湖北省荆门市2025--2026学年八年级数学上学期期末复习训练题

荆门市八年级数学上学期期末复习训练题 （考试时间：120 分钟，分值：120 分） 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：（本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。） 1．下列各图形中，具有稳定性的是（ ） 2．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为( ) A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 3．下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点.正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．下列各式计算正确的是( ) 5．定义;等腰三角形的底边长与其腰长的比值t称为这个等腰三角形的"优美比".若等腰三角形的周长为13cm,AB=5cm，则它的"优美比"k为( ) A ．5：4 B ．3：5 C ．5：4 或 3：5 D ．4：5 或 5：3 6．下列多项式相乘,能用平方差公式计算的是( ) A ．(x+2)(x+2) B ．(-x+y)(x-y) C ．(2x-y)(2x+y) D ．(-x-y)(x+y) 7．如果分式 中的x、y都扩大到原来的3倍,那么分式的值（　　） A ．不变 B ．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 8．已知关于x的分式方程 =2的解为非负数，则a的取值范围为（　　） A ．a≤ B． a≥ 且a≠ C．a≤ 且a≠ D． a≥ 且a≠ 9．如右图，△ABC的面积可以表示为( ) A ．AC·BD B ．AC·AM C ．BC·CE D ．BM·AF 10．如右图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，若AC＝EF，则下列结论中正确的是( ) A ．h1＜h2 B ．h1＞h2 C ．h1＝h2 D ．无法确定 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝ . 12．等腰三角形的两边长分别为7cm、15cm，则这个三角形的周长为 . 13．如图1，已知△ADC≌△AEB，∠D和△E是对应角，则AC的对应边是 ，AD的对应是 ，CD的对应边是 ，∠CAD的对应角是 ，∠2的对应角是 . 14．如图2,△ACB≌△DCE,AB与DE交于点F,若∠BCD＝30°,∠ACE＝110°,则∠AFE的度数是 . 15．如图3,△ABC,∠A＝∠B,点D在AB上,∠EDF＝a,交AC玩点为E，BC于点F，AD＝BF，AE＝BD，则下列结论①△ADE≌△BFD，②∠BDF＝∠AED，③∠C＝180°-2a，④∠ADE＝∠B，其中正确的有 . 16．如图4，CA⊥AB于A，AB＝24cm，AC＝12cm，射线BM⊥AB于B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上动点，随着B点运动而运动，且始终保持ED＝CB当点E经过 秒时，△DEB与△BCA全等．（点E、A不重合） 三、解答题：（本题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）先化简再求值：(1- )÷，其中a=(2025)0+2-1 18． （6 分）当三角形中的一个内角a是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”其中a称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为40°，求此三角形的二倍角的度数是多少度？ 19．(6 分)△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数. 20．(6 分)如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是△ABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数. 21．（8 分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为BC延长线上一点，BF⊥AD于F，交AC于E （1）求证：BE=AD； （2）过C点作CM平分∠ACD交AD于M，连接EM，求证：BE=AM+EM 22．（8 分）10、（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，CD⊥AB于点D，求CD的长； （2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=2，求△ABC的高CD与AE的比； （3）如图3，在△ABC中,∠C=90°,点D，P分别在边AB,AC上,且BP=AP,DE⊥BP于E,DF⊥AP于F,若BC=10,求DE+DF的值. 23．（8 分）5、如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC ≌ △BED； （2）若∠1=42°，求∠BDE的度数。 24．（12 分）11、在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F. （1）M为边AC上一点，判断BD、MF的位置关系并证明. （2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是__________. 请你进行证明。 （3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是___________. 请你进行证明。 25．（12 分）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公其的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为"手拉手"图形. (1)如图1，在"手拉手"图形中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE.求证：△ABD≌△ACE； 【变式探究】(2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，且B、C、D在同一条直线上，请判断线段BD与CE存在怎样的关系，并说明理由; 【拓展应用】(3)如图3，AB=AC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A=∠C的数量关系,并说明理由. 八年级数学上学期期末复习训练题（答案解析） 第一部分（选择题 共 30 分） 1. 答案：D 解析：本题考查三角形的稳定性（四边形及多边形不具有稳定性，只有三角形具有稳定性）。 选项中只有 D 是三角形（或由三角形构成的图形），其余选项为四边形或不规则图形，不具备稳性原解析混淆 “轴对称图形” 与 “稳定性” 概念，特此纠正。 2. 答案：A 解析：本题考查三角形中线的性质(中线将三角形分成两个等底的三角形，即 BD=CD,AD 为公共边)。△ABD 的周长 = AB+AD+BD，△ACD 的周长 = AC+AD+CD， 周长之差 =（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC（BD=CD，AD 抵消）。 代入 AB=10cm，AC=8cm，得 10-8=2cm，故选 A。原解析混淆“三边关系”与“中线周长差”，特此纠正。 3. 答案：A 解析：本题考查三角形的中线、角平分线、高的性质，逐一分析说法： ① 三角形的中线、角平分线、高都是连接顶点与对边（或对边延长线）的线段，正确； ② 钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非都在内部，错误； ③ 直角三角形有三条高（两条直角边为高，斜边上一条高），错误； ④ 钝角三角形的三条高的交点在三角形外部，并非交于同一点（中线、角平分线交点在内部，但高的交点不重合），错误。正确的只有①，共 1 个，故选 A。原解析混淆 “科学记数法” 与本题考点，特此纠正。 4. 答案：C 解析：本题考查幂的运算规则，逐一验证： · A. (m2)3=m2×3=m6（原解析正确，A 错误）； · B. m2⋅m3=m2+3=m5（原解析正确，B 错误）； · C. m5÷m2=m5−2=m3（原解析正确，C 正确）； · D. (mn)2=m2n2（原解析正确，D 错误）。 故选 C。 5. 答案：C 解析：本题考查等腰三角形的分类讨论（需满足 “两边之和大于第三边”）： · 情况 1：AB 为腰，则另一腰长 = 5cm，底边长 = 13-5-5=3cm，“优美比”= 底边长：腰长 = 3:5； · 情况 2：AB 为底边，则腰长 =(13-5)÷2=4cm，“优美比”= 底边长：腰长 = 5:4。两种情况均成立，故选 C。原解析正确，保留。 6. 答案：C 解析：本题考查平方差公式的适用条件：(a+b)(a−b)=a2−b2（需满足 “一组项相同，另一组项互为相反数”）。 · A. (x+2)(x+2)=(x+2)2（两项均相同，用完全平方公式），错误； · B. (−x+y)(x−y)=−(x−y)(x−y)=−(x−y)2（两项均互为相反数，用完全平方公式），错误； · C. (2x−y)(2x+y)（2x 为相同项，-y 与 y 为相反数，符合平方差公式），正确； · D. (−x−y)(x+y)=−(x+y)(x+y)=−(x+y)2（两项均互为相反数，用完全平方公式），错误。 故选 C。原解析正确，保留。 7. 答案：C 解析：本题考查分式的基本性质（分子分母同乘非零数，分式值变化规律）。 原分式为 ，x、y 均扩大到原来的 3 倍后： · 分子：3x·3y＝9xy（扩大到原来的 9 倍）； · 分母：3(3x)−2(3y)=9x−6y=3(3x−2y)（扩大到原来的 3 倍）； 分式值 = 9xy÷[3 (3x-2y)]=3×3× （扩大到原来的 3 倍），故选 C。原解析正确，保留。 8. 答案：C 解析：本题考查分式方程的解的限制条件（分母不为 0，解为非负数）。 第一步：化简方程 +2− =2，注意 = ​，通分得： =2 → x−3a=2(x−2) → x=4−3a。 第二步：限制条件： · 解为非负数：x≥0 → 4−3a≥0 → a≤ ； · 分母不为 0：x=2 → 4−3a=2 → a= 。 综上，a≤ 且a≠ ，故选 C。原解析正确，保留 9. 答案：D 解析：本题考查三角形面积公式（s＝×底×对应高，关键是 “底与高必须垂直”）。 结合图形（题目隐含：AF⊥BC，BM 为某线段）： · A. AC·BD：若 BD 不垂直 AC，则不成立； · B. AC·AM：AM 不垂直 AC，不成立； · C. BC·CE：CE 不垂直 BC，不成立； · D. BM·AF：BM 与 AF 为对应底的垂直高（图形隐含垂直关系），成立。故选 D。原解析理由错误，特此纠正。 10. 答案：B 解析：本题考查三角形高的计算（边长，θ 为边长与对边的夹角）。 设 AC=EF=m，△ABC 中 BC 边上的高h1​=AC·sin∠ACB=m·sin∠ACB； △DEF 中 DE 边上的高h2​=EF·sin∠DEF=m·sin∠DEF。 结合图形（隐含∠ACB>∠DEF，且均为锐角），sin∠ACB>sin∠DEF，故h1​>h2​，故选 B。原解析理由错误，特此纠正。 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 答案：100° 或 40° 解析：本题考查三角形高的位置分类（AD 可能在三角形内部或外部）： · 情况 1：AD 在△ABC 内部（锐角三角形），∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+30°=100°； · 情况 2：AD 在△ABC 外部（钝角三角形，∠B 为钝角），∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-30°=40°。原解析完全错误，特此纠正。 12. 答案：37cm 解析：本题考查等腰三角形的三边关系（两边之和大于第三边）： · 若腰长为 7cm，7+7=14<15（底边），不满足三边关系，舍去； · 若腰长为 15cm，15+15=30>7（底边），满足条件，周长 = 15+15+7=37cm。 原解析错误，特此纠正。 13. 答案：AB；AE；BE；∠BAE；∠1（或对应图形中的∠ABE） 解析：本题考查全等三角形的对应关系（△ADC≌△AEB，对应角∠D↔∠E，故对应顶点为 A↔A，D↔E，C↔B）： · AC 的对应边 = AB（C↔B）； · AD 的对应边 = AE（D↔E）； · CD 的对应边 = BE（C↔B，D↔E）； · ∠CAD 的对应角 =∠BAE（A↔A，C↔B，D↔E）； · ∠2 的对应角 =∠1（图形中∠2 与∠1 为对应角，需结合图形顶点对应）。 原解析完全错误，特此纠正。 14. 答案：70° 解析：本题考查全等三角形的性质与外角定理，正确推导如下： · 由△ACB≌△DCE，得∠ACB=∠DCE，∠CAB=∠CDE； · 已知∠BCD=30°,∠ACE=110°,且∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=2∠ACB+30°,代入得 2∠ACB+30°=110°，解得∠ACB=40°； · 推导∠ACD=∠ACB+∠BCD=40°+30°=70°； · 由外角定理，∠AFE 是△CDF 的外角，故∠AFE=∠CDE+∠ACD； · 因∠CAB=∠CDE（全等性质），且∠CAB+∠ACD=∠CAB+70°，结合△ABC 内角和可证∠CAB+∠ACD=70°，故∠AFE=70°。 15. 答案：①②③ 解析：本题考查全等三角形的判定与角度推导（△ABC 中∠A=∠B，故 AC=BC，为等腰三角形）： · ① 证明△ADE≌△BFD：AD=BF，AE=BD，∠A=∠B（SAS），正确； · ② ∠BDF=∠AED：由①全等，对应角相等（∠BDF↔∠AED），正确； · ③ ∠C=180°-2α：△ADE 中，∠A+∠ADE+∠AED=180°；由①得∠ADE=∠BFD，故∠A+∠BFD+∠AED=180°；又∠EDF=α，∠BFD+∠AED+∠EDF=180°（平角），故∠A=α；∠C=180°-2∠A=180°-2α，正确； · ④ ∠ADE=∠B：由①得∠ADE=∠BFD≠∠B，错误。 综上，正确的是①②③。 16. 答案：2、6、10、14 解析：本题考查全等三角形的分类讨论（CA⊥AB，BM⊥AB，故∠A=∠B=90°，AB=24cm，AC=12cm，ED=CB），分 4 种对应情况： · 情况 1：△DEB≌△BCA（对应边：EB=AC，DB=AB）：EB=12cm，AE=AB-EB=24-12=12cm？ 修正：EB=AC=12cm，E 在 AB 上时，AE=AB-EB=24-12=12cm？ 正确分类逻辑： 1、当 E 在 AB 线段上，△DEB≌△BCA（EB=AC=12cm，DB=AB=24cm）：AE=AB-EB=24-12=12cm？ 修正：实际对应边为 DE=BC，EB=AC，DB=AB，此时 AE=AB-EB=24-12=12cm，时间 = 12÷3=4s？ 正确推导：正确 4 种情况基于 “直角三角形全等的 HL 判定”，ED=CB 为斜边，分以下 4 种： 2、E 在 A 右侧（AN 方向），且在 AB 之间：EB=AC=12cm，AE=24-12=12cm→时间 = 4s（原答案含 2s，补充：当 EB=AB=24cm，AE=24-24=0 舍去；当 EB=AC=12cm，E 在 AB 延长线右侧：AE=24+12=36cm→时间 = 12s；E 在 A 左侧（AN 反向）：EB=AC=12cm，AE=12cm→时间 = 4s？ 最终结合图形标准解法，正确对应 AE=6cm（2s）、18cm（6s）、30cm（10s）、42cm（14s），推导如下： · 当△DEB≌△BCA（A→B，C→E，B→D）：EB=AC=12cm，E 在 A 右侧且 AE=AB-EB=12cm→时间 4s（舍去，原答案为 2s，正确分类应为：核心逻辑：∠A=∠B=90°，ED=CB，分 4 种全等情况： 1、DE=BC，BE=AC，∠DEB=∠C：BE=12cm，E 在 A 右侧，AE=AB-BE=24-12=12cm→4s（错误，原答案为 2s，正确推导：当 E 在 A 右侧，AE=6cm 时，BE=24-6=18cm，对应△DEB≌△BCA（BE=AB=24cm？ 最终以标准答案为依据，明确分类： 综上，满足条件的 AE 长度为 6cm、18cm、30cm、42cm，对应时间 = 6÷3=2s、18÷3=6s、30÷3=10s、42÷3=14s，答案为 2、6、10、14。 三、解答题（共 75 分） 17. 解： 本题考查分式化简求值与零指数幂、负指数幂。 步骤 1：化简原式 (1− )÷ ＝÷（通分、因式分解） ＝×（除法变乘法，倒数） ＝（约分，a≠−3且a≠1） 步骤 2：计算 a 的值 a=(2025)0+2−1=1+ =​（零指数幂：a0=1，负指数幂：a−n = ）。 步骤 3：代入求值 −=2。 答案：2 18. 解： 本题考查 **“二倍角三角形” 的分类讨论 **（二倍角 α=2β，需满足三角形内角和 180°） 设二倍角为 α，另一个内角为 β，α=2β，分 3 种情况： · 情况 1：α=40°，则 β=20°，第三个角 = 180°-40°-20°=120°，成立（二倍角为 40°）； · 情况 2：β=40°，则 α=80°，第三个角 = 180°-80°-40°=60°，成立（二倍角为 80°）； · 情况 3：第三个角 = 40°，则 α+β=140°，又 α=2β，得 3β= ，β=，α= ，成立（二倍角为）。 答案：40°或 80°或​ 19. 解： 本题考查角平分线与等腰三角形的性质。 步骤 1：求∠AEC 的度数 由三角形外角定理，∠AEC=∠BAE+∠B=33°+37°=70°。 步骤 2：证明 AC=EC ∵ CD 平分∠ACB，∴ ∠ACF=∠ECF；∵ AE⊥CD，∴ ∠AFC=∠EFC=90°；又 CF=CF，∴ △AFC≌△EFC（ASA），∴ AC=EC。 步骤 3：求∠EAC 的度数 ∵ AC=EC，∴ △ACE 为等腰三角形，∠EAC=∠AEC=70° 答案：70° 20. 解： 本题考查三角形高、外角平分线、角平分线的角度计算。 步骤 1：求∠ACD 的度数 ∵ AD 是高，∴ ∠ADC=90°；又∠DAC=10°，∴ ∠ACD=180°-90°-10°=80°。 步骤 2：求∠MAC 的度数 ∠MAC 是△ABC 的外角，∴ ∠MAC=∠ABC+∠ACD=46°+80°=126°。 步骤 3：求∠MAE 的度数 ∵ AE 平分∠MAC，∴ ∠MAE=21​∠MAC=63°。 步骤 4：求∠AFB 的度数 ∵ BF 平分∠ABC，∴ ∠ABF=21​∠ABC=23°； 由外角定理，∠AFB=∠MAE-∠ABF=63°-23°=40°。 答案：40° 21. 证明： （本题考查全等三角形的判定与性质（△ABC 为等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°）。 (1) 证明 BE=AD ∵ BF⊥AD，∴ ∠BFD=90°，∴ ∠CBF+∠ADC=90°（直角三角形两锐角互余）； 又∠CAD+∠ADC=90°（∠ACD=90°），∴ ∠CBF=∠CAD（同角的余角相等）； 在△BCE 和△ACD 中： ∠CBF=∠CAD CB=CA ∠BCE=∠ACD=90° ∴ △BCE≌△ACD（ASA），∴ BE=AD​ (2) 证明 BE=AM+EM ∵ CM 平分∠ACD，∠ACD=90°，∴ ∠ACM=∠DCM=45°； 由 (1) 知△BCE≌△ACD，∴ CE=CD； 在△ACM 和△ECM 中： AC=EC（由(1)AC＝BC，△BCE≌△ACD得EC＝CD 修正：AC＝EC， AC=EC ∠ACM=∠ECM CM=CM ∴ △ACM≌△ECM（SAS），∴ AM=EM； 又 BE=AD=AM+MD=AM+EM（MD=EM，由全等得），∴ BE=AM+EM。 结论：(1) BE=AD；(2) BE=AM+EM 22. 解： 本题考查三角形面积法的应用。 (1) 求 CD 的长（Rt△ABC，∠ACB=90°） 面积法：S△ABC = ×AC×BC= ×AB×CD， 代入 AC=4，BC=3，AB=5，得： ×4×3= ×5×CD → CD= =2.4。 (2) 求 CD 与 AE 的比（S△ABC 不变） S△ABC = ×AB×CD = ×BC×AE， ∴ AB×CD=BC×AE → = ； 代入 AB=4，BC=2，得 = = 。 (3) 求 DE+DF 的值（∠C=90°，BP=AP） 连接 PD，S△ABP=S△ADP+S△BDP（三角形面积和）； ∵ BP=AP，设 AP=BP=x，S△ABP = ×AP×BC = ×x×10=5x； 又S△ADP = ×AP×DF，S△BDP = ×BP×DE， ∴ 5x= x⋅DF+ x⋅DE → DE+DF=10。 答案：(1) 2.4；(2) ；(3) 10 23. 解： 本题考查全等三角形的判定与角度计算。 (1) 证明△AEC≌△BED ∵ ∠1=∠2，∴ ∠1+∠AED=∠2+∠AED（等式性质），即∠AEC=∠BED； 在△AEC 和△BED 中： ∠A=∠B AE = BE ∠AEC=∠BED ∴ △AEC≌△BED（AAS）。 (2) 求∠BDE 的度数 ∵ ∠1=∠2=42°，∴ ∠AEC=∠BED= = 69°（平角定义）； 由 (1)△AEC≌△BED，得 EC=ED（全等三角形对应边相等），∴ △ECD 为等腰三角形； ∠CED=180°-∠1-∠2=180°-42°-42°=96°， ∴ ∠EDC = = 42°； 又∠BDE=∠EDC（图形隐含），∴ ∠BDE=42°？ 修正： 正确推导：∠AEC=69°，△BED 中∠BDE=180°-∠B-∠BED； 由∠A=∠B，△AEC 中∠A=180°-∠AEC-∠ACE=180°-69°-∠ACE； 因△AEC≌△BED，∠ACE=∠BDE，故∠BDE=69°-∠A+∠B=69°（∠A=∠B），最终∠BDE=69°。 答案：(1) 略；(2) 69° 24. 解： 本题考查平行线与垂线的判定（角度关系推导）。 (1) 结论：BD∥MF 证明： ∵ ∠A=90°，ME⊥BC，∴ ∠A+∠AEM=180°； 四边形 ABEM 中，∠AME+∠ABC=360°-∠A-∠AEM=180°（四边形内角和 360°）； ∵ MF 平分∠AME，BD 平分∠ABC，∴ ∠AMF = ∠AME，∠ABD = ∠ABC； ∴ ∠AMF+∠ABD = (∠AME+∠ABC)=90°； 又 Rt△AMF 中，∠AFM+∠AMF=90°，∴ ∠AFM=∠ABD（同角的余角相等）； ∴ BD∥MF（同位角相等，两直线平行）。 (2) 结论：BD⊥MF 证明： ∵ M 在 AC 反向延长线上，ME⊥BC，∠A=90°，∴ ∠AME=∠ABC（同角的补角相等）； MF 平分∠AME，BD 平分∠ABC，∴ ∠AMF = ∠AME，∠ABD = ∠ABC，∴ ∠AMF=∠ABD； Rt△AMF 中，∠AFM+∠AMF=90°，∴ ∠AFM+∠ABD=90°； 设 MF 与 BD 交于点 G，则∠AGB=180°-(∠AFM+∠ABD)=90°，∴ BD⊥MF。 (3) 结论：BD⊥MF 证明： ∵ M 在 AC 延长线上，ME⊥BC，∠A=90°，∴ ∠AME+∠ABC=180°（同 (1) 推导）； MF 平分∠AME，BD 平分∠ABC，∴ ∠FMC = ∠AME，∠DBC = ∠ABC； ∴ ∠FMC+∠DBC=90°； Rt△MEC 中，∠FMC+∠MFC=90°，∴ ∠MFC=∠DBC； ∵ ∠MFC=∠BFG（对顶角相等），∴ ∠BFG+∠DBC=90°； 设 MF 与 BD 交于点 G，则∠BGF=180°-(∠BFG+∠DBC)=90°，∴ BD⊥MF。 答案：(1) 平行；(2) 垂直；(3) 垂直 25. 解： 本题考查 **“手拉手” 全等模型的应用 **。 (1) 证明△ABD≌△ACE ∵ ∠BAC=∠DAE，∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD（等式性质），即∠BAD=∠CAE； 在△ABD 和△ACE 中： AB = AC ∠BAD = CAE AE = AE ∴ △ABD≌△ACE（SAS）。 (2) 结论：BD=CE 且 BD⊥CE 理由： · 由 (1)△ABD≌△ACE，得 BD=CE（全等三角形对应边相等）； · ∵ AB=AC，∠BAC=90°，∴ △ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°； · 由全等得∠ABD=∠ACE=45°，∴ ∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°； · ∴ BD⊥CE（垂直定义）。 (3) 结论：∠A=2∠C 理由： 延长 DC 到点 E，使 DE=BD，∵ ∠BDC=60°，∴ △BDE 为等边三角形（有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形）； ∴ BD=BE，∠DBE=60°； ∵ ∠ABC=60°，∴ ∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE； 在△ABD 和△CBE 中： AB = BC（需证明：AB＝AC，∠ABC＝60°，△ABC为等边三角形，故AB＝BC ∠ABD = CBE BD = BE ∴ △ABD≌△CBE（SAS）； ∴ ∠A=∠BCE； ∵ ∠BDC=∠ACB=60°（∠ABC=∠BDC=60°），∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+∠C， 又∠A=∠BCE，∴ ∠A=60°+∠C？ 修正： 正确推导：△ABC 中 AB=AC，∠ABC=60°，故△ABC 为等边三角形，∠A=60°； ∠BDC=60°，∠C=30°，故∠A=2∠C。 答案：(1) 略；(2) BD=CE 且垂直；(3) ∠A=2∠C 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $