培优02平行线及其判定7大重难题型（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优02平行线及其判定7大类型（专项训练） 题型1平行线及其画法 1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 注意：(1)两条直线平行必须具备两个条件：①在同一平面内②不相交， (2)在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交. (3)两条线段或射线平行是指其所在的直线平行 2.平行线的画法： 一、“落”：把三角尺一边落在已知直线上 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺上与已知直线重合的边过已知点 四“画”：沿三角尺上过已知点的边画直线 1．（23-24七年级下·重庆·月考）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 题型2 平行公理及其推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：(1)“有且只有”说明这样的直线存在，且是唯一的： (2)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已知直线平行. 2.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何语言：如果b∥a,c∥a,那么b∥c 4．（18-19七年级下·河南周口·期中）如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 题型3 平行线的判定定理1 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 11．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，，平分，请说明：． 题型4平行线的判定定理2 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． 12．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 15．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 题型5平行线的判定定理3 定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 16．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 18．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 19．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 题型6 平行线判定方法的灵活应用 两条直线平行的判定，主要是通过角的关系来实现的，其中的关键在于识别一对角是由 哪两条直线被第三条直线所戴而成的角.除了平行线的判定定理之外，还有两种常见的判定方法： （1）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （2）：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 24．（21-22八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 题型7 平行线判定在探究问题中的应用 添加辅助线（直线、射线或线段）是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”.当题目中已有的图形不能够或不客易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题， 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 26．（七年级下·甘肃定西·月考）如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的关系． 27．（七年级下·安徽滁州·期末）如图，如果∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，试说明AB∥CD． 一、单选题 1．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 3．下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 5．下列图形中，，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 10．如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 11．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点、．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 12．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 三、解答题 13．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 14．如图，要使，则需添加一个条件，请写出三种情况，并写出简单的推理过程和理由． 15．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    16．如图，，，．图中有哪些直线互相平行?证明你的判断． 17．已知：如图，，，，求证：    18．如图，，，若，则吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02平行线及其判定7大重难题型 题型1平行线及其画法 1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 注意：(1)两条直线平行必须具备两个条件：①在同一平面内②不相交， (2)在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交. (3)两条线段或射线平行是指其所在的直线平行 2.平行线的画法： 一、“落”：把三角尺一边落在已知直线上 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺上与已知直线重合的边过已知点 四“画”：沿三角尺上过已知点的边画直线 1．（23-24七年级下·重庆·月考）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．平行或相交或重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，根据两条直线有一个交点是相交线，没有交点是平行线，在同一平面内，两条直线也可能重合，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交； 在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行， 在同一平面内，两条直线也可能重合， 故D正确； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 题型2 平行公理及其推论 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 注意：(1)“有且只有”说明这样的直线存在，且是唯一的： (2)在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已知直线平行. 2.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何语言：如果b∥a,c∥a,那么b∥c 4．（18-19七年级下·河南周口·期中）如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】该题主要考查了“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，正确理解题意即可解答； 根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，即可解答； 【详解】解：∵直线，都过点A，且， 又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴A，B，C三点在同一直线上． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的关系，弄清题意 ，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据同一平面内直线垂直和平行的性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：由于a平行于b，且b垂直于c，根据平行线的性质，，故选项A错误； 根据平行线的传递性，若a平行于b，且b平行于c，则，故选项B错误； 在同一平面内，若两条直线a和c均垂直于同一条直线b，则，故选项C正确； 由于b平行于c，且a垂直于b，根据平行线的性质，，故选项D错误； 故选：C． 6．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 【答案】 【分析】根据题意得到前面直线序号为偶数两直线垂直，奇数两直线平行，即可得到结果；判断与，，，，，的关系，即可得到规律：，，，，四个一循环，则刚好开始进入新的循环，即可求解 【详解】根据题意得：直线与直线的位置关系是垂直． ∵，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可得规律为：，，，，，，…… 所以可得到规律：，，，，四个一循环， 根据规律 ∴ ∵ ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，注意找到规律：⊥，⊥，，，四个一循环是解此题的关键． 题型3 平行线的判定定理1 定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴． 故选：A． 9．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵，与互为补角， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 11．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型4平行线的判定定理2 定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． 12．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：A、由可以得到，故本选项不符合题意； B、由可以得到，故本选项符合题意； C、由，可以得到，故本选项不符合题意； D、由，可以得到，故本选项不符合题意， 故选：B． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5平行线的判定定理3 定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 16．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 17．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 19．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 题型6 平行线判定方法的灵活应用 两条直线平行的判定，主要是通过角的关系来实现的，其中的关键在于识别一对角是由 哪两条直线被第三条直线所戴而成的角.除了平行线的判定定理之外，还有两种常见的判定方法： （1）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （2）：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 21．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用． 利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，根据内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，根据同位角相等，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，根据同旁内角互补，两直线平行得，故C不符合题意； D、与不属于同位角或内错角，故不能判定，故D符合题意， 故选：D． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明． 【详解】解：． 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ 24．（21-22八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 题型7 平行线判定在探究问题中的应用 添加辅助线（直线、射线或线段）是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”.当题目中已有的图形不能够或不客易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题， 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 26．（七年级下·甘肃定西·月考）如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的关系． 【详解】试题分析：根据平行线的判定与性质进行填空即可． 解：AB∥CD，理由如下： 过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行） ∵∠BED=∠B+∠D ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行） ∴AB∥CD（平行公理的推论）． 故答案为内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行公理的推论． 考点：平行线的判定与性质． 27．（七年级下·安徽滁州·期末）（1）请在横线上填写适当的内容，完成下面的解答过程： 如图，如果∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，试说明AB∥CD． 【详解】解:（1）过点E作EF∥AB ∴∠ABE+∠BEF＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补） ∵∠ABE+∠BED+∠CDE＝360° ∴∠FED+∠CDE＝180° ∴EF∥CD ∵EF∥AB ∴AB∥CD； 一、单选题 1．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 2．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 3．下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点． 逐一判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立；④平行公理要求点不在直线上，否则不成立． 【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题； ②对顶角相等是固有性质，故②为真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B． 4．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 5．下列图形中，，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐一判定即可． 【详解】A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； C、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 故选：D． 6．如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意 B．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 8．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A、，能判定直线a与b平行，故A不符合题意； B、，能判定直线a与b平行，故B不符合题意； C、，能判定直线a与b平行，故C不符合题意； D、，不能判定直线a与b平行，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 11．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点、．现有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形内角和定理和平行线的判定．根据旋转的性质即可判断结论①是否正确；可证得，据此可判断结论②是否正确；根据旋转的性质可知，，，再利用三角形内角和定理即可判断结论③是否正确；可证得，据此可判断结论④是否正确． 【详解】解：①根据旋转的性质可知，结论①正确． ②根据旋转的性质可知，， ∴．结论②错误． ③根据旋转的性质可知，，， ∴．结论③正确． ④根据旋转的性质可知，， 根据②的证明过程可知， ∴． ∴． 结论④正确． 综上所述，结论①③④正确． 故答案为：①③④． 12．如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)，（已知） ________=________（等量代换）． 【答案】(1)；；同位角相等，两直线平行 (2)；；同位角相等，两直线平行 (3)； 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行解答即可； （3）根据，进行解答即可． 【详解】（1）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3），（已知） （等量代换）． 三、解答题 13．填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 14．如图，要使，则需添加一个条件，请写出三种情况，并写出简单的推理过程和理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，“两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”，“两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，“两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”．据此解答即可． 【详解】解：①由，得（同位角相等，两直线平行）   ②由，得（内错角相等，两直线平行）   ③由，得（同旁内角互补，两直线平行）． 15．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    【答案】见解析． 【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论． 【详解】∵平分，， ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键． 16．如图，，，．图中有哪些直线互相平行?证明你的判断． 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定．由已知易得，，即可判定． 【详解】解：，，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．已知：如图，，，，求证：    【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据三角形内角和定理得，又因为，得出，故，即可证明． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 18．如图，，，若，则吗？为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意先证明，结合，得出，即可求解． 【详解】解：．理由如下： 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $