专题6.2 平面向量的运算（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

专题6.2 平面向量的运算 教学目标 1.掌握平面向量的加法、减法、数乘向量的定义、几何法则（三角形/平行四边形/多边形法则、相反向量法）和运算表示，能规范进行向量的线性运算。 2.理解平面向量线性运算的运算律（交换律、结合律、数乘分配律），能运用运算律简化向量运算。 3.掌握向量共线定理，能利用定理判定两个向量是否共线，解决简单的共线问题。 教学重难点 1.重点 平面向量加法、减法、数乘向量的几何法则和代数表示，能熟练进行线性运算。 2.难点 向量共线定理的条件辨析：理解“非零向量，存在唯一实数使\”中“非零”和“唯一”的必要性，避免忽略零向量的特殊情况。 知识点01 向量的加法运算 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律： ； （2）结合律： 【即学即练】 1．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 2．下列命题中错误的有（ ） A．，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D． 知识点02 向量的减法运算 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向 且 的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【即学即练】 1．化简（   ） A． B． C． D． 2．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 知识点03 数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向 ； ②当时．的方向与的方向 ； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上 为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上 为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律： ； 分配律： ， 【即学即练】 1．已知点是内一点，求证：． 2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 知识点04 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有 ．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 4、向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 5、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 【即学即练】 1．如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 2．已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 题型01 向量加法法则 【典例1】（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 【变式1】设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 题型02 向量加法运算律的应用 【典例1】若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【变式1】在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】化简或计算： (1)； (2)． 【变式3】已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 题型03 向量减法法则的应用 【典例1】如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 1、向量减法运算的常用方法 2、向量加减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和． （2）起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【变式1】化简： (1)； (2). 【变式2】已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【变式3】在菱形中，若，则 ． 题型04 向量加减法法则的几何应用 【典例1】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【变式1】如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 题型05 向量共线的判定及应用 【典例1】关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若与共线，则存在唯一实数，使得 B．若，则或 C．若，则 D．若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得 1、证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． 2、、利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【变式1】设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式2】已知，为单位向量，且与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式3】已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 题型06 求两向量的数量积 【典例1】已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式1】在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【变式2】设为单位向量，且，则 ． 【变式3】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型07 向量的模和夹角的计算问题 【典例1】设，，则与的夹角 ． 1、 求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． 2、求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【变式1】已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【变式3】已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 1．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 3．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 4．下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 5．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 6．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 7．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 8．已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 9．已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ． 10．在四边形中，，，是上的点，且，是的中点，是与的交点，设，. (1)若四边形为矩形，用向量，表示，，，并求出，，；（若建系，直接写出，，坐标即可） (2)若四边形为平行四边形，且，求的余弦值； (3)在（1）的条件下，求在上的投影向量. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 平面向量的运算 教学目标 1.掌握平面向量的加法、减法、数乘向量的定义、几何法则（三角形/平行四边形/多边形法则、相反向量法）和运算表示，能规范进行向量的线性运算。 2.理解平面向量线性运算的运算律（交换律、结合律、数乘分配律），能运用运算律简化向量运算。 3.掌握向量共线定理，能利用定理判定两个向量是否共线，解决简单的共线问题。 教学重难点 1.重点 平面向量加法、减法、数乘向量的几何法则和代数表示，能熟练进行线性运算。 2.难点 向量共线定理的条件辨析：理解“非零向量，存在唯一实数使\”中“非零”和“唯一”的必要性，避免忽略零向量的特殊情况。 知识点01 向量的加法运算 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 【即学即练】 1．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选:D. 2．下列命题中错误的有（ ） A．，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【答案】AB 【详解】对于A，的充要条件是且方向相同，A错误； 对于B，若，当时，不一定共线，B错误； 对于C，若，则存在实数，使得，C正确； 对于D，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可知，D正确， 故选：AB 知识点02 向量的减法运算 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【即学即练】 1．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】.故选：B 2．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为.故选：B 知识点03 数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 【即学即练】 1．已知点是内一点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图，延长，交线段于点．    因为三点共线， 所以 ， 所以， 所以． 2．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 知识点04 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 4、向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 5、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 【即学即练】 1．如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 2．已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【答案】(1)12 (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，， 则； （2）； （3）， 则， 因，则， 故与的夹角为 题型01 向量加法法则 【典例1】（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 【变式1】设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. 【变式2】已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是的外接圆圆心，， 所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径， 因为，所以为等边三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：A 【变式3】如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，过分别作的平行线， 分别交于， 如图，不妨设， 所以， 则， 从而， 故. 故选：A.    题型02 向量加法运算律的应用 【典例1】若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ∴. 因为为非零向量， 所以， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【变式1】在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：如图所示： 对A，， 又， 即，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，设为与的交点， 由题意可得：是的重心， 故， ，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC. 【变式2】化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）． 【变式3】已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 3 【详解】， ， 当且仅当同向时取得最大值3，当且仅当反向时取得最小值1. 故答案为：1；3. 题型03 向量减法法则的应用 【典例1】如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 1、向量减法运算的常用方法 2、向量加减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和． （2）起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【变式1】化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 【变式2】已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则， 当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有. 当与同向时有，反之也成立； 当与反向时有，，反之也成立. 故选:ABD. 【变式3】在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 题型04 向量加减法法则的几何应用 【典例1】四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1】如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 【变式2】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，. 故选：C. 【变式3】在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【详解】设三角形的重心为，由，，根据三角形重心公式，可得，， 又，即，可得，则，故A正确； 因为，，故B错误； 设的中点为，因为是三角形的重心，故，，故C正确； 设的中点为，有，而，故，故D正确. 故选：ACD. 题型05 向量共线的判定及应用 【典例1】关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若与共线，则存在唯一实数，使得 B．若，则或 C．若，则 D．若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得 【答案】D 【详解】对于A，若，此时与共线，则不存在实数，使得，故A错误； 对于B，设与是两个互相垂直的非零向量，则，但与都是非零向量，故B错误； 对于C，设，与是两个互相垂直的非零向量，且，但此时，故C错误； 对于D，由平面向量基本定理可知，若、是非共线向量，则对平面内任一向量，存在唯一一对实数、，使得，故D正确. 故选：D. 1、证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． 2、、利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【变式1】设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，所以，所以 所以. 故选：B 【变式2】已知，为单位向量，且与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为与共线， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以； （2）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 则； （3）因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与不共线， 由，得， 即，解得， 当向量与共线时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为向量与不共线，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式3】已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 【答案】/0.5 【详解】因为向量与共线，所以可设，， 所以，又向量，为单位向量，且， 所以， ， 所以，则的最小值为. 故答案为：. 题型06 求两向量的数量积 【典例1】已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式1】在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【答案】 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 【变式2】设为单位向量，且，则 ． 【答案】 【详解】因为为单位向量，且， 所以， 所以， 所以，即 故答案为： 【变式3】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 题型07 向量的模和夹角的计算问题 【典例1】设，，则与的夹角 ． 【答案】 【详解】因为，， 设与的夹角为，， 所以，所以． 故答案为：． 1、 求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． 2、求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【变式1】已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 【变式2】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 【变式3】已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 1．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 2．已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 3．均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 4．下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【详解】若与同向，但不一定与相等，，若，则与同向， 且有=，与同向是的必要不充分条件，故A正确. 若与共线，则有，故一定有三点在同一条直线上，故B正确. 若与同向，则与反向，故C正确. 当时，与不一定共线，故D错误. 故选：ABC 5．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 6．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 7．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 8．已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以 . （2）. 9．已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意，， 则， 所以， 当且仅当方向相反时等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 10．在四边形中，，，是上的点，且，是的中点，是与的交点，设，. (1)若四边形为矩形，用向量，表示，，，并求出，，；（若建系，直接写出，，坐标即可） (2)若四边形为平行四边形，且，求的余弦值； (3)在（1）的条件下，求在上的投影向量. 【答案】(1)，，，，，； (2)； (3). 【详解】（1）由，， ，若是的交点，则， 所以，则，， 由，则，即， 所以，则，故， 综上，， 所以， ， ； （2）由，， 所以， ， ， 所以； （3）由（1）， 在上的投影向量为. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $