专题1.6 矩形的性质（1大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.6 矩形的性质 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点]矩形的性质 知识清单 题型！利用矩形的性质求角度 题型2利用矩形的性质求线段长 矩形的性质 题型3利用矩形的性质求面积 题型精讲 题型4利用矩形的性质证明 题型5矩形中的折叠问题 题型6矩形中的最值问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1,理解矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形与平行四边形 的从属关系。 2.掌握矩形的核心性质，包括四个角都是直角、对角线相等且互相平分，能 教学目标 结合平行四边形性质区分矩形的特有性质。 3.能运用矩形的性质解决线段计算、角度证明、图形全等判定等几何问题， 提升逻辑推理与知识迁移能力。 1.重点 (1)掌握矩形的定义和特有性质，清晰区分矩形与普通平行四边形性质的异 同，建立完整的知识框架。 教学重难点 (2)熟练运用矩形的性质进行几何计算与证明，针对对角线相等、内角为直 角等特征，规范书写解题步骤，解决实际问题。 2.难点 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)理解矩形性质的推导过程，尤其是对角线相等的证明逻辑，结合平行四 边形对角线互相平分的性质完成严谨推理。 (2)综合运用矩形性质解决复杂几何问题，比如结合三角形中位线、勾股定 理等知识进行多步推导，突破辅助线构造的思维障碍。 知识清单 知识点01矩形的性质 矩形的性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形， (2)矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角： ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称 中心是两条对角线的交点. (3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【即学即练1】1.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,∠1=25°，则∠EAC的度数为() B E A.15 B.20° C.25° D.30° 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E为AD边的中点，连接OE,若AB=6, AC=10,则△OED的周长为 D 题型精讲 题型01利用矩形的性质求角度 【典例1】(25-26九年级上·辽宁丹东·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADB=28°，那么∠AOB的度数为() D A.52° B.54 C.56° D.58° 【变式1】(25-26九年级上贵州贵阳月考)在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠BAD的角平 分线交BC于点E,若LAOB=50°，则LOAE的度数是() D B E A.15° B.20° C.45° D.65° 【变式2】(23-24八年级下·重庆北碚期末)如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，若AB=DE, LBCE=20°，则∠CDE= B 【变式3】(23-24九年级下，宁夏吴忠月考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O 作OE⊥BD,交CD于点E,连接BE.若∠COE=20°，则∠EBD= D A 题型02利用矩形的性质求线段长 【典例2】(25-26九年级上山东青岛期末)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD,DC上，且 BE⊥EF,AB=6,AE=9,DE=2,则EF的长是() A.4 B.5 C.13 D.5 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上陕西宝鸡期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,对角线AC与BD相交于点 O,AE⊥BD,垂足为E.若∠ACD=60°，则AE的长为() D A.3 B.4 C.3v3 D.6 【变式2】(25-26九年级上·广东佛山月考)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB、AD的中点， AB=2,BC=4,则EF的长为 F D B 【变式3】(25-26九年级上·广东深圳月考)如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=8,点E在边AD上， DE=3.以B为圆心，BC为半径，作弧交AD于E,连接BE,则BC的长度为 E 题型03利用矩形的性质求面积 【典例3】(25-26九年级上·河北石家庄·期末)如图，长方形ABCD的面积为60Cm2,那么三角形ABE的面 积是()cm2. E A.18 B.20 C.30 D.36 【变式1】(25-26九年级上山西运城月考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若 AC=8,∠BOC=135°，则矩形ABCD的面积为() D B A.162 B.163 C.82 D.32 【变式2】(24-25八年级下，北京海淀·月考)如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB、 4/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD于E、F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的_一 【变式3】(24-25八年级下陕西商洛·期末)如图，点P为矩形ABCD的边AB上一点，连接CP、DP,对 角线AC交DP于点N,若△APN与△BCP的面积均为4，则△CDN的面积为一· D 题型04利用矩形的性质证明 【典例4】(25-26九年级上·福建厦门期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC和AD上，且 BE=DF.求证：AE=CF. F D E 【变式1】(25-26九年级上·陕西榆林·月考)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的中点为O,过点O作线 段EF交AD于点E,交BC于点F,求证：OE=OF. E 【变式2】(25-26九年级上贵州贵阳·期中)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB,且 BN⊥AM,垂足为N. M A (I)求证：△ABN≌△MAD; (2)若AD=6,AN=8,求MN的长. 【变式3】（25-26九年级上·贵州六盘水期中)如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所 示的图案 5/11 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D B U (I)猜想：∠AFC= 度 (2)请证明你的猜想. 题型05矩形中的折叠问题 【典例5】(25-26八年级上浙江丽水期末)如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B落在AD边上的点F处， 若AE=4,CD=9,则DF的长度为() F D E Bi-------- A.10 B.11 C.12 D.13 【变式1】(25-26八年级上·陕西西安期中)如图所示，折叠长方形ABCD的一边AD，,使点D落在BC边 的点F处，己知AB=CD=16,BC=AD=20,则EF=() ---,D A.8 B.12 C.14 D.10 【变式2】(2025八年级上·黑龙江哈尔滨.专题练习)如图把一张矩形的纸沿对角线折叠，若AM-3cm, BM=5cm,则BC= cm. M D ----------c 【变式3】(25-26八年级上·山东聊城期中)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，ED'交AB于点M,已知 ∠EFB与∠AME度数之比为3：2，则∠AME的度数为 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D M B 题型06矩形中的最值问题 【典例6】(23-24八年级下·吉林·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,点P为斜边 AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为() B A.4.8 B.2.4 C.6 D.5 【变式1】(2425七年级下，浙江台州期末)在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,AC=5,P是线段AC 上的动点，E,F分别是边AB,CD上的动点，则PE+PF的最小值是() 0 F E C A.4 B.5 C.7 D.8 【变式2】(24-25八年级下山东烟台期中)如图，矩形ABCD中AD=18,∠DAC=30°，点P、E分别在 AC、AD上，则PE+PD的最小值是一· E A B 【变式3】(24-25八年级下·广西饮州月考)如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E、F分别是 AB,DC上的动点，EF∥BC,则AF+CE的最小值是一· B 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0，则下列结论一 定正确的是（() O A.∠CAD=∠CAB B.0A=OD C.OA=AB D.AC所在直线为矩形ABCD的对称轴 2.(25-26九年级上·甘肃武威月考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点 E,若∠C0D=50°，则∠CDE的度数为() D A.25 B.30° C.35° D.50 3.(24-25八年级下广东广州期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E、F分 别是AD、A0的中点，若EF=4,则AC的长是() E D B C A.16 B.14 C.12 D.8 4.(25-26九年级上·黑龙江绥化月考)四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在 CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=I2,则AF等于() 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ② B F C A.4V5 B.4W2 C.8V3 D.8 5.(25-26七年级上·甘肃庆阳期末)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN,EM为折痕，折叠 后点A,B,E在同一直线上，己知LAEN=35°，则∠MEB的度数为() D M 2 E A.65 B.45° C.55 D.35° 二、填空题 6.(25-26九年级上广东深圳月考)如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，AF与 EF的交点为F,则∠AFE的度数是 7.(25-26九年级上四川成都期中)如图，矩形ABCD中，∠ACD=30°，边AD=63,DM⊥AC于点M ,连接BM,则图中阴影部分的面积是一· D M 8.(25-26九年级上陕西榆林期中)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别过点O作 OE⊥DC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,此时CF=3OF,若OE=3,则线段BD的长为 9/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 9. (25-26九年级上河南濮阳·月考)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作 OE⊥AC交AD于点E,若∠CAD=30°，OE=3,则BD的长为 E D B C 10. (25-26八年级上海南省直辖县级单位·期末)如图，在长方形ABCD中，BD=10,CD=6,将△ABE 沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长为， A O 三、解答题 11.(25-26九年级上山东青岛期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点D作 AC的垂线，垂足为E.已知LADE=2LCDE,求LEDO的度数 A B 12.(25-26九年级上山西运城期中)如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=90°， ∠EAD=30,F是AD的中点，EF=4,求BE的长度. F B E 13.(25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F. 10/11 专题1.6 矩形的性质 教学目标 1. 理解矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形与平行四边形的从属关系。 2. 掌握矩形的核心性质，包括四个角都是直角、对角线相等且互相平分，能结合平行四边形性质区分矩形的特有性质。 3. 能运用矩形的性质解决线段计算、角度证明、图形全等判定等几何问题，提升逻辑推理与知识迁移能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握矩形的定义和特有性质，清晰区分矩形与普通平行四边形性质的异同，建立完整的知识框架。 （2）熟练运用矩形的性质进行几何计算与证明，针对对角线相等、内角为直角等特征，规范书写解题步骤，解决实际问题。 2.难点 （1）理解矩形性质的推导过程，尤其是对角线相等的证明逻辑，结合平行四边形对角线互相平分的性质完成严谨推理。 （2）综合运用矩形性质解决复杂几何问题，比如结合三角形中位线、勾股定理等知识进行多步推导，突破辅助线构造的思维障碍。 知识点01 矩形的性质 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【即学即练1】1．如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、角的和差等知识点，由矩形的性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义可求得，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，连接，若，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理；先由勾股定理求出，再由矩形的性质得出、，再由中位线性质求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵在矩形中，，，，为、的中点，点E为边的中点， ∴，，为的中位线， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：12． 题型01 利用矩形的性质求角度 【典例1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】根据矩形性质得，，进而得，再根据得，然后再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用矩形的性质求角度，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级下·宁夏吴忠·月考）如图，矩形的对角线 与 相交于点，过点作，交 于点，连接．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键．根据垂直的定义及角的和差求出，根据矩形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可得，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 题型02 利用矩形的性质求线段长 【典例2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程． 连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长． 【详解】解：连接，如图， 设，则有， 在中，， 在中，， 在中，， ∵，即， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂足为．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质，得，，再根据，证明是等边三角形，得，结合，得，。运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟知这些性质定理是解题的关键．根据矩形的性质求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，已知四边形是矩形，，点E在边上，．以B为圆心，为半径，作弧交于E，连接，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，设，由矩形的性质可得，，则，由题意可得，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵以B为圆心，为半径，作弧交于E，连接， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型03 利用矩形的性质求面积 【典例3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，点为矩形的边上一点，连接、，对角线交于点，若与的面积均为4，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质可得，，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点为矩形的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的面积均为4， ∴， 故答案为：8． 题型04 利用矩形的性质证明 【典例4】（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在矩形中，对角线的中点为，过点作线段交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 由题意得，再根据矩形的性质进而可得，即可证明进而得到证明． 【详解】证明：对角线的中点为， ． 四边形是矩形， ， ． 在和中， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在矩形中，，，由平行线的性质可得，由题意可得，再利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ． 在中，， ∴ ． 【变式3】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案． (1)猜想：______度． (2)请证明你的猜想． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定. 解题的关键是根据已知条件证出是等腰直角三角形． 根据矩形的性质得出，，，根据可证出，由全等的性质可得出∠，，进而证出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）猜想：． 故答案为． （2）∵四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，1 ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型05 矩形中的折叠问题 【典例5】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，则（    ） A．8 B．12 C．14 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形和折叠的性质，可得，，然后设，则，，在和 中，利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ， 由题意得：， 设，则，． 在 中，由勾股定理得∶ ， ∴， 在 中，由勾股定理得∶ ， 解得：． 即． 故选：D． 【变式2】（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图把一张矩形的纸沿对角线折叠，若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查矩形与折叠问题，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而推导出，证明，得到，则，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，将长方形沿折叠，交于点M，已知与度数之比为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折性质，三角形内角和定理，矩形性质，平行线性质等．根据题意可知，，后设，继而得到，后利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵将长方形沿折叠，交于点M， ∴， ∵与度数之比为， 设， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 题型06 矩形中的最值问题 【典例6】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）在长方形中，，，，P是线段上的动点，分别是边，上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三点在同一条直线上分析即可得到结论． 【详解】解：∵P是线段上的动点，分别是边，上的动点， ∴当三点在同一条直线上，且时，的值最小， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形中，，点P、E分别在、上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，将线段沿翻折得到线段，过点F作于H，连接．证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点F作于H，连接． ∵，， 由翻折可知，，，， ∵， 又∵， ∴的最小值就是线段的长， 在中，，，， 则， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 【变式3】（24-25八年级下·广西钦州·月考）如图，矩形中，，点E、F分别是上的动点，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，连接，作点A关于的对称点G，连接，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：连接，作点A关于的对称点G，连接，如图所示： 则， 在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值等于的最小值，即的长度， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（    ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键． 根据三角形中位线定理和矩形的性质解题即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点B恰好落在边的中点E处，折痕为．若，则AF等于（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识. 由图形折叠的性质得到，，由是的中点可求出的长，再求出的长，从而用表示出，在中利用勾股定理求出的长，进而再利用勾股定理即可求得答案. 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∵，为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得： ∴. 故选：C． 5．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，E在同一直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意知， 则， 所以， ， ． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，，边，于点M，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理和直角三角形的性质算出对应的底和高．根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 过点M作于点H， ， ， 则图中阴影部分的面积 ， 故答案为： ． 8．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，分别过点O作于点E，过点D作于点F，此时，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，从而可得，再说明是的中点，结合，可说明是等腰三角形，再证明是等边三角形．然后利用中位线的性质求得，从而可求得． 【详解】解：由矩形的性质可知，，， ∴． ∵， ∴是的中点． ∵， ∴是等腰三角形， 即， ∴， 即是等边三角形． 又∵，， ∴是的中点． 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三线合一，等边三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，矩形的对角线、相交于点，过点作交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，则由勾股定理可得的长，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵矩形的对角线、相交于点， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为 【答案】5 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．由四边形为矩形，得到为直角，由折叠得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理得：， ， 由折叠可得，，，， ， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到，进而，根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形中，为边上一点，，，是的中点，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解， 再利用勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 为中点，， ， 在中，， ， ∴由勾股定理得， ∵在矩形中，，， ， ， 由勾股定理得． 13．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （2）先根据勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， 故， 故在中，， ∵的面积为， 即， ∴． 14．（2026·全国·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化求解是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，根据折叠的性质得出，，进而可得，根据证明； （2）根据平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得，根据平角的定义得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，． 矩形沿折叠得到四边形， ，， 即， ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ， 又折叠， ， ． ， ． 15．（25-26八年级上·吉林·期中）在探究平行四边形的性质时，某学习小组发现并证明如下有趣的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： (1)问题发现：如图①，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形的研究发现：在矩形中，令，，则可求得______（用含a，b的代数式表示）； (2)问题探究：如图②，学习小组通过添加辅助线，继续对一般平行四边形进行研究，分别过点A、D作边的垂线段，请你证明：； (3)问题拓展：如图③，在中，是边上的中线，已知，，，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得解； （2）作于点，于点，由平行四边形的性质可得，且，由平行四边形的性质可得，证明，得出，，再结合勾股定理证明即可； （3）延长至点，使得，连接、，由题意可得，结合，得出四边形为平行四边形，由（2）可得，再代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：如图，作于点，于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 由①②可得：， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接、， ， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $