单元培优讲义：专题03 解决问题的策略（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题03 解决问题的策略 考点梳理 1 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1 考点二、列表法解鸡兔同笼 2 考点三、假设法解鸡兔同笼 2 考点四、方程法解鸡兔同笼 3 例题讲解 3 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 3 题型二、列表法解鸡兔同笼 5 题型三、假设法解鸡兔同笼 7 题型四、方程法解鸡兔同笼 8 考点练习 9 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 9 练习二、列表法解鸡兔同笼 13 练习三、假设法解鸡兔同笼 18 练习四、方程法解鸡兔同笼 21 考点梳理 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1.画图法解决分数问题 (1)核心作用：将抽象的分数数量关系转化为直观图形，清晰呈现单位“1”、分率、对应数量的逻辑关系，降低分析难度。 (2)常用图形类型：以线段图为核心，复杂问题可辅助长方形、圆形等示意图。 (3)线段图绘制要点： ①　定位单位“1”：把题目中作为参照标准的总量用一条完整线段表示； ②　分段标注信息：根据分数关系将线段按分率拆分，标注已知分率和对应数量； ③　分析对应关系：通过线段长度比例，明确已知数量对应的分率，或未知分率对应的数量。 2.转化法解决分数与比的问题 (1)分数与比的双向转化： ①　若甲数是乙数的 （ ），可转化为甲数:乙数= ；若甲数比乙数多（或少） ，则甲数:乙数= （或 ）； ②　多量连比转化：若甲是乙的 ，乙是丙的 ，可推导甲:乙:丙= ，将分数关系统一为整数连比后，可按比例分配求解。 (2)单位“1”的统一转化： ①　当题目存在多个不同单位“1”时，以与各量均有分数关联的中间量为桥梁，将所有分率统一为以同一个量为单位“1”的分率； ②　例如：甲是乙的 ，丙是乙的 ，可将乙设为单位“1”，则甲为 、丙为 ，再结合问题分析计算。 (3)分数问题转整数比问题：将分数关系转化为份数关系，把复杂分数运算简化为整数按比例分配，提升计算效率。 考点二、列表法解鸡兔同笼 1.方法定义：通过枚举鸡和兔的不同数量组合，计算对应总脚数，与题目给定总脚数对比，找到符合条件的数量组合的枚举类方法。 2.常见列表类型： (1)逐一列表法：从鸡的数量为0、兔的数量为总头数开始，依次增减鸡兔数量，逐一计算总脚数，直至匹配实际总脚数； (2)跳跃列表法：根据假设脚数与实际脚数的差额，每次跳跃多个数量枚举（如脚数远大于实际，大幅减少兔的数量），减少枚举次数； (3)折中列表法：从总头数的中间数量开始枚举（如总头数20，先假设鸡10只、兔10只），根据脚数差额调整方向，快速缩小范围。 3.核心操作要点： (1)固定总头数：列表中每组的鸡数+兔数始终等于题目给定的总头数； (2)准确计算脚数：总脚数=鸡数×2 + 兔数×4，严格遵循鸡兔脚数的基本属性； (3)定向调整：计算后将总脚数与题目数值对比，脚数多则减少兔的数量，脚数少则增加兔的数量。 考点三、假设法解鸡兔同笼 1.方法核心原理：通过假设所有动物为同一种（全鸡或全兔），计算假设总脚数与实际总脚数的差额，利用两种动物的脚数差，反推另一种动物的数量。 2.两种假设思路： (1)假设全是鸡： ①　假设总脚数=总头数×2； ②　脚数差额=实际总脚数 - 假设总脚数（差额为正，因把兔当成鸡，每只少算2只脚）； ③　兔的数量=脚数差额÷(4-2)； ④　鸡的数量=总头数 - 兔的数量。 (2)假设全是兔： ①　假设总脚数=总头数×4； ②　脚数差额=假设总脚数 - 实际总脚数（差额为正，因把鸡当成兔，每只多算2只脚）； ③　鸡的数量=脚数差额÷(4-2)； ④　兔的数量=总头数 - 鸡的数量。 3.关键注意点：脚数差额的本质是两种动物的脚数差（4-2=2），需准确对应差额与目标动物数量的逻辑关系，避免计算混淆。 考点四、方程法解鸡兔同笼 1.方法核心：通过设未知数表示鸡或兔的数量，以“鸡的总脚数+兔的总脚数=实际总脚数”为等量关系列方程，用代数方法求解。 2.两种设未知数方式： (1)设兔的数量为 只，则鸡的数量为（总头数- ）只； (2)设鸡的数量为 只，则兔的数量为（总头数- 0）只。 3.列方程与求解步骤： (1)核心等量关系： ； (2)以设兔为 为例，方程为： ； (3)解方程：展开化简得 ，解得 ，即兔的数量，再推导鸡的数量。 4.关键要点：找准等量关系是核心，设未知数时优先选择便于计算的量（通常设脚数多的动物为未知数，减少分数运算）。 例题讲解 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 【例题1】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【答案】；350元；图见详解 【分析】（1）根据“裤子的价格是上衣的”可知，如果把上衣的价格看作7份，则裤子就是5份，据此补全线段图； （2）把上衣的价格看作7份，则裤子的价格是5份，总价就是7＋5＝12份，据此用裤子的份数除以总价的份数即可得到裤子的价格是总价的几分之几； （3）根据套装的价格是在830~850之间的整数，且总价是12的倍数，找出830~850之间是12的倍数的整数就是套装的价格，再用套装的价格乘裤子的价格占总价的分率即可得到裤子的价格。 【详解】补全线段图如下： 5÷（5＋7） ＝5÷12 ＝ 830~850之间，只有整数840是12的倍数，所以这款套装的价格是840元； 840×＝350（元） 答：裤子的价格是总价的，裤子是350元。 【练习1】甲、乙、丙三个班共种树120棵，甲班种了乙班的。乙与丙种的棵数比是4∶3，甲比丙多种多少棵？ 【答案】20棵 【分析】由题可知，甲班种了乙班的，则甲种与乙种的棵树比是5∶4；又知乙与丙种的棵数比是4∶3，可得甲∶乙∶丙＝5∶4∶3，用甲、乙、丙三个班共种树的棵数除以（5＋4＋3），得出1份的棵数，再乘甲比丙多种的份数即可。 【详解】甲∶乙5∶4 乙∶丙＝4∶3 甲∶乙∶丙＝5∶4∶3 120÷（5＋4＋3） ＝120÷12 ＝10（棵） 10×（5－3） ＝10×2 ＝20（棵） 答：甲比丙多种20棵。 题型二、列表法解鸡兔同笼 【例题2】王叔叔用100个轮子装配自行车和三轮车，一共装配了38辆，王叔叔装配的三轮车和自行车各有多少辆？ 自行车辆数 三轮车辆数 轮子总个数 与100个轮子比较 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 王叔叔装配的自行车有（    ）辆，装配的三轮车有（    ）辆。 【答案】见详解 【分析】第一栏自行车24辆，三轮车14辆，轮子总数比100个少10个，说明自行车辆数多了；第二栏要减少自行车的辆数，增加三轮车的辆数；直到轮子数正好是100个，这样就能确定自行车和三轮车的辆数。 【详解】 自行车辆数 三轮车辆数 轮子总个数 与100个轮子比较 24 14 90 少10个 19 19 95 少5个 14 24 100 相等 王叔叔装配的自行车有14辆，装配的三轮车有24辆。 【练习2】某县外国语学校六（1）班两位老师和40名学生去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船可以坐5人，每只小船可以坐3人。需要租大船、小船各多少只？（用画图的方法解答） 【答案】大船：6只；小船：4只 【分析】本题可以根据题目意思“两位老师和40名学生去公园划船，租10只船正好坐满”从两个方面来进行考虑： （1）可以在表格中将船的数量保持在10只，通过大船和小船计算人数，看哪一个人数是（2＋40），即可得知需要租大船、小船各多少只。 （2）可以将总人数一定，控制在（40＋2）人，看哪种租法总船数和为10即可。 【详解】40＋2＝42（人） 控制总人数不变，作图如下： 大船/台 3 6 小船/台 9 4 总人数/人 42 42 6＋4＝10（台） 答：需要租大船6只、小船4只。 题型三、假设法解鸡兔同笼 【例题3】学校举行抢答比赛，答对一题加10分，答错一题扣2分，3号选手共抢答11题，最后得86分，他答对了( )题。 【答案】9 【分析】假设3号选手11题全答对，依此计算出11题全答对的总得分，然后用全答对的总得分与实际得分的差，除以答对1题与答错1题的得分差，得到的数就是答错的题数，然后用总题数减答错的题数，就是答对的题数，依此计算。 【详解】假设3号选手11题全答对。 总得分与实际得分的差：=（分） 答对1题与答错1题的得分差：（分） 答错的题数：（道） 答对的题数：（道） 所以他答对了9道题。 【练习3】六（1）班师生50人去博物馆研学，共付门票1075元。已知每张成人票是35元，每张学生票是20元，师生各买了多少张门票？ 【答案】老师买了5张；学生买了45张 【分析】可以通过假设法，利用总人数和总门票费用的关系来求解师生分别购买门票的数量。 假设全是学生票已知师生共50人，如果全是学生，那么买门票需要花费50×20＝1000元。但实际共付门票1075元，比全是学生票的情况多了1075－1000＝75元。每张成人票比每张学生票贵35－20＝15元。多出来的75元就是因为有成人票，所以用75元除以15元即可得出成人票的数量。师生总人数是50人，然后按减法即可解答。 【详解】50×20＝1000（元） 1075－1000＝75（元） 35－20＝15（元） 75÷15＝5（张） 50－5＝45（人）（即学生买的门票数） 答：老师买了5张门票，学生买了45张门票。 题型四、方程法解鸡兔同笼 【例题4】一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了21分，他投中的2分球和3分球各有多少个？ 【答案】6个；3个 【分析】由题意可知，我们可以他设投中了x个3分球，则他投进了（9－x）个2分球，再根据等量关系“2分球得分＋3分球得分＝21分”列出方程求解，然后再用9减去3分球的个数，就可以得到2分球的个数。据此解答即可。 【详解】解：设他设投中了x个3分球，则他投进了（9－x）个2分球。 2（9－x）＋3x ＝21 18－2x＋3x＝21 18＋x＝21 18＋x－18＝21－18 x＝3 2分球个数：9－x＝9－3＝6（个） 答：他投中的2分球有6个，3分球有3个。 【练习4】每年的3月12日是我国的植树节。为了绿化环境，淮安市高良涧小学师生100人去植树，老师每人植3棵，学生每人植1棵，共植了140棵，老师和学生各有多少人？ 【答案】20人；80人 【分析】将老师人数设为未知数，学生人数＝总人数－老师人数，根据等量关系式：老师植树总棵树＋学生植树总棵树＝植树总棵树，列方程解答即可。 【详解】解：设参加植树的老师有人，则参加植树的学生有（100－）人。 3＋（100－）×1＝140 3＋100－＝140 3－＝140－100 2＝40 ＝40÷2 ＝20 学生：100－20＝80（人） 答：老师有20人，学生有80人。 考点练习 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1．一套课桌椅的价格是320元，其中椅子的价格是课桌的，课桌的价格是（    ）元。 A．120 B．192 C．128 D．200 【答案】D 【分析】椅子的价格是课桌的，那么椅子和课桌的价格之比是3∶5，一套桌椅价格对应的份数是（3＋5）份。将一套桌椅价格除以对应的份数，求出一份的价格。将一份的价格乘课桌价格的份数5份，求出课桌的实际价格。 【详解】根据题意，椅子和课桌的价格之比是3∶5， 320÷（3＋5） ＝320÷8 ＝40（元） 40×5＝200（元） 课桌的价格是200元。 故答案为：D 2．松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答） 【答案】松树72棵，柏树120棵 【分析】把柏树的棵数看作单位“1”，松树是柏树的，松树比柏树少了（1－），对应的数量是48棵，根据分数除法的意义，用48除以（1－），即可求出柏树的棵数，进而求出松树的棵数。 【详解】如图： 柏树： 48÷（1－） ＝48÷ ＝48× ＝120（棵） 松树：120－48＝72（棵） 答：松树有72棵，柏树有120棵。 【点睛】找准单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量。 3．学校举办“绳彩飞扬，阳光大课间”跳绳比赛，参加比赛的学生人数在170～180人之间。已知男生人数是女生人数的，参赛男生、女生各有多少人？ 【答案】男生75人，女生100人 【分析】已知男生人数是女生人数的，把女生的人数看成单位“1”，假设女生人数有4份，男生人数有3份，则总人数有4＋3＝7份；因为人数必须是整数，所以总人数是7的倍数且在170～180人之间，用180除以7，商就是1份的人数，分别乘3、乘4计算出男生人数和女生人数。 【详解】3＋4＝7 180÷7＝25……5 3×25＝75（人）    4×25＝100（人）   答：参赛男生有75人，女生有100人。 4．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】180千米 【分析】货车的速度是客车的，即货车与客车的速度比是2∶3，由于时间一定，所以相遇时，货车与客车的路程比也是2∶3，即把总路程平均分成2＋3＝5份，货车行驶了这样的2份，客车行驶了这样的3份，已知甲、乙两地间的铁路长300千米，除以5计算出1份的长度，再乘3计算出3份的长度，即相遇时客车行驶的路程。 【详解】 2＋3＝5 300÷5×3 ＝60×3 ＝180（千米） 答：相遇时客车行驶了180千米。 5．小明家养了白、黑、灰三种兔子，其中白兔有48只，黑兔是白兔的，又是灰兔的。黑兔有多少只？灰兔有多少只？ 【答案】黑兔：32只；灰兔：80只 【分析】黑兔是白兔的，又是灰兔的，那么黑兔、白兔、灰兔的数量比是2∶3∶5，兔子一共有（2＋3＋5）份。将白兔数量除以3，求出一份兔子有几只。将一份数量乘2份，求出黑兔。将一份数量乘5份，求出灰兔数量。 【详解】黑兔、白兔、灰兔的数量比是2∶3∶5，总份数：2＋3＋5＝10（份） 48÷3＝16（只） 黑兔：16×2＝32（只） 灰兔：16×5＝80（只） 答：黑兔有32只，灰兔有80只。 6．两个仓库共有货物840吨。从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答） 【答案】540吨；300吨；作图见详解 【分析】将甲仓库货物吨数看作单位“1”，从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，说明甲仓库比乙仓库多了2个甲仓库的，据此作图；两个仓库货物总吨数占甲仓库的（1－×2＋1），货物总吨数÷对应分率＝甲仓库货物吨数，总吨数－甲仓库货物吨数＝乙仓库货物吨数，据此列式解答。 【详解】 840÷（1－×2＋1） ＝840÷（1－＋1） ＝840÷ ＝540（吨） 840－540＝300（吨） 答：甲仓库原来有540吨，乙仓库原来有300吨。 【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。 练习二、列表法解鸡兔同笼 1．插座有的是两孔的，有的是三孔的。乐乐数了一下，家里有15个插座共36个孔。根据表中的数据接着填一填。 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 两孔插座有（    ）个，三孔插座有（    ）个。 【答案】 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 8 7 多1个 9 6 相等 两孔插座：9个；三孔插座：6个 【分析】根据孔的总个数比36个多，要想孔的总个数减少，只能减少三孔插座的个数，增加两孔插座的个数，直到找到孔的总个数和36个相等为止，据此解答。 【详解】 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 8 7 多1个 9 6 相等 两孔插座：9个；三孔插座：6个 2．要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 【答案】表格见详解 大盒子3个，小盒子7个 【分析】先假设装了5个大盒、5个小盒，算出共装乒乓球的个数，再与89个比较，进而调整大小盒的个数，直到找出正确答案，据此解答。 【详解】大盒子5个，小盒子5个：（个） 大盒子4个，小盒子6个：（个） 大盒子3个，小盒子7个：（个） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 5 5 95 多 4 6 92 多 3 7 89 一样多 故使每个盒子都恰好装满，需要大盒子3个，小盒子7个。 3．仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 【答案】大药水瓶：8个；小药水瓶：10个；填表见详解 【分析】根据题意，每个大药水瓶的容量×大药水瓶的个数＋每个小药水瓶的容量×小药水瓶的个数＝药水的毫升数，据此可以用分段举例的方法，可以先假设大药水瓶有2个，则小药水瓶有18－2＝16个，再根据等量关系算出此时药水的毫升数，再用减法求出与给出的药水总量3000毫升相差多少；据此用列表法求解，直到找出药水总量是3000毫升的药水瓶数即可。 【详解】①小药水瓶的个数：18－2＝16（个） 药水的毫升数：2×250＋16×100 ＝500＋1600 ＝2100（毫升） 2100＜3000 3000－2100＝900（毫升） ②小药水瓶的个数：18－4＝14（个） 药水的毫升数：4×250＋14×100 ＝1000＋1400 ＝2400（毫升） 2400＜3000 3000－2400＝600（毫升） ③小药水瓶的个数：18－6＝12（个） 药水的毫升数：6×250＋12×100 ＝1500＋1200 ＝2700（毫升） 2700＜3000 3000－2700＝300（毫升） ④小药水瓶的个数：18－8＝10（个） 药水的毫升数：8×250＋10×100 ＝2000＋1000 ＝3000（毫升） 3000＝3000 填表如下： 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 2 16 2100 少900毫升 4 14 2400 少600毫升 6 12 2700 少300毫升 8 10 3000 相等 答：大药水瓶有8个，小药水瓶有10个。 4．鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各有多少只？（列表解决） 头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 结论 20 10 10 60 × 【答案】鸡有13只；兔有7只 【分析】根据鸡有2条腿，兔子有4条腿，分别先假设从兔有10只，鸡有（20－10）只开始列表计算即可。 【详解】 头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 结论 20 10 10 60 × 20 11 9 58 × 20 12 8 56 × 20 13 7 54 √ 20 14 6 52 × 答：鸡有13只，兔有7只。 【点睛】解决鸡兔同笼问题往往用假设法解答，有些应用题中有两个或两个以上的未知量，思考问题时，可以假设要求的两个或两个以上的未知量相等，或假设它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如果数量上出现矛盾，可适当调整，以求出正确的结果。 5．2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱：6组；双人合唱：12组 【分析】分析题目，单人独唱组组数＋双人合唱组组数＝18，单人独唱组的组数×1＋双人合唱组的组数×2＝总人数，据此列出表格，找出总人数为30的方法即为所求。 【详解】 单人独唱组/组 9 8 7 6 双人合唱组/组 9 10 11 12 总人数/人 27 28 29 30 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 练习三、假设法解鸡兔同笼 1．鸡兔同笼共有头48个，脚126只。兔有( )只，鸡有( )只。 【答案】 15 33 【分析】首先假设48只都是兔子，总脚数是192只，总脚数比实际的多了66只；一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是每多2只脚就对应一只鸡，所以66除以2等于鸡的只数，再用总数量减去鸡的数量，即可求出兔子的数量。 【详解】（只） （只） （只） （只） 所以兔有15只，鸡有33只。 2．“何人不爱牡丹花，占断城中好物华。”4~5月份的洛阳，牡丹花竞相争艳，游客络绎不绝。某店出售各种牡丹种子，有20粒装和30粒装两种不同的规格共40袋，共980粒种子。其中20粒装的牡丹种子有( )袋，30粒装的牡丹种子有( )袋。 【答案】 22 18 【分析】假设法解题，先假设全是30粒装的种子，计算出与实际粒数的差额，再根据每袋两种规格种子的粒数差，求出20粒装的袋数，最后用总袋数减去20粒装的袋数得到30粒装的袋数。 【详解】假设全是30粒装的种子。 总粒数：30×40＝1200（粒） 与实际粒数差额：1200－980＝220（粒） 每袋两种规格粒数差：30－20＝10（粒） 20粒装的袋数：220÷10＝22（袋） 30粒装的袋数：40－22＝18（袋） 所以，20粒装的牡丹种子有22袋，30粒装的牡丹种子有18袋。 3．晨晨参加的“普法小达人”知识竞答活动规定：答对一题得5分，放弃一题得0分，答错一题扣1分。晨晨这次共答21道题。得了75分。他答对几题？答错几题？ 【答案】16题；5题 【分析】本题可通过“假设法”求解，假设全答对，共答21题，全答对得分为5×21＝105分。实际得75分，总差值为105－75＝30分（即少得30分）。 若全是答错导致少分：答错1题少得6分，30分对应答错30÷6＝5题，无余数，说明没有放弃的题。若有放弃题：放弃1题少得5分，会导致总差值无法被6整除，因此排除放弃题的可能。总题数21题，答错5题，故答对题数为21－5＝16题。 【详解】假设全答对。 5×21＝105（分） 105－75＝30（分） 30÷6＝5（题） 21－5＝16（题） 答：他答对16题，答错5题。 4．风筝制作非遗传承人杨师傅走进社区，和居民们一起参与“传播传统文化，传承风筝技艺”的活动。杨师傅带领大家用78根竹条制作了18个风筝，其中制作一个软翅风筝需要3根竹条，制作一个硬翅风筝需要5根竹条，那么本次活动一共做了多少个软翅风筝？ 【答案】6个 【分析】假设全是硬翅风筝，应该用（5×18）根竹条，比实际多了（5×18－78）根竹条，因为将软翅风筝看成硬翅风筝，每个软翅风筝多算了（5－3）根竹条，比实际多的竹条数量÷每个软翅风筝多算的数量＝软翅风筝的数量，据此列式解答。 【详解】（5×18－78）÷（5－3） ＝（90－78）÷2 ＝12÷2 ＝6（个） 答：本次活动一共做了6个软翅风筝。 5．西街小学买了两种钢笔共165支奖励给学生，一种钢笔每盒10支，另一种钢笔每盒15支。这两种钢笔共买了16盒，每种钢笔各买了多少盒？ 【答案】每盒10支的钢笔买了15盒，每盒15支的钢笔买了1盒。 【分析】根据鸡兔同笼的方法，假设全部是每盒15支钢笔，即可用乘法计算16盒的总数量，再减去165得到多出来的数量，多出来的就是每盒只有10支，我多假设了支，用除法可求出每盒只有10支的盒数，再用16减每盒只有10支的盒数得另一种的盒数。 【详解】 （盒） （盒） 答：每盒10支的钢笔买了15盒，每盒15支的钢笔买了1盒。 6．张茜的爸爸买了两种茶叶，一种是绿茶，每千克180元；一种是红茶，每千克240元。这两种茶叶的总重量是10千克，一共用去2220元，张茜的爸爸两种茶叶各买了多少千克？各花去多少元？ 【答案】绿茶3千克；红茶7千克；绿茶花了540元；红茶花了1680元 【分析】先假设全部买的是其中一种茶叶，算出与实际花费的差值，再根据两种茶叶的单价差，求出另一种茶叶的重量，进而得出两种茶叶各自的重量和花费。 【详解】假设都是红茶，则绿茶有： （240×10－2220）÷（240－180） ＝（2400－2220）÷60 ＝180÷60 ＝3（千克） 红茶有：10－3＝7（千克） 3×180＝540（元） 7×240＝1680（元） 答：张茜的爸爸买了绿茶3千克，红茶7千克；绿茶花了540元，红茶花了1680元。 练习四、方程法解鸡兔同笼 1．鸡兔同笼，共有38个头，104条腿，求鸡兔各有几只？（列方程解） 【答案】鸡有24只，兔有14只 【分析】本题是鸡兔同笼问题，已知总头数38个和总腿数104条。鸡有2条腿，兔有4条腿。根据题意，设鸡有x只，则兔有（38－x）只，利用总腿数列出方程：2x＋4（38－x） ＝104。解此方程即可求出鸡和兔的数量。 【详解】解：设鸡有只，则兔有（38－）只。 根据总腿数列方程： 2＋4（38－）＝104 2＋152－4＝104 152－2＝104 152－2＋2＝104＋2 104＋2＝152 104＋2－104＝152－104 2＝48 22＝482 ＝24 兔的数量：38－24＝14（只） 答：鸡有24只，兔有14只。 2．12人去划船，共租用了5条船，每条大船坐3人，每条小船坐2人，租用的大船、小船各有几条？ 【答案】2条；3条 【分析】这道题需要学生根据列方程解决实际问题的方法和步骤，先设需要租用大船x条，则知道租用小船（5－x）条，然后根据题目中已知的数量关系“坐大船的人数＋坐小船的人数＝12人”，列出方程，求解即可知道租用大船的数量，再代入5－x，可知租用小船的数量。 【详解】解：设需要租用大船x条，则租用小船（5－x）条。 3x＋2（5－x）＝12 3x＋10－2x＝12 x＋10＝12 x＋10－10＝12－10 x＝2 小船：5－x＝5－2＝3（条） 答：租用的大船有2条，小船有3条。 3．小明把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。一个大杯的容量是一个小杯容量的2倍，一个小杯和一个大杯的容量各是多少毫升？ 【答案】80毫升；160毫升 【分析】设一个小杯的容量是x毫升，则一个大杯的容量是2x毫升，根据小杯容量×小杯个数＋大杯容量×大杯个数＝果汁体积，列出方程求出x的值是小杯容量，小杯容量×2＝大杯容量。 【详解】解：设一个小杯的容量是x毫升。 5x＋2x×2＝720 5x＋4x＝720 9x＝720 9x÷9＝720÷9 x＝80 80×2＝160（毫升） 答：一个小杯和一个大杯的容量各是80毫升、160毫升。 4．松鼠妈妈采松子。晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是雨天？ 【答案】6天 【分析】先用总采量除以平均每天采量求出总天数为8天。设雨天有天，则晴天为（）天，根据总采量112个列方程求解。 【详解】总天数：（天） 解：设雨天有天，则晴天为（）天。 答：这几天当中有6天是雨天。 5．同学们在美术课上学习制作中国结，制作一个小中国结需要7分米红绳，制作一个大中国结需要11分米红绳，一共做了20个中国结，共用去184分米红绳。请问同学们制作了多少个大中国结？ 【答案】11个 【分析】分析题目，设同学们制作了x个大中国结，则制作了（20－x）个小中国结，根据等量关系式：制作一个大中国结需要的红绳长度×制作的大中国结的个数＋制作一个小中国结需要的红绳长度×制作的小中国结的个数＝184列出方程11x＋7（20－x）＝184，进一步解出方程即可。 【详解】解：设同学们制作了x个大中国结，则制作了（20－x）个小中国结。 11x＋7（20－x）＝184 11x＋140－7x＝184 4x＝184－140 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 答：同学们制作了11个大中国结。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题03 解决问题的策略 考点梳理 1 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1 考点二、列表法解鸡兔同笼 2 考点三、假设法解鸡兔同笼 2 考点四、方程法解鸡兔同笼 3 例题讲解 3 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 3 题型二、列表法解鸡兔同笼 4 题型三、假设法解鸡兔同笼 5 题型四、方程法解鸡兔同笼 5 考点练习 6 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 6 练习二、列表法解鸡兔同笼 8 练习三、假设法解鸡兔同笼 9 练习四、方程法解鸡兔同笼 11 考点梳理 考点一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1.画图法解决分数问题 (1)核心作用：将抽象的分数数量关系转化为直观图形，清晰呈现单位“1”、分率、对应数量的逻辑关系，降低分析难度。 (2)常用图形类型：以线段图为核心，复杂问题可辅助长方形、圆形等示意图。 (3)线段图绘制要点： ①　定位单位“1”：把题目中作为参照标准的总量用一条完整线段表示； ②　分段标注信息：根据分数关系将线段按分率拆分，标注已知分率和对应数量； ③　分析对应关系：通过线段长度比例，明确已知数量对应的分率，或未知分率对应的数量。 2.转化法解决分数与比的问题 (1)分数与比的双向转化： ①　若甲数是乙数的 （ ），可转化为甲数:乙数= ；若甲数比乙数多（或少） ，则甲数:乙数= （或 ）； ②　多量连比转化：若甲是乙的 ，乙是丙的 ，可推导甲:乙:丙= ，将分数关系统一为整数连比后，可按比例分配求解。 (2)单位“1”的统一转化： ①　当题目存在多个不同单位“1”时，以与各量均有分数关联的中间量为桥梁，将所有分率统一为以同一个量为单位“1”的分率； ②　例如：甲是乙的 ，丙是乙的 ，可将乙设为单位“1”，则甲为 、丙为 ，再结合问题分析计算。 (3)分数问题转整数比问题：将分数关系转化为份数关系，把复杂分数运算简化为整数按比例分配，提升计算效率。 考点二、列表法解鸡兔同笼 1.方法定义：通过枚举鸡和兔的不同数量组合，计算对应总脚数，与题目给定总脚数对比，找到符合条件的数量组合的枚举类方法。 2.常见列表类型： (1)逐一列表法：从鸡的数量为0、兔的数量为总头数开始，依次增减鸡兔数量，逐一计算总脚数，直至匹配实际总脚数； (2)跳跃列表法：根据假设脚数与实际脚数的差额，每次跳跃多个数量枚举（如脚数远大于实际，大幅减少兔的数量），减少枚举次数； (3)折中列表法：从总头数的中间数量开始枚举（如总头数20，先假设鸡10只、兔10只），根据脚数差额调整方向，快速缩小范围。 3.核心操作要点： (1)固定总头数：列表中每组的鸡数+兔数始终等于题目给定的总头数； (2)准确计算脚数：总脚数=鸡数×2 + 兔数×4，严格遵循鸡兔脚数的基本属性； (3)定向调整：计算后将总脚数与题目数值对比，脚数多则减少兔的数量，脚数少则增加兔的数量。 考点三、假设法解鸡兔同笼 1.方法核心原理：通过假设所有动物为同一种（全鸡或全兔），计算假设总脚数与实际总脚数的差额，利用两种动物的脚数差，反推另一种动物的数量。 2.两种假设思路： (1)假设全是鸡： ①　假设总脚数=总头数×2； ②　脚数差额=实际总脚数 - 假设总脚数（差额为正，因把兔当成鸡，每只少算2只脚）； ③　兔的数量=脚数差额÷(4-2)； ④　鸡的数量=总头数 - 兔的数量。 (2)假设全是兔： ①　假设总脚数=总头数×4； ②　脚数差额=假设总脚数 - 实际总脚数（差额为正，因把鸡当成兔，每只多算2只脚）； ③　鸡的数量=脚数差额÷(4-2)； ④　兔的数量=总头数 - 鸡的数量。 3.关键注意点：脚数差额的本质是两种动物的脚数差（4-2=2），需准确对应差额与目标动物数量的逻辑关系，避免计算混淆。 考点四、方程法解鸡兔同笼 1.方法核心：通过设未知数表示鸡或兔的数量，以“鸡的总脚数+兔的总脚数=实际总脚数”为等量关系列方程，用代数方法求解。 2.两种设未知数方式： (1)设兔的数量为 只，则鸡的数量为（总头数- ）只； (2)设鸡的数量为 只，则兔的数量为（总头数- 0）只。 3.列方程与求解步骤： (1)核心等量关系： ； (2)以设兔为 为例，方程为： ； (3)解方程：展开化简得 ，解得 ，即兔的数量，再推导鸡的数量。 4.关键要点：找准等量关系是核心，设未知数时优先选择便于计算的量（通常设脚数多的动物为未知数，减少分数运算）。 例题讲解 题型一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 【例题1】一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答） 上衣： 裤子： 【练习1】甲、乙、丙三个班共种树120棵，甲班种了乙班的。乙与丙种的棵数比是4∶3，甲比丙多种多少棵？ 题型二、列表法解鸡兔同笼 【例题2】王叔叔用100个轮子装配自行车和三轮车，一共装配了38辆，王叔叔装配的三轮车和自行车各有多少辆？ 自行车辆数 三轮车辆数 轮子总个数 与100个轮子比较 （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） （    ） 王叔叔装配的自行车有（    ）辆，装配的三轮车有（    ）辆。 【练习2】某县外国语学校六（1）班两位老师和40名学生去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船可以坐5人，每只小船可以坐3人。需要租大船、小船各多少只？（用画图的方法解答） 题型三、假设法解鸡兔同笼 【例题3】学校举行抢答比赛，答对一题加10分，答错一题扣2分，3号选手共抢答11题，最后得86分，他答对了( )题。 【练习3】六（1）班师生50人去博物馆研学，共付门票1075元。已知每张成人票是35元，每张学生票是20元，师生各买了多少张门票？ 题型四、方程法解鸡兔同笼 【例题4】一名篮球运动员在一场比赛中一共投中9个球，有2分球，也有3分球。已知这名运动员一共得了21分，他投中的2分球和3分球各有多少个？ 【练习4】每年的3月12日是我国的植树节。为了绿化环境，淮安市高良涧小学师生100人去植树，老师每人植3棵，学生每人植1棵，共植了140棵，老师和学生各有多少人？ 考点练习 练习一、用画图法和转化法解决分数问题（比的应用） 1．一套课桌椅的价格是320元，其中椅子的价格是课桌的，课桌的价格是（    ）元。 A．120 B．192 C．128 D．200 2．松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答） 3．学校举办“绳彩飞扬，阳光大课间”跳绳比赛，参加比赛的学生人数在170～180人之间。已知男生人数是女生人数的，参赛男生、女生各有多少人？ 4．甲、乙两地间的铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的。相遇时客车行驶了多少千米？（先在图中画一画，再解答） 5．小明家养了白、黑、灰三种兔子，其中白兔有48只，黑兔是白兔的，又是灰兔的。黑兔有多少只？灰兔有多少只？ 6．两个仓库共有货物840吨。从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答） 练习二、列表法解鸡兔同笼 1．插座有的是两孔的，有的是三孔的。乐乐数了一下，家里有15个插座共36个孔。根据表中的数据接着填一填。 两孔插座个数 三孔插座个数 孔的总个数 与36个比较 7 8 7×2＋8×3＝38 多2个 两孔插座有（    ）个，三孔插座有（    ）个。 2．要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案） 大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较 3．仪器架上有大、小两种药水瓶18个，共装药水3000毫升。每个大瓶装药水250毫升，每个小瓶装药水100毫升。大、小药水瓶各有多少个？（在表中填一填，想一想，找出答案） 大药水瓶数/个 小药水瓶数/个 药水的毫升数/毫升 与3000毫升比较 4．鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各有多少只？（列表解决） 头/个 鸡/只 兔/只 腿/条 结论 20 10 10 60 × 5．2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 练习三、假设法解鸡兔同笼 1．鸡兔同笼共有头48个，脚126只。兔有( )只，鸡有( )只。 2．“何人不爱牡丹花，占断城中好物华。”4~5月份的洛阳，牡丹花竞相争艳，游客络绎不绝。某店出售各种牡丹种子，有20粒装和30粒装两种不同的规格共40袋，共980粒种子。其中20粒装的牡丹种子有( )袋，30粒装的牡丹种子有( )袋。 3．晨晨参加的“普法小达人”知识竞答活动规定：答对一题得5分，放弃一题得0分，答错一题扣1分。晨晨这次共答21道题。得了75分。他答对几题？答错几题？ 4．风筝制作非遗传承人杨师傅走进社区，和居民们一起参与“传播传统文化，传承风筝技艺”的活动。杨师傅带领大家用78根竹条制作了18个风筝，其中制作一个软翅风筝需要3根竹条，制作一个硬翅风筝需要5根竹条，那么本次活动一共做了多少个软翅风筝？ 5．西街小学买了两种钢笔共165支奖励给学生，一种钢笔每盒10支，另一种钢笔每盒15支。这两种钢笔共买了16盒，每种钢笔各买了多少盒？ 6．张茜的爸爸买了两种茶叶，一种是绿茶，每千克180元；一种是红茶，每千克240元。这两种茶叶的总重量是10千克，一共用去2220元，张茜的爸爸两种茶叶各买了多少千克？各花去多少元？ 练习四、方程法解鸡兔同笼 1．鸡兔同笼，共有38个头，104条腿，求鸡兔各有几只？（列方程解） 2．12人去划船，共租用了5条船，每条大船坐3人，每条小船坐2人，租用的大船、小船各有几条？ 3．小明把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。一个大杯的容量是一个小杯容量的2倍，一个小杯和一个大杯的容量各是多少毫升？ 4．松鼠妈妈采松子。晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是雨天？ 5．同学们在美术课上学习制作中国结，制作一个小中国结需要7分米红绳，制作一个大中国结需要11分米红绳，一共做了20个中国结，共用去184分米红绳。请问同学们制作了多少个大中国结？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $