．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 2．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 4．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 5．（25-26高三上·吉林长春·月考）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求，解不等式求单调区间. 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 6．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【详解】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 7．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】令函数，由恒成立，得， 函数在上单调递减，而， 不等式，解得， 所以的解集为. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 10．（24-25高二下·新疆喀什·期末）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用导数求出函数的增区间，即可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 因为，由得或， 因此函数的增区间为、. 故选：BD. 11．（24-25高二下·河北·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数研究函数单调性，根据题意确定区间内导函数存在零点，从而利用零点存在性定理来求解即可. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，则，则在上单调递减， 所以，即，解得，则的取值范围是. 故选：BC. 12．（24-25高二下·湖北武汉·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围，结合选项即可判断． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意． 故选：CD. 三、填空题 13．（25-26高三上·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 14．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知导函数的函数值既有正值又有负值，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 【答案】5 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 16．（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【详解】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 18．（25-26高二·全国·假期作业）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系求解即可. 【详解】由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 19．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在处的切线与y轴垂直. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1). (2)单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）首先计算得，结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）由（1）得，由导函数小于求得函数的减区间，导函数大于求得函数的增区间即可. 【详解】（1）由题意得，令，得，解得， 又函数在处的切线与y轴垂直，， ，，则， 函数的解析式为. （2）由（1）可知， 则， 又函数的定义域为，， 故当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，，此时，函数在上单调递减. 所以的单调增区间为，单调减区间为. 20．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论判断的单调性即可； （2）由题意，求出导函数，设切点坐标为，利用列式求解即可. 【详解】（1）， ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. （2），设切点坐标为， 则，消去得， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以，所以，解得. 21．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【详解】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲：函数的单调性 【考点梳理】 【知识梳理】 知识01：函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识02：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识03：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 【题型归纳】 题型一：利用导数求函数的单调性（不含参） 【例1】．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 题型二：函数与导函数图像的关系 【例2】．（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·广东·月考）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【跟踪训练2】．（24-25高二下·四川成都·期中）可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 题型三：由函数的单调性求参数 【例3】．（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：由函数在区间的单调性求参数 【例4】．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高三上·江苏南通·月考）函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：含参分类讨论函数的单调性 【例5】．（24-25高三上·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【跟踪训练1】．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【跟踪训练2】．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 题型六：导数在单调性的综合问题 【例6】．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·湖北黄石·月考）已知函数． (1)当时，求的解集； (2)当时，求的单调区间． 【跟踪训练2】．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 5．（25-26高三上·吉林长春·月考）设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 10．（24-25高二下·新疆喀什·期末）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·河北·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（    ） A．e B． C． D． 12．（24-25高二下·湖北武汉·月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高三上·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为 ． 14．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 15．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 16．（25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为 . 四、解答题 17．（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 18．（25-26高二·全国·假期作业）讨论函数的单调性. 19．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在处的切线与y轴垂直. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间. 20．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 21．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $