2025-2026学年高二上学期人教A版数学选择性必修第二册期末综合检测练习卷

人教A版数学选择性必修第二册期末综合检测练习卷 (　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．设f (x)是可导函数，且＝2，则f′(1)＝(　　) A．2 B． C．－1 D．－2 2．已知数列{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝6，a4＋a6＝－20，则a8＝(　　) A．－12 B．－13 C．－22 D．－23 3．设a∈R，函数f (x)＝ex＋a·e－x的导函数是 f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　) A．－ B．－ln 2 C． D．ln 2 4．已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3，a4，a7成等比数列，则当Sn取最大值时，n＝(　　) A．2或3 B．2 C．3 D．4 5．若函数f (x)＝－ln x在区间上不单调，则实数m的取值范围为(　　) A．0<m< B．<m<1 C．≤m≤1 D．m>1 6．已知数列{an}满足an＋1＝an，a1＝1，则an＝(　　) A． B． C． D． 7．设a≠0，若a为函数f (x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 8．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题．若一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}，则称数列{an}为一阶等差数列，或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}，则称数列{an}为二阶等差数列，…，一阶等差数列、二阶等差数列等统称高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则该数列的第8项是(　　) A．25 B．2 C．221 D．228 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝，设数列{cn}的前n项和为Sn，其中cn＝，则下列四个结论中，正确的是(　　) A．a1的值为2 B．数列{an}的通项公式为an＝(3n＋1)×2n C．数列{an}为递减数列 D．Sn＝ 10．关于函数f (x)＝ex＋sin x，x∈(－π，＋∞)，下列结论正确的有(　　) A．f (x)在(0，＋∞)上是单调递增的 B．f (x)存在唯一极小值点 C．f (x)在(－π，＋∞)上有一个零点 D．f (x)在(－π，＋∞)上有两个零点 11．已知定义在R上的函数y＝f (x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．<0 B．函数f (x)在(－∞，－1)上单调递减 C．函数f (x)在x＝1处取得极大值 D．函数f (x)有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知a＝4＋2.若a，b，c三个数成等差数列，则b＝______；若a，b，c三个数成等比数列，则b＝________． 13．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 14．已知函数f (x)＝ex－e－x－2x.若f (t＋3)＋f (t－t2)>0成立，则实数t的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设等差数列{an}的公差为d，且d>1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d， 所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d. 16．(15分)已知函数g(x)＝ex＋x2，其中a∈R，e＝2.718 28…是自然对数的底数，f (x)是g(x)的导函数． (1)当a＝1时，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程； (2)当f (x)存在极值时，证明：f (x)的极值小于或等于1. 17．(15分)设函数f (x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线的方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间． 18．(17分)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且Sn＝；在等比数列{bn}中，其前n项和为Tn，且Tn＝(n∈N*)． (1)求an，bn； (2)求{anbn}的前n项和Mn. 19．(17分)已知函数f (x)＝，g(x)＝ln x－ax＋e，其中e是自然对数的底数． (1)求函数f (x)的极值； (2)对∀x1∈[－1，0]，∃x2∈[2，e2]，使f (x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围． 人教A版数学选择性必修第二册期末综合检测练习卷 (　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．B　解析：因为＝2， 所以， 所以f′(1)＝ ＝. 故选B． 2．C　解析：由题意得a1＋a2＋a3＝3a2＝6，解得a2＝2， a4＋a6＝2a5＝－20，解得a5＝－10， 故等差数列的公差为d＝＝－4， 故a8＝a2＋6d＝2－6×4＝－22. 故选C． 3．D　解析：由题可知x∈R，因为函数f (x)＝ex＋a·e－x，所以f′(x)＝ex－. 又因为f′(x)是奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0， 所以a＝1，经检验，符合题意， 所以f (x)＝ex＋，f′(x)＝ex－. 因为曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是， 所以＝ex－，解方程可得x＝ln 2. 故选D． 4．B　解析：设等差数列{an}的公差为d(d<0)，由a3，a4，a7成等比数列， 得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)， 解得a1＝－d，则an＝a1＋(n－1)d＝d. 显然等差数列{an}是递减数列，当n≤2时，an>0，当n≥3时，an<0， 所以当Sn取最大值时，n＝2. 故选B． 5．B　解析：函数f (x)＝－ln x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－. 令f′(x)＝0，得x＝1. 因为f (x)在区间上不单调， 所以解得<m<1. 故选B． 6．B　解析：由an＋1＝an且a1＝1，得， 所以(n≥2)． 所以，所以. 因为a1＝1，所以an＝. 因为a1＝1满足上式，所以an＝. 故选B． 7．D　解析：若a＝b，则f (x)＝a(x－a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b. 所以f (x)有a和b两个不同零点，且在x＝a左右附近是不变号的，在x＝b左右附近是变号的．依题意，a为函数f (x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，所以在x＝a左右附近f (x)都是小于零的． 当a<0时，由x>b时，f (x)≤0，画出f (x)的图象如图所示． 由图可知b<a，a<0，故ab>a2. 当a>0时，由x>b时，f (x)>0，画出f (x)的图象如图所示． 由图可知b>a，a>0，故ab>a2. 综上所述，ab>a2成立． 故选D． 8．C　解析：记数列1，1，2，8，64，…为{an}，设bn＝， 则b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，…， 所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n-1， 所以当n≥2时，an＝bn－1·bn－2·bn－3·…·b1·a1＝21+2+3+…＋(n-2)＝，所以a8＝＝221. 故选C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD　解析：对于A，2a1＝＝4，即a1＝2，故A正确． 对于B，2a1＋22a2＋…＋2nan＝①，2a1＋22a2＋…＋2n-1an－1＝(n≥2)②， ①－②得2nan＝3n＋1，an＝. 当n＝1时，a1＝＝2， 故数列{an}的通项公式为an＝，故B错误． 对于C，令an＋1－an＝， 因为n≥1，所以an＋1－an＝<0，数列{an}为递减数列，故C正确． 对于D，cn＝ ＝， Sn＝ ＝，故D正确． 故选ACD． 10．ABD　解析：由已知f (x)＝ex＋sin x，x∈(－π，＋∞)，得f′(x)＝ex＋cos x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－sin x， 当x∈(－π，0时，ex＞0，－sin x≥0，g′(x)>0， 当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，－sin x∈[－1，1]0，g′(x)>0， 即当x∈(－π，＋∞)时，g′(x)>0恒成立， f′(x)在(－π，＋∞)上单调递增． 又f′<0，f′>0，f′(0)＝2>0， 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>f′(0)>0，且存在唯一实数x0∈，使f′(x0)＝0，即， 所以f (x)在(0，＋∞)上是单调递增的，且f (x)存在唯一极小值点x0，故A，B选项正确． 由上述知f (x)在(－π，x0)上单调递减，(x0，＋∞)上单调递增， 又f (－π)＝e－π＋0>0，f (x0)＝＋sin x0＝－cos x0＝sin <0，f (0)＝1>0，所以f (x)在(－π，＋∞)上有两个零点，故D选项正确，C选项错误． 故选ABD． 11．ABC　解析：对于A，由题图可知， ＝f′(－2)<0，故A正确； 对于B，由题图可知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)≤0恒成立， 故函数f (x)在(－∞，－1)上单调递减，故B正确； 对于C，由题图可知，当x∈(－1，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)，f′(x)<0， 故函数f (x)在x＝1处取得极大值，故C正确； 对于D，由题图可知，当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0恒成立， 故f (x)在(3，＋∞)上单调递增，无最大值，故D错误． 故选ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 4　±2　 解析：若a，b，c三个数成等差数列， 则b＝＝4. 若a，b，c三个数成等比数列， 则b2＝ac＝＝4⇒b＝±2. 13． (－∞，－4)∪(0，＋∞)　 解析：因为y＝(x＋a)·ex，所以y′＝(x＋1＋a)ex. 设切点为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝， 切线方程为(x－x0)． 因为切线过原点，所以(－x0)， 整理得＋ax0－a＝0. 因为切线有两条，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， 所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 14． (－1，3)　 解析：由题得函数的定义域为R.因为f (－x)＝e－x－ex＋2x＝－f (x)，所以函数f (x)是奇函数．又f′(x)＝ex＋e－x－2≥2 f (t+3)>0f (t+3)， 所以t＋3>t2－t，所以t2－2t－3<0，解得－1<t<3. 所以实数t的取值范围为(－1，3)． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d， 所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d. 又T3＝b1＋b2＋b3＝，所以S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， 所以an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2)因为{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即， 所以6，即，即－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d. 因为d>1，所以an>0. 又S99－T99＝99，由等差数列的性质知， 99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， 所以a50－＝1，即－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，故舍去； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝>1，符合题意． 综上所述，d＝. 16． (1)解：由题设f (x)＝ex＋ax，当a＝1时，g(x)＝ex＋x2，f (x)＝ex＋x，则f (1)＝e＋1，g(1)＝e＋， 故曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y－g(1)＝f (1)(x－1)， 整理得2(e＋1)x－2y－1＝0. (2)证明：由(1)得f (x)＝ex＋ax，求导得f′(x)＝ex＋a. 当a≥0时，f′(x)>0，f (x)单调递增，故f (x)不存在极值． 当a<0时，存在x0∈R， 使得f′(x0)＝0，且x0＝ln (－a)， 在(－∞，x0)上f′(x)<0，f (x)单调递减， 在(x0，＋∞)上f′(x)>0，f (x)单调递增， 此时f (x)存在极值f (x0)． 由计算得f (x0)＝f (ln (－a))＝eln (－a)＋a ln (－a)＝－a＋a ln (－a)． 设h(a)＝－a＋a ln (－a)，a<0，则h′(a)＝－1＋ln(－a)＋1＝ln (－a)． 当a<－1时h′(a)＝ln (－a)>0，当－1<a<0时，h′(a)＝ln (－a)<0， 所以a＝－1时，h(a)取得极大值，也是最大值，故 h(a)≤h(－1)＝1－ln 1＝1， 即f (x)的极值小于或等于1. 17． 解：(1)因为f (x)＝x－x3eax＋b，x∈R，所以f′(x)＝1－(3x2＋ax3)eax＋b. 因为曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线的方程为y＝－x＋1， 所以f (1)＝0，f′(1)＝－1， 则解得 所以a＝－1，b＝1. (2)由(1)得g(x)＝f′(x)＝1－(3x2－x3)e－x+1(x∈R)， 则g′(x)＝－x(x2－6x＋6)e－x+1. 令x2－6x＋6＝0，解得x＝3±，不妨设x1＝3－，则0<x1<x2， 易知e－x+1>0恒成立， 所以令g′(x)<0，解得0<x<x1或x>x2； 令g′(x)>0，解得x<0或x1<x<x2. 所以g(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)，(x1，x2)上单调递增， 即g(x)的单调递减区间为和，单调递增区间为(－∞，0)和. 18． 解：(1)由S1＝＝a1，解得a1＝1. 又S2＝a1＋a2＝1＋a2＝，所以a2＝3或－1. 因为a2＝－1时，a3＝－3，此时S3＝a1＋a2＋a3＝－3≠2＝1，故a2＝－1 舍去． 所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝2， 所以an＝2n－1. 同理可得b1＝1，b2＝3或－1. 因为b2＝3时，b3＝9，此时T3＝b1＋b2＋b3＝13≠＝25，故b2＝3舍去． 又{bn}为等比数列，所以bn＝(－1)n-1. (2)因为Mn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn， 所以Mn＝1×(－1)0＋3×(－1)1＋5×(－1)2＋…＋(2n－1)×(－1)n-1①， 则－Mn＝1×(－1)1＋3×(－1)2＋5×(－1)3＋…＋(2n－1)×(－1)n②， ①－②得2Mn＝1＋2×(－1)1＋2×(－1)2＋2×(－1)3＋…＋2×(－1)n-1－(2n－1)×(－1)n＝1＋2×－(2n－1)×(－1)n， 所以Mn＝n×(－1)n-1. 19． 解：(1)因为f (x)＝，该函数的定义域为R，所以f′(x)＝. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由表可得f (x)极小值＝f (0)＝0，f (x)极大值＝f (2)＝. (2)由题意可得，∀x1∈[－1，0]，∃x2∈[2，e2]，使f (x1)max≤g(x2)成立． 由(1)可知f (x1)在[－1，0]上单调递减， 所以f (x1)max＝f (－1)＝e，所以ln x2－ax2＋e≥e在[2，e2]上有解，即a≤在[2，e2]上有解． 令h(x2)＝，x2∈[2，e2]，则h′(x2)＝，令h′(x2)＝0，得x2＝e. 当x2变化时，h′(x2)，h(x2)的变化情况如下表： x2 2 (2，e) e (e，e2) e2 h′(x2) ＋ 0 － h(x2) 单调递增 极大值 单调递减 所以h(x2)max＝，所以a≤.故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $