专题1.7 矩形的判定（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.7 矩形的判定 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点]矩形的判定 知识清单 知识点2矩形的判定与性质 题型！添一个条件使四边形是矩形 矩形的判定 题型2证明四边形是矩形 题型3根据矩形的性质与判定求角度 题型精讲 题型4根据矩形的性质与判定求线段长 题型5根据矩形的性质与判定求面积 题型6矩形中的动点问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解矩形的判定定理，包括有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线 相等的平行四边形是矩形、三个角是直角的四边形是矩形，明确各定理的适 用条件。 教学目标 2.能区分矩形判定定理与性质定理的区别与联系，根据已知条件选择合适的 判定方法，完成矩形的判定推理。 3.经历判定定理的探究过程，体会特殊与一般的几何思想，提升分析图形特 征、解决几何问题的逻辑推理能力。 1.重点 (1)掌握矩形的三类判定定理，清晰梳理各定理的推导依据，能准确区分不 教学重难点 同判定方法的适用场景，构建判定定理的知识体系。 (2)熟练运用矩形判定定理进行几何证明与计算，针对平行四边形加特殊条 1/12 60学科网·上好课 ww ，zxxk.com 上好每一堂课 件、普通四边形加条件两类情况，规范书写推理步骤，解决实际问题。 2.难点 (1)理解矩形判定定理的推导逻辑，其是对角线相等的平行四边形是矩形 的证明过程，建立判定定理与平行四边形性质的关联。 (2)综合运用矩形判定与性质解决复杂几何问题，比如结合三角形全等、勾 股定理等知识进行多步推理，突破判定方法选择与辅助线构造的难点。 知识清单 知识点01矩形的判定 矩形的判定 (1)矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”) (2)① 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等. ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 【即学即练1】1.如图，在 $$\parallelogram A B C D$$ 中，当时， $$\parallelogram A B C D$$ 是矩形(填一个条件即可). A D B C 2.如图所示，在 ABC 中， AB=AC，AD 是中线，AN是 ABC 的外角 ∠CAM (的平分线， CE⊥AN， ，垂 足为E. M A E -N B D C (1)求证：四边形 ADCE 是矩形； (2)连接BE，若 AC=10，BC=12， ，求BE的长. 知识点02矩形的判定与性质 矩形的判定与性质 (1)关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有。 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题， (2)下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA,∠OCB= ∠OBC;③点O到三个顶点的距离都相等. A B 【即学即练2】1.如图，AC⊥AB,BD⊥AB,若AB=8,AC=5,BD=1,连接CD,则CD的长为() A▣ D A.10 B.12 C.14 D.16 2.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD于E,F,连接 PB,PD,若AE=1,PF=3,则图中阴影部分的面积是 D B 题型精讲 题型01添一个条件使四边形是矩形 【典例1】(25-26九年级上·陕西榆林·月考)在口ABCD中，连接AC,BD,再添加一个条件，可以判定 口ABCD为矩形的是() A.AC⊥BD B.∠ABC=90° C.AB=BC D.ZABC=ZADC 【变式1】(25-26九年级上·甘肃甘南期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判 定四边形ABCD是矩形的是() A.A0=BO B.AC=BD C.AB2+BC2=AC2 D.AB=BO 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26九年级上江西九江月考)如图，在四边形ABCD中，A0=C0,，B0=D0,要使四边 形ABCD是矩形，可添加的条件为一·（写出一个即可） B D 【变式3】(2024八年级下·全国.专题练习)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E,F在 AC上，且AE=CF,添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是一，（填一个条 件即可) D B 题型02证明四边形是矩形 【典例2】(25-26九年级上陕西榆林期中)如图，在口ABCD中，延长CD至点E,延长DC至点F,且 DE=CF,BE=AF,求证：ABCD是矩形. E D C 【变式1】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,过点A作 AN∥BC,过点C作CE⊥AN,垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形. B 【变式2】(25-26八年级上江苏淮安·月考)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC 于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,F为AC上一点，且CF=AE,连接EF. D 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AE=DE; (2)求证：四边形CDEF为矩形 【变式3】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在口ABCD中，AC⊥BC,过点D作DEAC,交BC的延 长线于点E,M为AB的中点，连接CM. A (I)求证：四边形ADEC是矩形； (2)若CM=13,且AC=24,求四边形ADEB的面积. 题型03根据矩形的性质与判定求角度 【典例3】(23-24九年级上江西抚州·期中)两个矩形的位置如图所示，若∠1=120°，则∠2的度数为() 2 A.30° B.15° C.60° D.45 【变式1】(2024八年级下·全国.专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, 且0A=0D,∠OAD=50°，则∠0AB的度数为 D A B 【变式2】(23-24八年级上·吉林长春期末)如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形 AEFG.若∠BAE=40°，∠CEF=10°，则∠D的大小为度. G A D B E 【变式3】(24-25八年级下，广东广州期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点0， 5/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且OC=OD.∠DBA=65°，求∠ADB的度数. D 65N A 题型04根据矩形的性质与判定求线段长 【典例4】(24-25八年级下·河南洛阳·期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=6,AC=10, 则BD=() O A.9 B.10 C.11 D.12 【变式1】(24-25八年级下·新疆吐鲁番期末)如图，在R1aABC中，D是斜边AB的中点，作DE1AC于 点E,DF⊥BC于点F,连接EF.若AC=5,BC=I2,则EF的长为() D B A.4 B.5 c.5.5 D.6.5 【变式2】(25-26九年级上黑龙江哈尔滨·月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm, BC=8cm,D是AB上一点，DE⊥AC于点E.DF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值为 cm D E B F 【变式3】(23-24八年级下·陕西渭南·期末)如图，在ABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点，连接BO 并延长至D使OD=OB,连接AD、CD. 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0 B E C (I)求证：四边形ABCD为矩形； (2)若LA0B=60°，E为BC的中点，连接OE,OE=2.求对角线AC的长. 题型05根据矩形的性质与判定求面积 【典例5】(25-26七年级上山东泰安期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D,E,F分别是三 边的中点，AB=8cm,AC=6cm,则四边形ADFE的面积是() D A.6cm2 B.12cm2 C.24cm2 D.48cm2 【变式1】(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行 线交AD于E,交BC于F,连接DM和BM,己知DE=3,ME=8,则图中阴影部分的面积是() D B A.20 B.24 C.28 D.36 【变式2】(23-24八年级下·全国·期末)如图，点G在矩形ABCD的对角线AC上，且不与A,C重合，过 点G分别作边AB,BC平行线交两组对边于点E,F和点M,N,则图中阴影部分S,S2面积之间的关系 是 y E 0 S B F 【变式3】(24-25九年级上·广东深圳期中)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD ,DE∥AC,AD=2√5，DE=3,则四边形OCED的面积为 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型06矩形中的动点问题 【典例6】(2025黑龙江大庆·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边 以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始 沿CD边以4cm/s的速度向点D运动.点P,点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随 之停止运动.设动点的运动时间为s,当QP=QH时，t的值为() D A→P H←-B A.5 B.4 c.10 D. 20 3 7 【变式1】(23-24八年级下·江苏苏州月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,D是斜 边AB上一动点，DE⊥CA,DF⊥CB,垂足分别为E、F.连接EF,则点D在运动过程中，EF的最小 值为() E F D B A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 【变式2】(23-24八年级下·全国·假期作业)如图，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=8cm,点P从A开 始沿AB边以4cm/s的速度向终点B移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度向终点D移动，如果点 P,Q分别从A,C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为s.则t=s 时，四边形QPBC为矩形 0 ←0 【变式3】(24-25八年级上·广东东莞月考)如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点 P沿AB边从点A开始向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q沿BC从点B开始向点C以2厘米/秒的速度移动， P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤1≤6).如果当移动的时间在0<1<6，那么四边形PBQD 的面积与矩形ABCD的面积关系的规律是， 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D B 强化训练 一、单选题 1.（25-26八年级上·云南昆明期末)下列说法不正确的是() A.矩形是平行四边形 B.平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.平行四边形具有的性质矩形都具有 2.(24-25八年级下·全国·期中)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC,分 别交AB,CD于点E、F,连接PB、PD,若AE=2,PF=9,则图中阴影面积为() D F A.16 B.18 C.22 D.24 3.(2025山东东营中考真题)如图，点O是ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D,使OD=B0, 添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是() A.AB=BC B.∠ABC=90° C.∠ABD=∠ACDD.OB=OC 4.(24-25八年级下·湖北武汉·月考)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB=9, BC=3,则折痕EF的长度为() B A.5 B.2W3 C.√o D.3v10 2 5.(24-25八年级下.江苏淮安·月考)如图，在ABC中，AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm,P是边BC上 9/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的动点，PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,线段DE的最小值是()Cm. A B A.1 B.2 C.2.4 D.4.8 二、填空题 6.(25-26九年级上河南信阳·开学考试)如下图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形 ABCD就成为矩形，这个条件可以是 A B 7.(24-25八年级下·广东佛山期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=12cm, BC=I5cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点 运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过 秒时， PO=CD D 0 8.(24-25八年级下江苏宿迁·期末)如图，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC 分别交AB,CD于点E、F,连接BM,DM.若CF=4,EM=3,DF=2,则MF= M B 9.（22-23八年级下广西钦州期中)如图，点D,E,F分别是Rt△ABC的中点，∠C=90°，EF=3, DE=5,则BC的长为一 B 10.(25-26九年级上上海·月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ACB=90°，BC=3,AC=4.按以 10/12 专题1.7 矩形的判定 教学目标 1. 理解矩形的判定定理，包括有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、三个角是直角的四边形是矩形，明确各定理的适用条件。 2. 能区分矩形判定定理与性质定理的区别与联系，根据已知条件选择合适的判定方法，完成矩形的判定推理。 3. 经历判定定理的探究过程，体会特殊与一般的几何思想，提升分析图形特征、解决几何问题的逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握矩形的三类判定定理，清晰梳理各定理的推导依据，能准确区分不同判定方法的适用场景，构建判定定理的知识体系。 （2）熟练运用矩形判定定理进行几何证明与计算，针对平行四边形加特殊条件、普通四边形加条件两类情况，规范书写推理步骤，解决实际问题。 2.难点 （1）理解矩形判定定理的推导逻辑，尤其是对角线相等的平行四边形是矩形的证明过程，建立判定定理与平行四边形性质的关联。 （2）综合运用矩形判定与性质解决复杂几何问题，比如结合三角形全等、勾股定理等知识进行多步推理，突破判定方法选择与辅助线构造的难点。 知识点01 矩形的判定 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【即学即练1】1．如图，在中，当 时，是矩形（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形为矩形得出答案即可，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 2．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 知识点02 矩形的判定与性质 矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【即学即练2】1．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 2．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型01 添一个条件使四边形是矩形 【典例1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在四边形中，，，要使四边形是矩形，可添加的条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定、平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 由题意可证四边形是平行四边形，再添加其中一个角是即可证四边形是矩形． 【详解】解：可添加的条件为：， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 题型02 证明四边形是矩形 【典例2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 【答案】见解析． 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，由，推导出，而，可根据“”证明，得，因为，所以，即可证明是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是矩形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ， 四边形是矩形． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图所示，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由（1）所证及，得，再由及，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，矩形的判定，熟练掌握这些知识是关键． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，过点作，交的延长线于点，为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)360 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得到，然后利用矩形和三角形的面积公式计算求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． 为的中点， ． ， ． 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 题型03 根据矩形的性质与判定求角度 【典例3】（23-24九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【变式3】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 题型04 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例4】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出． 【详解】解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，D是斜边的中点，作于点E，于点F，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：在 中，， ， 如图，连接， ∵是斜边的中点， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，，是上一点，于点．于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，为的中点，连接并延长至使，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，E为的中点，连接，．求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，熟记相关定理是解题的关键． （1）先根据中点性质可得，再证四边形为平行四边形，又，即可证明四边形为矩形； （2）根据中位线性质得，根据矩形的性质和，可证为等边三角形，可得，继而可得对角线． 【详解】（1）证明：为的中点， ． 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）解：，点是的中点， ． 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 题型05 根据矩形的性质与判定求面积 【典例5】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 题型06 矩形中的动点问题 【典例6】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·月考）如图，在中，，，，D是斜边上一动点，，，垂足分别为E、F．连接，则点 D在运动过程中，的最小值为（     ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，根据矩形的判定与性质可得，即当最小时，最小，此时，利用勾股定理求得，再利用的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小，此时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在矩形中，，点从开始沿边以的速度向终点移动，点从开始沿边以的速度向终点移动，如果点分别从同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．则 时，四边形为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．求出，，，由已知推出，，推出时，四边形是矩形，得出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·广东东莞·月考）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接、，若，，则图中阴影面积为（　　） A．16 B．18 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，过点P作于，延长交于，证明四边形、均为矩形，由矩形的性质可得，，，求出，即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于，延长交于， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、均为矩形， 由矩形的性质可得，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 即图中阴影面积为． 故选：B． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理； 过作于，设，根据勾股定理求出，进而得出的长，再证明，四边形是矩形，求出的长，再在中运用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：过作于，在矩形中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠可知， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴在中，， 故选：C． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，，P是边上的动点，，垂足分别为D、E，线段的最小值是（     ）． A．1 B．2 C．2.4 D．4.8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，利用矩形的性质是解题的关键；连接，先由勾股定理的逆定理可得；再由得四边形是矩形，则；当时，最短，从而线段取得最小值，利用面积相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，从而线段最短， ∵， ∴， 故的最小值为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，经过 秒时，． 【答案】4或6 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定．根据题意可分两种情况，一种情况是：四边形为平行四边形，一种情况是：四边形为等腰梯形，据此讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：，，则， 若要，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时，此时有， ∴， 解得：； ②当四边形为等腰梯形时，分别过点P和点D作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即当或时，， 故答案为：4或6． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．过点作于，交于，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，根据矩形的性质得出，，，推得，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，交于，如图， 则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， 故， 解得， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 10．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在四边形中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点D作的垂线，交的延长线于点H，先根据勾股定理求出的长，再证明，证明四边形是矩形得，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作的垂线，交的延长线于点H，如图， 在中，， 由勾股定理可知． 由作图过程可知射线平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，为边上的中线，点E为中点，过点A作，交的延长线于点F ，连接． 求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，先结合点E为中点，，证明，再根据，为边上的中线，得出，，证明四边形为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得出四边形为矩形． 【详解】解：∵点E为中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，为边上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 13．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 14．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)______； (2)若四边形成为平行四边形，求t的值． (3)当______时，？ 【答案】(1)18 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰梯形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作于E，则四边形为矩形．在直角中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）根据平行四边形的性质可得，据此列出关于t的方程，解方程即可得到答案； （3）分两种情况：当时，四边形是平行四边形；当梯形是等腰梯形时，，可建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过D点作于E， 则 ∵，， ∴ ， ∴四边形矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 故答案为：18； （2）解：由题意得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当梯形是等腰梯形时，， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∴； 综上所述，当t为或时，． 15．（25-26九年级上·江西九江·期中）课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析 【详解】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $