精品解析：河南省许昌市禹州市第三高级中学菁华校区2025-2026学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题

菁华校区高二第二次阶段性考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全部，第二册第四章至第五章第二节． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式即可得到答案. 【详解】双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 2. 已知空间向量，若，其中，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示公式，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：B 3. 已知函数是可导函数，且，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：, 即：. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 159 B. 126 C. 109 D. 98 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质求解. 【详解】设的公差为，由题意得，解得， 所以． 故选：B 5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量点到线距离公式进行求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 7. 在数列中，，，为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过对递推式变形构造常数列，求出通项 ，进而用等差数列求和公式得 . 【详解】由，得， 所以，移项得， 即，所以为常数列， 又，所以，所以， 易知是等差数列，所以． 故选：C 8. 椭圆的左右焦点分别为，，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点P，其中．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件，利用椭圆和抛物线的性质求出关系即可求出椭圆的离心率. 【详解】由题意可得抛物线的准线过椭圆的左焦点， 如图，过点P作PM垂直于x轴于点M，作PQ垂直于准线于点Q，由抛物线的定义知， 已知，由椭圆的定义可得， 则，，因为， 代入化简得即， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 2048不是的项 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 的前n项和等于 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知数列满足，求得通项，选项A：利用通项公式与等比数列定义验证2048是否在数列中；选项B：利用对数运算与等差数列定义判断的等差性；选项C：利用数列差与等比数列定义判断的等比性；选项D：利用等比数列求和公式结合计算前项和是否等于. 【详解】由，当 时，得，即 ； 当 时，得； 所以，化简得到； 所以是首项为1、公比为 2 的等比数列，通项为； 令，即 ，所以2048 是数列的第 12 项，故A错误； ，这是首项为 0、公差为的等差数列，故B正确； 是首项为1、公比为 2 的等比数列，故C正确； ，可知是首项为 1、公比为 4 的等比数列， 其前n项和为，而， 因此，故D正确. 故选：BCD. 10. 在棱长为2的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 若，则点的轨迹长为 D. 周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，点在线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径，判断A；B选项，先得到，故点在线段上，连接，证明出，结合锥体体积公式求三棱锥体积，判断B；C选项，由，可得点的轨迹为点为圆心，半径为的圆的一部分，由此可求轨迹长度；D选项，取线段的中点，由对称性知，数形结合得到，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A选项，当时，， 故，即， 所以点在线段的中点，连接相交于点，则为中点， 所以，由正方体性质可得平面，则平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，所以球心在的延长线上， 设，则， 由勾股定理得，即，解得，故A正确； 对于B选项，当时，， 故，即，故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以三棱锥的体积， 所以，又， 所以，故三棱锥的体积为，故B正确； 对于C选项，因为，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面，点到矩形及其内部的点的最大距离为， 故不存在点的轨迹，故C错误； 对于D选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知， 此时三点共线， 又，所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，其中A，P两点位于第一象限，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的周长为14 B. 若，，则实数的值可以为2 C. 点A到两条渐近线的距离之积为定值 D. 若，的内切圆的半径分别为，，则恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出的周长判断A；由的中点为同一点求解判断B；设出点坐标，利用点到直线距离公式计算判断C；确定内切圆的圆心位置，再求出的表达式，借助对勾函数性质求出的取值范围判断D. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 对于A，由， 因此的周长为，A正确； 对于B，，渐近线方程，设直线， 由消去得，， 设，则， 由消去得，则，， 因此，，即线段的中点重合，记线段的中点为， 则， 即，，，B错误； 对于C，点到直线的距离分别为， 则，而，即，因此，C正确； 对于D，设直线的倾斜角为，而渐近线的倾斜角分别为，则， 设内切圆的圆心分别为， 的内切圆与各边切于，的内切圆与切于，设， 由， 得，解得，即，点在直线上， 同理点也在直线上，且，而， 因此， 由，得，则，函数在上单调递减， 在上单调递增，则，，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程. 【详解】由题意得：，将代入导数中，得到切线的斜率， 已知切线过点，斜率为，可得切线方程为，整理为一般式为. 故答案为：. 13. 已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况，若点在抛物线的张口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的张口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的张口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因，则，解得或， 均不符合题意； ②如图，若点在抛物线的张口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，符合题意， 故的值等于. 故答案为： 14. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系进行求解即可； （2）含绝对值的数列前项和，需先确定数列正负分界点，再分段讨论. 【小问1详解】 当时，， 又当时，满足， 故的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，当时，；当时，； 所以当时，； 当时， ； 故 16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于点，，求的最小值及此时的值． 【答案】（1） （2）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）由圆的性质可得，圆心在的垂直平分线上，联立和可得圆心的坐标，进而求 出，可得圆的方程； （2）由（1）知圆心，半径为2，易得直线过定点，分析可得要使最小，直线必与垂直，进而求 解即可. 【小问1详解】 由题意，得直线的斜率为，且的中点为， 所以的垂直平分线所在的直线斜率为1， 故的垂直平分线所在的直线方程为． 由，得，故圆心的坐标为， 又， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知圆心，半径为2， 因为直线的方程为，即， 令，解得，故直线过定点． 又，故点在圆内， 要使最小，直线必与垂直，而直线的斜率等于， 所以直线的斜率为，则，即， 此时的最小值为． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是中点，则， 因平面，故平面. 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则得或. 故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为. 18. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足的正整数的最大值； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）99 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知递推式取倒数后变形，利用等比数列定义验证与的比值为常数，从而证明数列为等比数列. （2）表示出，求和得到，再根据数列的单调性以及不等式条件，通过代数确定满足的最大正整数. （3）由已求得的代入表达式，得，利用错位相减法求和，得到数列前项和的表达式. 【小问1详解】 证明：因为，，所以， ，所以， 又，所以，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，所以， 记， 所以， 因为，所以为递增数列， ，， 所以使得成立的正整数的最大值为99． 【小问3详解】 由（2）得，记的前项和为， 则， 上式两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以． 19. 已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解即可； （2）（i）依题意，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，以及题设条件推得，代入的表达式，利用不等式的性质即可求得的取值范围；（ii）在（i）的基础上，求出到直线的距离和弦长，代入三角形的面积公式化简计算即可证明. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：, 由椭圆经过点，可得，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）依题意，设直线的方程为， 由，消去，可得， 则 设，且，， 则 因为线段中点，则得, 又点关于点的对称点是，则得，即， 因点在椭圆上，则有，即，则有， 因 . 由，可得，则，故. 即的取值范围为； （ii）设到直线的距离为，则， ， 故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菁华校区高二第二次阶段性考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版2019选择性必修第一册全部，第二册第四章至第五章第二节． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，若，其中，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是可导函数，且，则 A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 159 B. 126 C. 109 D. 98 5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，为前项和，则（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左右焦点分别为，，抛物线，且与椭圆在第一象限交于点P，其中．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 2048不是的项 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 的前n项和等于 10. 在棱长为2的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 若，则点的轨迹长为 D. 周长的最小值为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，其中A，P两点位于第一象限，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的周长为14 B. 若，，则实数的值可以为2 C. 点A到两条渐近线距离之积为定值 D. 若，的内切圆的半径分别为，，则恒成立 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数图象在点处的切线方程为______． 13. 已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于__________. 14. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于点，，求的最小值及此时的值． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知数列满足，． （1）求证：数列为等比数列； （2）求满足的正整数的最大值； （3）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆过，不与轴垂直直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $