河南省南阳市新未来大联考2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

高二年级1月测评 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，请将答题卡上交。 4．本卷主要命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章至第六章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．经过点M(-1,2)和N(3,4）的直线斜率为 A.2 B. C.-2 D.- 2．双曲线的焦距为 A.2 B.4 C.6 D. 3.3名同学分别报名参加学校的舞蹈社团、书法社团、乒乓球社团、辩论社团，每人限报其中的一个社团，则不同的报名方法种数是 A.9 B.12 C.64 D.81 4．某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩X服从正态分布，则抽测成绩在［100,110］内的学生人数大约为 若，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545 A.4 077 B.5 436 C.1 359 D.2 718 5．直线y=x+1与圆相交于A,B两点，则ΔABO的面积为 A.1 B. C. D. 6．随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a b 若，则D(X）的值是 A. B. C. D. 7．已知椭圆和双曲线的公共左、右焦点分别为，在第一象限内的交点为P，其中O为坐标原点，则|OP|= A.8 B.4 C. D.2 8．如图，在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，AB=3,E,M 在棱AB上，N,F在棱AC上，P,G在棱AD上，且AE=EM=MB,AN=NF=FC,AP=PG=GD，平面EFGN平面MNP=，点O为线段上的一个动点（不包括端点），则 A.4 B.2 C.3 D.不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和圆C:，则 A.直线l的倾斜角为 B．直线l在x轴上的截距为3 C．若直线l被圆C所截得弦长为2，则 D．若圆C上的点到直线l的距离的最小值为1，则r=1 10．在空间直角坐标系中，已知O(0,0,0)，则 A. B.与平行且模为的向量的坐标为（0,-3,3）或（0,3,-3） C.夹角的余弦值为 D.上投影向量的坐标为 11．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球．现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为X，则 A.随机变量X服从超几何分布 B. C.E(2X-1)=1 D．记这4个球中白球的个数为Y，则D(X)=D(Y) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线 1的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 13．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有1人的站法有 种.（用数字作答） 14．设A,B是一个随机试验中的两个事件，若，则 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知的展开式中的各项系数之和为a，所有二项式系数之和为b，且a+b=31 （1）求n的值； （2）求展开式中x4的系数． 16.（本小题满分15分） 如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为α的弦. （1）当时，求AB的长； （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分15分） 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有A,B,C三台抓娃娃机，A娃娃机每次中奖的概率为，B娃娃机每次中奖的概率为，C娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作A,B,C抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作A,B,C抓娃娃机各一次； 方案二：操作B抓娃娃机三次. 假设A,B,C三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 18.（本小题满分17分） 如图，在直四棱柱中，底面四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC， （1）证明： （2）若直线AB与平面所成角的正弦值为，点M为线段BD上一点，求点M到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的取值范围. 19.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=k(x-1)+2，直线l与抛物线交于A,B两点，点F到直线l的距离的最大值为． （1）求抛物线C的方程； （2）若线段AB的中点为M(1,2)，求｜AB|； （3）若抛物线C在点A,B处的切线相交于点M，求点M的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级1月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 1,B因为直线经过点M(-1,2)和N3,),所以直线的斜率为kw=写号=子故选B 2.C因为a2=1,b2=8,则c2=9,2c=6.故选C. 3.C由题意可知：每位同学均有4种选择，所以不同的报名方法种数是4×4×4=64.故选C. 4.A学生的抽测成绩X服从正态分布N(90,10),则P(100<X≤110)=号[P(70≤X<10) P(80≤X≤10)]=号×(0.9545-0.6827)=0.1359，由于总人数为3000，则抽测成绩在[100,10]内 的学生人数大约为30000×0.1359=4077，故选A. D方按1：点0到直线)-+1的距离d方号A=3(=反，S =号×厄×9= 22 方法2：根据图象可知A(0,1D.B(-1,0),5m=号×1X1=,放选D 6.B由题设可得a+6=号，a+26=号，解得a=号，b=名：所以D(X)=(0-号)×号+(1-号)广×号 +(2-号)×石-号放选B 7.C由题意可知，F(-3,0),F2(3,0),由椭圆定义可知，PF十|PF21=8①，由双曲线定义可知，PF一 IPF,=2@,由①@可知，PFl=5,PR=3,又因为F,F=6,所以cos∠F,PF,=5+3 1 2X5X3 151 则Pi=之(P+p,则Pò=(Pm:+2P·p成+1P)=×[25+2×5X3×(-吉)+9]= 8,所以|OP|=2√2.故选C 8,B因为点O在平面EFG内，所以Ad=xA它+yA庐+(1-x-y)AG,又因为A定=子AB,A京=号AC,AG =号A市.所以a-号访+号AC+212Ad:又因为点0在平面MNP内，所以A0=aAi+BA +1-aA市，因为Ai=号A迹.A=号AC,A市=号Aò.所以A0-9Ai+号AC+1-g2A市，由空 3 3 间向量基本定理得： ,解得a=子=号即A亦-号迹+号A花+2.3茹，所以ò. 2(1-x-2=1-a-星 3 3 A店=号A亦+号AC,A+2,3AD:A成，因为AB=3,AB,AC,AD两两垂直，所以A亦=9，AC·A店- 0,AD·AB=0,所以Aò·AB=2,故选B. 9.ACD圆C:(x-1)十y=r(r>0),所以圆心C(1,0),半径为r,则圆心C到直线l:x-√3y十3=0的距离 d=1+3=2. 2 对A,直线的斜率为号，所以1的倾斜角为吾，所以A正确： 对B,当y=0时，x=一3，所以直线l在x轴上的截距为一3，故B错误； 对C,若直线1被圆C所截得弦长为2，则2=d+(号)广=4+1=5，所以r=后，所以C正确： 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 6282B 对D,若圆C上的点到直线l的距离的最小值为1，所以d-=1,所以r=1,所以D正确，综上，故选ACD. 10.BD对A,AC=O元-OA=(0,3,0),AB=Oi-OA=(3,1,-1),因为AC·AB=0+3+0=3≠0，所以A 错误； 对B,因为OA=(0,-1,1),所以1OA=√2，因为所求的向量与OA平行，且模为32，所以所求的向量为： 3OA或-3OA,即所求向量坐标为：(0，-3,3)或(0,3，-3)，所以B正确； 对C,Ci-0i-0花=(3，-2，-1).又因为aC=(0,30),所以co(AC,C亩=心.遮 =0-6+0= 1AC1·|CB|3·√14 一严，A心与C夹角的余弦值为-严，所以C错误： 对D,0i在0上投影向量为：⊙成：.0元-0中02,1)=-吉0,2，D=(o,-号，-号)，所以选 1OC12 5 项D正确.综上，故选BD 11.ABD对于A选项，由题意可知随机变量X服从超儿何分布，故A选项正确； 对于B送项，由X的取值为0,12,3，有P(X≤I)=P(X=0)十P(X=1)-CCC-之，枚B选项正滴： C 对于C选项，由EX)=4X名-号，有EC2X-1)=2E(0-1=2×号-1=2，故C选项结误： 对于D选项，由X+Y=4,有Y=4-X,可得D(Y)=D(4-X)=D(X),故D选项正确.故选ABD. 12.=8x双曲线的焦点为（士2,0），可得号=2，D=4,则抛物线的标准方程为y=8x 13.36由分步计数原理可知，共有C×A号×A=36种. 14.号：P(B)=P(B)=1-P(B)=是， 又P(AB)=P(B)）-P(AB)=子一=子， ·P(AB)=PAB)-主-1 P(B)33 4 15.解：(1)由题意可得，a=(一1)”，b=20,2”十（一1）”=31，……………………4分 当n为偶数时，2"=30，无正整数解，当n为奇数时，2=32，n=5, 故n=5;………6分 2(x-2)广=(x-2)°， 二项展开式的通项为T+1=(-2)yC(x)-(）广=(-2)Cx-, …………………9分 由10-3r=4,得r=2.………………………11分 .展开式中x的系数为(-2)C=40. …………13分 16.解：(1)当a=135时，直线AB的斜率为一1，…………1分 又因为直线AB过点P,(一1,2)，所以直线AB的方程为y=(-1)(x十1)十2，即x十y-1=0,…3分 圆x2十y2=8的圆心为O(0,0),半径为2V2,…4分 圆心到直线AB的距离d=一1= ② 2 ………………………………………6分 故1AB1=2√2-（停）=V而，故AB的长为V丽： …8分 (2)存在弦AB被点P。平分，已知P。为AB中点，所以OP。⊥AB,…9分 气。=一2，故直线AB的斜率k=名， -1-0 …………………11分 因为直线AB过P,(一1,2)，所以直线AB的方程为y=号(x十1)十2，即x-2y十5=0，…13分 故存在弦AB被P。平分，直线AB的方程为x一2y十5=0.………15分 1.解：1)小张没中奖的概率为(1-合)×(1-十)×(1-号)=最： ………2分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 6282B 故小张中奖的概率为1一音-司： 4分 (2)若选方案一，记小张抓娃娃获得娃娃的价值为X,可知X的取值为0,20,40,60， 5分 有PX=0)=(1-日)×(1-)×(1-吉)=最， ………………6分 Px=20)=号×(1-1)×(1-3)+×(1-6)x(1-3)+3×(1-)×(1-名)=别， PX=40)=名×子×(1-号)+g×子×(1-子)+3×4×(1-合)=需 8分 pX=60)=××号=克： 小…9分 可得E(X)=0×是+20×是+40×品+60× =15, ……+………+………………………]0分 若选方案二，记小张抓娃娃获得娃娃的个数为Y,可得Y~B(3,号)》 ……12分 有E(Y)=3X1=3, 4-4 可得抓娃娃获得娃娃的价值为子×20=15，…。 14分 由15=15，故这两种方案获得娃娃的价值的期望是一样的，小张可任选其中一种方案.…15分 18.(1)证明：四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC,BC=2AD=4,∠BCD=平，所以AB=DC=瓦，…1分 取线段BC的中点为N,则ABND为平行四边形，则AB∥DN,所以DN=√2， …2分 又因为NC=2,所以DN2十DC=NC2,则DN⊥DC,… ……3分 又因为ABCD-A1B,CD是直四棱柱，所以DD⊥平面ABCD,DNC平面ABCD,DD⊥DN,又因为DC ∩DD=D,DC,DDC平面DCCD,所以DN⊥平面DCCD,…4分 CDC平面DCCD,所以DN⊥CD,因为AB∥AB,所以AB⊥CD;…5分 (2)解：由(1)知，DN,DC,DD1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA=h(h>0),所以D(0,0,0),B(2√2，-√2,0)，B1(2√2，-√2，h), C(0√2,0)，D(0,0,h),A(2,-√2,0)， 所以AB=(2,0,0),CB=(22,-22,h),CD=(0,-√2，h,BC=(-2V2,B 22,0),DB=(2E,一√2,0)，……6分 设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,), 则n·CE=2Ex-2y+hx=0 ln·cD=-2y+hx=0 令之=22，则x=h,y=2h,所以n=(h,2h,22),…8分 设直线AB与平面B1CD所成的角为0， 则sin0=cos(Ai,m1=店·n √2h |AB||n√2Xw√5h'+8 6 解得h=22,所以n=(1,2,1),………………………………… 10分 所以点B到平面BCD,的距离为d=BC:n-2巨_2 11分 √6 3 因为BD·n=0,所以BD⊥n, 因为BD不在平面BCD内，所以BD∥平面BCD1, 因为M在线段BD上，所以点M到平面B,CD,的距离等价于点B到平面B,CD,的距离为2 31 故点M到平面BCD,的距离为2 3 …12分 (3)解：设平面DAD的法向量n1=(x1,y1,之)， 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 6282B (n·DD=0 由 {n·DA=0 解得1=(1,1,0)；…13分 设平面D1AB的法向量n2=(x2,y,2), 由/%·DA= m2·AB=0 ,解得e=(0,h,一√2)， ……………………………………………………………14分 设平面D1AD和平面D1AB的夹角为B, 2 则cos0=|cos(n1,n2)|= h= 2Vh2+2= 2 h2+2’ …15分 √2·n+2 因为>0，且f6)-√千在0，十c止单泻道增，所以0<cs号，则9∈（停，受）.…17分 19.解：（1抛物线Cx=2py(p>0)的焦点F(0,号），…1分 因为直线ly=k(x一1)十2过定点P(1,2),设点F到直线l的距离为d,所以d≤|PF|,当且仅当PF⊥l 时等号成立，即点F到直线l的距离的最大值为PF,………………2分 又因为点F到直线l的距离的最大值为√2，即PF|=√2， 所以1+（号-2）广=2，解得p=6或p=2,又因为0<p4,所以力=2，…3分 则抛物线C的方程为：x2=4y;…………4分 (2)将直线1的方程：y一2=(x-1),与抛物线C的方程为：x2=4y联立，得：x2=4(kx一k十2)，即x2-4kx 十4k8=0,………………5分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则xx2=4k-8,x1十x2=4k, ……………6分 因为线段AB的中点为M1,2),所以型=1，所以十五=2，即h=2,即=2，…7分 1 2 到无2=4X号-8=6江1十t2=2,…… 所以1AB=中E1-=中E√a+)-4红西=√1+V-4X(-6=V35; ……… ………………………………10分 (3)因为点A()在抛物线x广=4y上，所以以=手，即A(,),因为抛物线C在点A处的切线的斜 率一定存在，所以设抛物线C在点A处的切线为：y一号=(：一)， 将其与抛物线C的方程：x=4y联立，得：x一4k1x十4k1x1一x7=0, ……………………………11分 因为相切，所以△=（一4k)一4(41x1一x)=0, 化简得：一伙x十=0，即(2一)严=0，解得6=受 所以抛物线C在点A处的切线为：y一平-号（红一），即y=号：一平 同理，抛物线C在点B处的切线为：y=受x一 4 ……………………0…………………………………… 12分 y=受x xi x=十 4 联立 13分 y= 2- 得 4 y=tn 4 又因为西西=4h-8,西十2=4h,所以=2次 y=-2,即M2k,k-2）,…▣ 14分 设Mx,),则=26 1 =2消去得：y=272,…………………………16分 所以点M的轨迹方程为：y7无2。……17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 6282B