培优03平行线的性质种重难题型（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优03平行线的性质7大重难题型 题型1 利用两直线平行，同位角相等解题 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 1．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，，是上一点，直线与所夹的角，要使，直线绕点按逆时针方向至少需旋转 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，角的和差运算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 利用同位角相等两直线平行得出的度数，再利用角的和差求出旋转度数即可． 【详解】解：由题可知， 当时，， 故答案为：18． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键． 先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ． 题型2利用两直线平行，同位角相等解题 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． ∵AB∥CD ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．请说明的理由． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 先有证，再得即可． 【详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，．求与的度数之差． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线性质． 根据两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等即可求出答案 【详解】解：， ， ， . ． 即与的度数之差为． 题型3 利用两直线平行，同旁内角互补解题 两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵AB∥CD， ∴∠5+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据“两直线平行同旁内角互补”得，则此题可解. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：D. 10．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，直线，被直线所截，，，则 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）补全过程：如图，，如果，求． 解：因为，， 所以（________）， （________）， 所以． 【答案】对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对顶角相等，以及平行线的性质即可作答． 【详解】解：因为，， 所以（对顶角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， 所以． 故答案为：对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补． 12．（21-22七年级下·四川达州·开学考试）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠ECD=120°，求∠ECA的度数． 【答案】∠ECA的度数为120°． 【分析】利用平行线的性质定理可得∠ACD=120°，易得结果． 【详解】解：∵AB∥CD，∠A=60°， ∴∠A+∠ACD=180°， ∴∠ACD=120°， ∵∠ECD=120°， ∴∠ECA=360°-∠ECD-∠ACD=360°-120°-120°=120°， 故∠ECA的度数为120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握性质定理是解答此题的关键． 题型4 平行线的性质与判定 (1)在确定两角之间数量关系或求角度的问题中，如果有平行线，那么先考虑平行线的性质； (2)所求角与已知角不符合“三线八角”的位置关系时，可先通过对顶角、邻补角等关系进行适当转化，转化为符合“三线八角”位置关系的角，再运用平行线的性质. 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并准确运用．由已知可得，根据平行线的判定可证得，再根据平行线的性质即可知，则题目可解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，，．若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ． 15．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 题型5平行线的性质与判定的综合应用 在利用平行线的性质或判定解题时，一定要看清楚直线与角的位置关系，看同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所戴而成的.平行线的判定与性质的区别：由已知角的关系得平行时用判定，由已知平行的关系得角的关系时用性质 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． （1）利用平行线的性质和等量代换得到同旁内角互补，进而判定两直线平行； （2）根据平行线的性质建立角度关系，设，，根据两直线平行，同旁内角互补，得到关于的方程，解方程，最后通过角度的和差关系求出的度数． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ， ， ． （2）解：，， ，， ． 设，． ， ， ， 即， 解得， ，， ． 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 18．（七年级下·内蒙古乌海·期末）已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ∴，， ． 19．（20-21七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 题型6平行线的性质与判定在实际生活中的应用 1. 平行线的性质与判定在实际生活中有着广泛的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为几何图形，标注已知条件（角度、距离），再运用定理求解。 2. 判定平行线的思路关键定理： 同位角相等 → 平行 ；内错角相等 → 平行 ；同旁内角互补 → 平行. 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 23．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 题型7利用平行线的性质探究角之间的关系 平行线的性质是几何中的重要内容，尤其在探究角之间的关系时，通常涉及以下核心性质和解题方法： 1. 识别图形结构 找出两条平行线和截线。 标记已知角，观察它是哪一类角（同位角、内错角、同旁内角）。 如果是多组平行线，依次利用平行传递性。 2. 倒角法 从一个已知角出发，利用对顶角相等、邻补角互补、平行线性质，逐步推导目标角。 常要引入中间角（设未知数 𝑥 x 表示某个角，再列方程）。 3. 常见模型：（1）“F型” → 同位角 （2） “Z型” → 内错角 （3） “U型” → 同旁内角 （4）“M型”/“折线型” → 过折点作平行线，将角转移到同一方向 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 25．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． ①根据平行线的传递性可以判断出来； ②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得， 即，联立可求得结果； ③根据以及，可求得结果； ④根据即以及，可求得结果； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确 ②∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴故④不正确； 正确的有个：①②③， 故选：A． 26．（七年级下·河南驻马店·期中）一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质、补角的定义，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是相等或互补，注意不要漏掉情况．画出图形，根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 的两边与的两边分别平行， 即，， ∴，， 故； 的两边与的两边分别平行， 即，， ∴，， 故． 故答案为：相等或互补． 27．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （2）根据已知条件，可得，再由，得，根据，，得出，进而可得的度数． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． ． 28．（七年级下·福建·期中）如图，直线a交、分别于点E、F，点M在线段上，P是直线上的一个动点（点P不与F重合），试探究与有什么关系？并说明理由． 【答案】当点P在射线上移动时，；当点P在射线上移动时，；见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 分点在射线和射线上两种情况，利用平行线的性质（两直线平行，同位角相等）以及三角形外角性质、三角形内角和定理来推导与的关系． 【详解】解：（1）当点P在射线上移动时， 理由：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， （2）当点P在射线上移动时，， ∵． ∴， ∵在中，， ∴． 29．（22-23七年级下·广西桂林·期末）（1）如图1，，，，请按照小明的思路来求解的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． （2）如图2，，记，． ①若，，求； ②若点在射线上运动（点与点、、三点不重合），直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①；②或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，掌握平行线的性质和判定的应用是解题的关键． （1）通过平行线性质求即可； （2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； ②分三种情况：P在上；P在延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ， ∴， ∵， ∴． （2）①如图2，过P作交于E， ∵， ， ∴， ，， ∴； ②当P在上时，由①知； 如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点Q， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得； 综上所述，或或． 题型8辅助线在平行问题中的应用 当无法直接说明两个角或两条线段之间的数量关系时，通常借助作辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件和结论确定.辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起 30．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 32．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 33．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由，得，从而求出，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级下·海南·月考）如图，，垂直于于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、垂线，根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 6．（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角相等是解题的关键．图1中，由题意知，求出图2中，图3中根据求出度数． 【详解】解：图1中，∵纸带是长方形， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴图3的与图2的相等，且图2与图3的， 在图2中，， 在图3中，． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，掌握垂直的夹角为、邻补角的和为是解题的关键． 先根据垂直的定义得到直角，结合的度数、可求出的度数，再利用邻补角的关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴， ∵与是邻补角， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 9．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：已知，，交于点O．求的度数． ①如图1，∵， ∴； ∵， ∴； ②如图2，∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 综上，另一个角的度数为或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知：如图，直线，直线分别交于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P，求的度数． 解：∵， ∴ （ ）， 又∵的平分线与的平分线相交于点（已知）， ∴（角平分线的定义）， （ ）， ∴ （ ） ， ∴ ． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；；； 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵的平分线与的平分线相交于点（已知）， ∴（角平分线的定义）， （角平分线的定义）， ∴ ， ∴． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；；；． 13．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，已知，交于点，交于点，平分，交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，角平分线的性质．掌握“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”是解题关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再由邻补角的定义求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】，， ． ， 即， ． 平分， ， ． ， ， 即， ． 14．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在上，点，在上，连接，，．已知，平分，．说明与互补． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据角平分线的定义可得，推出，得到，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：平分，， ． ， ， ， ，即与互补． 15．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． 16．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ， ． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03平行线的性质7大重难题型 题型1 利用两直线平行，同位角相等解题 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 1．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图，，是上一点，直线与所夹的角，要使，直线绕点按逆时针方向至少需旋转 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，，求证：． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 题型2利用两直线平行，同位角相等解题 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． ∵AB∥CD ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图，．请说明的理由． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，．求与的度数之差． 题型3 利用两直线平行，同旁内角互补解题 两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵AB∥CD， ∴∠5+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，直线，被直线所截，，， 则 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）补全过程：如图，，如果，求． 解：因为，， 所以（_________________________）， （_________________________）， 所以． 12．（21-22七年级下·四川达州·开学考试）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠ECD=120°，求∠ECA的度数． 题型4 平行线的判定与性质求角度 (1)在确定两角之间数量关系或求角度的问题中，如果有平行线，那么先考虑平行线的性质； (2)所求角与已知角不符合“三线八角”的位置关系时，可先通过对顶角、邻补角等关系进行适当转化，转化为符合“三线八角”位置关系的角，再运用平行线的性质. 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．若，求的度数． 14．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，，．若，求的度数． 15．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 题型5平行线的性质与判定的综合 在利用平行线的性质或判定解题时，一定要看清楚直线与角的位置关系，看同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所戴而成的.平行线的判定与性质的区别：由已知角的关系得平行时用判定，由已知平行的关系得角的关系时用性质 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 18．（七年级下·内蒙古乌海·期末）已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（20-21七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 题型6平行线的性质与判定在实际生活中的应用 1. 平行线的性质与判定在实际生活中有着广泛的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为几何图形，标注已知条件（角度、距离），再运用定理求解。 2. 判定平行线的思路关键定理： 同位角相等 → 平行 ；内错角相等 → 平行 ；同旁内角互补 → 平行. 20．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 23．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 题型7利用平行线的性质探究角之间的关系 平行线的性质是几何中的重要内容，尤其在探究角之间的关系时，通常涉及以下核心性质和解题方法： 1. 识别图形结构 找出两条平行线和截线。 标记已知角，观察它是哪一类角（同位角、内错角、同旁内角）。 如果是多组平行线，依次利用平行传递性。 2. 倒角法 从一个已知角出发，利用对顶角相等、邻补角互补、平行线性质，逐步推导目标角。 常要引入中间角（设未知数 𝑥 x 表示某个角，再列方程）。 3. 常见模型：（1）“F型” → 同位角 （2） “Z型” → 内错角 （3） “U型” → 同旁内角 （4）“M型”/“折线型” → 过折点作平行线，将角转移到同一方向 24．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 26．（七年级下·河南驻马店·期中）一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是 ． 27．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 28．（七年级下·福建·期中）如图，直线a交、分别于点E、F，点M在线段上，P是直线上的一个动点（点P不与F重合），试探究与有什么关系？并说明理由． 29．（22-23七年级下·广西桂林·期末）（1）如图1，，，，请按照小明的思路来求解的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． （2）如图2，，记，． ①若，，求； ②若点在射线上运动（点与点、、三点不重合），直接写出与、之间的数量关系． 题型8辅助线在平行问题中的应用 当无法直接说明两个角或两条线段之间的数量关系时，通常借助作辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件和结论确定.辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起 30．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 31．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 32．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 33．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 34．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·海南·月考）如图，，垂直于于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·甘肃临夏·期末）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图1中，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 8．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 9．（23-24七年级下·重庆永川·期中）若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 10．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 三、解答题 12．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知：如图，直线，直线分别交于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P，求的度数． 解：∵， ∴ （ ）， 又∵的平分线与的平分线相交于点（已知）， ∴（角平分线的定义）， （ ）， ∴ （ ） ， ∴ ． 13．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，已知，交于点，交于点，平分，交于点．若，求的度数． 14．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在上，点，在上，连接，，．已知，平分，．说明与互补． 15．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 16．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $